四川省丹棱中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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【详解】由得，解得.
2．
【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，，
剔除两对数据后的平均数分别为，，
因为，
所以，，
则，
所以，
又因为，
所以，
解得.
故选：C.
3.
【详解】依题意可得列联表如下：
所以，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，
又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关.
故选：A
4．
【详解】函数，求导得，
由在上单调递增，得，，而恒有，
则，又时，，在上单调递增，
所以实数a的取值范围是.
5．
【详解】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为,
事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，故.
故选：D.
6．
【详解】由题意可知，6名研究员的安排可以是按平均分组，即每2人一组分到三个研究舱，
或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，
每2人一组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案，
按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案，
故共有（种）安排方案，
故选：B
7．
【详解】因为，所以当时，当时，，故排除A，
又，
令，则，
因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以使得，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以当时，即，则单调递增，
当时，即，则单调递增，
且在上有解，即在上有解，
所以在上存在单调递减区间，故排除B、D.
故选：C
8．
【详解】设，则（不恒为零），
故在上为增函数，故，
所以，故在上恒成立，
所以，
但为上为增函数，故即，
所以C成立，D错误.
取，考虑的解，
若，则，矛盾，
故即，此时，故B错误.
取，考虑，
若，则，矛盾，
故，此时，此时，故A错误，
故选：C.
9．
对于A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，
故共有种方法，故A正确；
对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，故B错误；
对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球，
先将四盒中选一个作为空盒,再将4球中选出2球绑在一起,
再对三个盒子全排共有种方法，故C正确；
对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种，
另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误.
故选：AC.
10．
【详解】因为，
又，所以被除得余数为，
又，且和被除得余数为，
故选：BD.
11．
【详解】令得，记
，令得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且时，，，时，
据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，，
所以，故A选项正确；
因为
所以当时，，递增，
因为，所以，故B选项正确；
当时，，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以C选项错误；
因为在递增，在递减，且
所以，，
因为，所以
因为，所以
所以，故D选项正确
故选：ABD.
12．因为，
所以，根据对称性可得，
又，
所以.
故答案：.
13．
/
【分析】根据条件得到，再利用特殊角的三角函数值，即可求出结果.
【详解】因为，得到，
所以，
故答案为：.
14.
【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为，
则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为，
新的三角数阵中第行的和为：，
设，，
两边求导得，，
令得，，
15.
【详解】（1）由题意知
n＝10，.
则.
所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.
（2）因为，
故x与y之间是正相关， 2021年该地区居民月收入随月储蓄的增加而增加.
将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)
16.
【详解】（1）因为二项式 展开式的通项公式为，
选①，由题知，解得，
选②，令，得到，解得，
选③，由题知，解得.
（2）由（1）知，所以二项式系数最大的项为第项或第项，
又二项式 展开式的通项公式为，
所以展开式中二项式系数最大的项为或.
（3）由（1）知，又，
因为展开式的通项公式为，
由，得到，由，得到，
所以的展开式中的常数项为.
17．
【详解】（1）的定义域为，因为，
∴，
∴时，，单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
∴，；
（2）由题：，
1°当时：，
时，，单调递减，
时，，单调递增；
2°当时：∵，
∴时，，单调递减，
时，，单调递增；
3°当时：
①若即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
②若即，，
则在单调递增；
③若即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
18．
【详解】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，选项A，根据条件，利用条件概率公式，即可求出结果；
（1）因为，又，，，
由全概率公式知，
（2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为，
（3）对于选项，若小明获得块月饼可能的情况有三种：
①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为，
②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为，
③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为，
所以小明获得块月饼的概率是，
19．
【分析】（1）求出，，再根据所给定义计算即可；
（2）根据所给定义表示出，即可得到，再令，设，，利用导数求出函数的最大值，即可得解；
（3）首先得到，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合零点存在性定理判断函数的零点个数.
【详解】（1）因为，所以，，
所以，∴.
（2）因为，，，
所，，
令，则，，
设，，则，显然当时，，在上单调递减，
所以，
所以最大值为，所以的最大值为.
（3）在区间上有且仅有2个零点.
证明：，所以，
①当时，因为，，则，，
∴，在上单调递增，又，.
∴在上有一个零点，
②设，则，当时，，单调递增，
，又，
∴恒成立，
∴在上无零点.
③当时，，，
∴在上单调递减，又，.
∴在上必存在一个零点，
综上，在区间上有且仅有2个零点.
男生
女生
合计
篮球迷
30
15
45
非篮球迷
45
10
55
合计
75
25
100