2025年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（五）

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注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次不等式求解集合，再求并集即可.
【详解】∵，
∴．
故选：D
2．下列函数中，在其定义域上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数性质直接判断各个选项即可.
【详解】对于A，由一次函数性质知：在上单调递减，A错误；
对于B，由二次函数性质知：在上单调递增，在上单调递减，B错误；
对于C，由指数函数性质知：在上单调递减，C错误；
对于D，由对数函数性质知：在上单调递增，D正确.
故选：D.
3．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A．10B．20C．100D．200
【答案】B
【分析】根据基本不等式求出最值.
【详解】由题意得，当且仅当时，等号成立，
故的最小值是20．
故选：B
4．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案.
【详解】由题意，不等式可化为，解得或，
所以不等式的解集为或，
故选：D.
5．已知平面向量a＝（1，1），b＝（1，－1），则向量a－b＝（ ）
A．（－2，－1）B．（－2，1）
C．（－1，0）D．（－1，2）
【答案】D
【详解】
解析：因为a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＝（，），b＝（，－），所以a－b＝（－，＋）＝（－1，2），故选D.
【考查意图】简单的向量坐标运算．
6．函数的图象大致（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象直接得出.
【详解】因为，根据对数函数的图象可得A正确.
故选：A.
7．设角终边上的点的坐标为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由任意三角函数的定义即可求解
【详解】设角终边所在圆的半径为，由题意得，，
所以，，，所以D选项正确，
故选：D
8．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（ ）
A．至少有1个红球B．至少有1个黑球
C．至多有1个黑球D．至多2个红球
【答案】C
【分析】根据对立事件的定义判断即可
【详解】由题，由对立事件的定义， “至少有2个黑球” 与“至多有1个黑球”对立，
故选：C
9．将的图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为（ ）
A．B．
C．D．.
【答案】A
【分析】根据函数的图象变换规律即可得解．
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，
所得函数的解析式为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的图象变换规律的应用，属于基础题．
10．已知平面，是与无公共点的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两个平面平行的性质，结合充要条件的定义即可求解.
【详解】若，则与无交点，
若与无交点，则，
故是与无公共点的充要条件，
故选：C
11．已知函数，则=（ ）
A．2B．C．D．12
【答案】B
【分析】结合分段函数的性质,分别求值计算即可.
【详解】由题意,时,;时,.
则.
故选:B.
【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查了计算能力,属于基础题.
12．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：从中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.
考点：古典概型
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数 .
【答案】
【分析】先对复数化简，然后由虚部和实部互为相反数列方程可求出
【详解】（），
因为复数的虚部与实部互为相反数，所以，得，
故答案为：
14．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的周期公式可求得结果.
【详解】函数的最小正周期为.
故答案为：.
15．已知，与的夹角为，则
【答案】
【分析】根据条件，利用数量积的定义，即可求解.
【详解】因为，与的夹角为，
所以，
故答案为：.
16．某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为 .
【答案】17
【分析】由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了 人，则有，求出的值即可
【详解】解：设高三年级的学生抽取了 人，则由题意得
，解得
故答案为：17
【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.
17．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则= .
【答案】-9
【详解】是定义在R上的奇函数，
所以.
答案为：-9.
18．某正方体的棱长为，则该正方体内切球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据正方体的棱长求出内切球的半径，进而求得内切球的表面积.
【详解】因为正方体的棱长为26，所以内切球的半径为，
所以该正方体内切球的表面积为.
故答案为：
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
19．在中，内角、、的对边分别为、、，，，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求出，结合大边对大角定理可求得角的值；
（2）求得，利用勾股定理可求得的值.
【详解】（1）解：由正弦定理可得，所以，，
因为，则，故.
（2）解：由（1）可知，所以，.
20．为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和乙各自进行了8组投篮，现得分情况如下：
(1)求出乙的平均得分和方差；
(2)如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数是多少.
【答案】(1)7；1.5
(2)8.5
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求得正确答案.
（2）先求得的值，然后根据百分位数的知识求得正确答案.
【详解】（1）由题可得，乙的平均得分为，
方差为：
.
（2）∵数据10，8，x，8，7，9，6，8的平均数为8，
则有，
将得分按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，8，8，8，9，10，
∵，
∴第75百分位数为，
即这组数据的第75百分位数是8.5.
21．已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率（不考虑其他因素）．
（1）若经过年该城市人口总数为万，试写出关于的函数关系式；
（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？
【答案】（1）；（2）5年．
【分析】（1）利用指数型函数增长模型得出函数关系式；
（2）令，计算即可.
【详解】（1）；
（2）令，即在R上单调递增 ，所以．
故至少要经过5年该城市人口总数达到210万．
22．如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合直径的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC，
所以PA面ACB，又因为平面PBC，
所以PA，又因为AB是圆的直径，所以，
因为平面，
所以平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，则，
设平面PBC的法向量为，则，
而，设直线AC与面PBC所成角为，
则，
所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为.
甲
10
8
x
8
7
9
6
8
乙
6
9
8
5
7
6
7
8