2024年秋九年级数学下册 第28章《锐角三角函数》单元检测及解析

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人教版数学九年级下学期第28章《锐角三角函数》单元测试卷 （满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.sin60°的值等于（　　）A． B． C． D．2.已知α为锐角，sin（α﹣20°）=，则α=（　　）A．20° B．40° C．60° D．80°3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（　　）A． B． C． D．24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（　　）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（　　）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosA的值为（　　）A． B． C． D．7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（　　）A． B． C． D．8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（　　）A．3米 B．6米 C．3米 D．2米9.坡度等于1：的斜坡的坡角等于（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　）A．47m B．51m C．53m D．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.求值：sin60°﹣tan30°=　　．12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A=　 　度．13.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是　　．14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=，则S△ABC=　　．15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）　 　．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成_________________．三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）已知α为一锐角，sinα=，求tanα．18.（本题8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA的值．19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB和BC的长．AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°． 已知原传送带AB长为4米．求新传送带AC的长度．22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度． 23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）第28章《锐角三角函数》单元测试卷解析一、选择题1. 【答案】sin60°=．故选C．2.【答案】∵α为锐角，sin（α﹣20°）=，∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D．3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．4.【答案】A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．5.【答案】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选A．6. 【答案】如图，∵tanA=，∴设BC=x，则AC=3x，∴AB=x，∴cosA==．故选D．7. 【答案】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB===．故选：B．8.【答案】设直线AB与CD的交点为点O．∴．∴AB=．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt△BDO中，tan60°=．∵CD=6．∴AB=×CD=6．故选B．9.【答案】坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．故选B．二、填空题11.【答案】原式=﹣=﹣=．故答案为．12.【答案】∵∠C=90°，AC=5，AB=10，∴cosA===，∴∠A=30°，故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos∠AOB=．故答案为：．14.【答案】在Rt△ABC中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA=，∴BC=4，AC=8．∴S△ABC=AC•BC=16．15. 【答案】由题意得：AD=6m，在Rt△ACD中，tanA=∴CD=2，又AB=1.6m∴CE=CD+DE=CD+AB=2+1.6，所以树的高度为（2+1.6）m．16.【答案】过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=OA=7千米，OC=7千米．因而小岛A所在位置的坐标是（7，﹣7）．故答案为：（7，﹣7）．三、解答题17.【解答】由sinα=，设a=4x，c=5x，则b=3x，故tanα=．18.【解答】sinA==．19.【解答】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=AC=2，AD=AC•cosA=2．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴BC=2，∴AB=AD+BD=2+2．20. 【解答】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sin=，∴AB===40mm在Rt△ADF中，cos∠ADF==，∴AD==mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．21.【解答】如图，在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．即新传送带AC的长度约为8米；22. 【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABG中，i=tan∠BAG=，∴∠BAG=30°，∴BG=AB=5，AG=5．∴BF=AG+AE=5+15．在Rt△BFC中，∵∠CBF=30°，∴CF：BF=，∴CF=5+5．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE﹣DE=5+5+5﹣15=（5﹣5）m．答：宣传牌CD高约（5﹣5）米．23. 【解答】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴AD=PD=3千米，PA=6千米．∴AB=BD+AD=3+3（千米）；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=千米，AF=AB=+3 千米．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴CF=BF=千米，∴PC=AF+CF﹣AP=3千米．故小船沿途考察的时间为：3÷=3（小时）．24.【解答】（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=，则，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，即A、E之间的距离约为48m