广东省梅州市兴宁实验学校教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省梅州市兴宁实验学校教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，6，7B．5，12，13C．1，4，9D．5，11，12
2．（3分）在3、﹣、π、、0、、、0.373773这八个数中，无理数有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．是2的平方根
B．﹣1的立方根是﹣1
C．1的平方根是±1
D．﹣3是的平方根
4．（3分）若直角三角形的三边长为3，4，m，则m2的值为（ ）
A．10B．7C．25D．25或7
5．（3分）下列各式中已化为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）在直角坐标系中，点M（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）
7．（3分）a为任意实数，则点（a，a+5）不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（3分）下列函数关系式：①y＝﹣x；②y＝2x+11；③y＝x2+x+1；④．其中一次函数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
10．（3分）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）已知△ABC的三边长分别为6，10，8，则△ABC的面积为 ．
12．（4分）的算术平方根是 ．
13．（4分）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣3a+6，则a＝ ．
14．（4分）点P（m+3，m+1）在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为 ．
15．（4分）如图，点P（﹣3，4）到原点O的距离为 ．
16．（4分）直线y＝kx+b平行于直线y＝2x﹣3，且过点（0，﹣1），则直线y＝kx+b的函数解析式是 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，有一个微型机器人从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示：
则点A2016的坐标是 ．
三、解答题（一）：每小题6分，共18分
18．（6分）．
19．（6分）在平面直角坐标系中，作出△ABC，使各顶点的坐标分别是：A（1，2），B（﹣2，﹣2），C（3，﹣2），并求出△ABC的面积．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，CD⊥AB于点D，求CD的长．
四、解答题（二）：每小题8分，共24分
21．（8分）已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标是（2，﹣3），PQ∥y轴；
（2）点P在第一、三象限的角平分线上．
22．（8分）△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，过A作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长．
23．（8分）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式．
（2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？（x≤100）
五、解答题（三）：每小题10分，共20分
24．（10分）①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
②．
（1）请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ；
（2）化简+…．
25．（10分）如图，直线y＝kx+4分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）条件下，探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为4，并说明理由．
2024-2025学年广东省梅州市兴宁实验学校教育集团八年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，6，7B．5，12，13C．1，4，9D．5，11，12
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为52+62≠72，所以不能组成直角三角形；
B、因为52+122＝132，所以能组成直角三角形；
C、因为12+42≠92，所以不能组成直角三角形；
D、因为52+112≠122，所以不能组成直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．（3分）在3、﹣、π、、0、、、0.373773这八个数中，无理数有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据无理数的定义即可判定求解．
【解答】解：在，﹣，π，，0，，，0.373773这八个数中，
无理数有，﹣，π，，，五个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．是2的平方根
B．﹣1的立方根是﹣1
C．1的平方根是±1
D．﹣3是的平方根
【分析】根据平方根和立方根的概念判断即可．
【解答】解：A、是2的一个平方根，正确；
B、﹣1的立方根是﹣1，正确；
C、1的平方根是±1，正确；
D、±是的平方根，错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
4．（3分）若直角三角形的三边长为3，4，m，则m2的值为（ ）
A．10B．7C．25D．25或7
【分析】分长为m的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可．
【解答】解：当长为m的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25；
当长为m的边为直角边时，由勾股定理得：m2＝42﹣32＝7；
综上所述，m2的值为25或7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏．
5．（3分）下列各式中已化为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式；
B、＝2，不是最简二次根式；
C、是最简二次根式；
D、＝11，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6．（3分）在直角坐标系中，点M（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）
【分析】根据关于y轴的对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解
【解答】解：根据题意可知，点M（﹣1，2）关于y轴的对称点的坐标是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是关键．
7．（3分）a为任意实数，则点（a，a+5）不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点P的纵坐标大于横坐标，再根据各象限内点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：∵a＜a+5，
∴点P的纵坐标大于横坐标，
∴点P一定不在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，判断出点的横坐标与纵坐标的大小关系是解题的关键．
8．（3分）下列函数关系式：①y＝﹣x；②y＝2x+11；③y＝x2+x+1；④．其中一次函数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：①y＝﹣x是一次函数；
②y＝2x+11是一次函数；
③y＝x2+x+1是二次函数；
④是反比例函数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
9．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【解答】解：∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．
10．（3分）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小
∴k＜0
又∵kb＜0
∴b＞0
∴此一次函数图象过第一，二，四象限．
故选：A．
【点评】熟练掌握一次函数的性质．k＞0，图象过第1，3象限；k＜0，图象过第2，4象限．b＞0，图象与y轴正半轴相交；b＝0，图象过原点；b＜0，图象与y轴负半轴相交．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）已知△ABC的三边长分别为6，10，8，则△ABC的面积为 24 ．
【分析】根据三边长度可利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为6，10，8，
且62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，两直角边长是6，8，
∴△ABC的面积为：×6×8＝24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
12．（4分）的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根，即可解答．
【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
13．（4分）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣3a+6，则a＝ 5 ．
【分析】首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得2a﹣1﹣3a+6＝0，解方程可得a的值．
【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣3a+6＝0，
解得：a＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是关键．
14．（4分）点P（m+3，m+1）在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为 （0，﹣2） ．
【分析】根据y轴上点的坐标性质得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的y轴上，
∴m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故m+1＝﹣2，
则点P的坐标为：（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
15．（4分）如图，点P（﹣3，4）到原点O的距离为 5 ．
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，则PA＝4，OA＝3，再利用勾股定理求出OP的长即可．
【解答】解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，
∵P（﹣3，4），
∴PA＝4，OA＝3，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：OP＝＝＝5，
即点P（﹣3，4）到原点O的距离为5，
故答案为：5．
【点评】本题主要查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（4分）直线y＝kx+b平行于直线y＝2x﹣3，且过点（0，﹣1），则直线y＝kx+b的函数解析式是 y＝2x﹣1 ．
【分析】待定系数法求出一次函数解析式即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b平行于直线y＝2x﹣3，
∴k＝2，
∵直线y＝kx+b过点（0，﹣1），
∴﹣1＝b，
∴一次函数解析式为：y＝2x﹣1．
故答案为：y＝2x﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行，熟练掌握以上知识点是关键．
17．（4分）在平面直角坐标系中，有一个微型机器人从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示：
则点A2016的坐标是 （1009，0） ．
【分析】根据图象先计算出A4和A8的坐标，进而得出点A4n的坐标，再用2016÷4，根据所得的整数及余数，可得出点A2016的坐标．
【解答】解：由图可知A4，A8都在x轴上，
∵蚂蚁每次移动1个单位，
∴OA4＝2，OA8＝4，
∴A4（2，0），A8（4，0），
∴OA4n＝4n÷2＝2n，
∴点A4n的坐标为（2n，0）．
∵2016÷4＝504，
∴点A2016的坐标是（1008，0）．
故答案为：（1008，0）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，数形结合并正确得出规律是解题的关键．
三、解答题（一）：每小题6分，共18分
18．（6分）．
【分析】首先利用多项式与单项式的除法法则计算，计算0次幂，然后计算加减运算即可求解．
【解答】解：原式＝2+1+1＝4+1+1＝6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确确定运算顺序是关键．
19．（6分）在平面直角坐标系中，作出△ABC，使各顶点的坐标分别是：A（1，2），B（﹣2，﹣2），C（3，﹣2），并求出△ABC的面积．
【分析】描出点A、B、C并作出△ABC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，再利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，描点并作△ABC，
∵B（﹣2，﹣2），C（3，﹣2），
∴BC∥x轴，BC＝3﹣（﹣2）＝5，
∵A（1，2），
∴D（1，﹣2），
∴AD＝2﹣（﹣2）＝4，
∴S△ABC＝BC•AD＝×5×4＝10．
【点评】本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质，掌握三角形的面积是解题的关键．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【分析】由勾股定理可求出AB＝15，由面积法可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝15，
∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，
∴×9×12＝×15CD，
∴CD＝．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解答本题的关键．
四、解答题（二）：每小题8分，共24分
21．（8分）已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标是（2，﹣3），PQ∥y轴；
（2）点P在第一、三象限的角平分线上．
【分析】（1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
（2）根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：（1）因为点P坐标为（2m+4，m﹣1），点Q坐标为（2，﹣3），且PQ∥y轴，
所以2m+4＝2，
解得m＝﹣1，
则m﹣1＝﹣2，
所以点P的坐标为（2，﹣2）．
（2）因为点P在第一、三象限的角平分线上，
所以2m+4＝m﹣1，
解得m＝﹣5，
则2m+4＝﹣6，m﹣1＝﹣6，
所以点P的坐标为（﹣6，﹣6）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟知平行于y轴的直线上及第一、三象限角平分线上点的坐标特征是解题的关键．
22．（8分）△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，过A作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长．
【分析】设BH＝x，则HC＝14﹣x，证明∠AHB＝∠AHC＝90°，在Rt△AHB和Rt△AHC中，由勾股定理列出方程，解方程求出BH＝91，然后根据勾股定理求出AH的长即可．
【解答】解：设BH＝x，则HC＝14﹣x，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
在Rt△AHB和Rt△AHC中，由勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
即BH＝9，
由勾股定理得：AH＝＝＝12，
答：AH的长为12．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，求出BH的长是解此题的关键．
23．（8分）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式．
（2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？（x≤100）
【分析】（1）观察图象可知，用租书卡的金额与租书时间之间的函数图象经过点（0，0）和（100，50），为正比例函数，可设其函数关系式为y＝kx，用会员卡租书的金额与租书时间之间的函数图象是一次函数，可设其函数关系式为y＝kx+b，分别使用待定系数法求解即可．
（2）用租书卡的方式租书，每天租书的收费为50÷100＝0.5元；
用会员卡的方式租书，每天租书的收费为（50﹣20）÷100＝0.3元．
【解答】解：（1）观察图象可知，用租书卡的金额与租书时间之间的函数图象经过点（0，0）和（100，50），为正比例函数，
可设其函数关系式为y＝kx，把点（100，50）代入求得k＝，即：函数关系式为y＝x；
用会员卡租书的金额与租书时间之间的函数图象是一次函数，可设其函数关系式为y＝kx+b，
其图象经过点（0，20）和（100，50），代入可得b＝20，k＝，即：函数关系式为y＝x+20；
（2）用租书卡的方式租书，每天租书的收费为50÷100＝0.5元；用会员卡的方式租书，每天租书的收费为（50﹣20）÷100＝0.3元．
【点评】本题重点考查了一次函数的图象及使用待定系数法求函数表达式．
五、解答题（三）：每小题10分，共20分
24．（10分）①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
②．
（1）请用不同的方法化简，参照①式得＝ ﹣ ；参照②式得＝ ﹣ ；
（2）化简+…．
【分析】（1）方法一：把分子分母都乘以（﹣），再利用平方差公式计算；
方法二：把2化为（）2﹣（）2，再利用平方差公式计算，然后约分即可；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）＝＝＝﹣；
＝＝＝＝﹣；
故答案为：﹣；﹣；
（2）原式＝+++•••+
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．
25．（10分）如图，直线y＝kx+4分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）条件下，探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为4，并说明理由．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把E点坐标代入y＝kx+4即可计算出k的值；
（2）由于P点在直线y＝x+4，则可设P点坐标为（x，x+4），根据三角形面积公式得到S＝﹣2x（﹣8＜x＜0）；
（3）解方程2|x|＝12，然后求出x即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）把E（﹣8，0）代入y＝kx+4得﹣8k+4＝0，
解得k＝；
（2）∵直线EF的解析式为y＝x+4，点P（x，y），
∴P点坐标为（x，x+4），
∵点A的坐标为（﹣6，0），
∴S＝×6×（x+4）＝x+12（﹣8＜x＜0）；
（3）当P运动到（﹣，）位置时，△OPA的面积为4，理由如下：
当S＝4时，则S＝x+12＝4，解得x＝﹣，
当x＝﹣，y＝×（﹣）+4＝，
所以P点坐标为（﹣，），
所以当P运动到（﹣，）位置时，△OPA的面积为4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．也考查了三角形面积公式．