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专题04 基本不等式及其应用-2025年新高考艺术生数学突破讲义
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1、基本不等式
如果,那么,当且仅当时,等号成立.其中,叫作的算术平均数,叫作的几何平均数.即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式1:若,则,当且仅当时取等号;
基本不等式2:若,则(或),当且仅当时取等号.
注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”;其中“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指满足等号成立的条件.(2)连续使用不等式要注意取得一致.
【方法技巧与总结】
1、几个重要的不等式
(1)
(2)基本不等式:如果,则(当且仅当“”时取“”).
特例:(同号).
(3)其他变形:
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串:即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2、均值定理
已知.
(1)如果(定值),则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值,积有最大值”.
(2)如果(定值),则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值,和有最小值”.
3、常见求最值模型
模型一:,当且仅当时等号成立;
模型二:,当且仅当时等号成立;
模型三:,当且仅当时等号成立;
模型四:,当且仅当时等号成立.
【典型例题】
例1.(2024·北京大兴·高三统考期末)已知且,则下列结论中不正确的是( )
A.B.
C.D.
例2.(2024·全国·高三专题练习)下列不等式证明过程正确的是( )
A.若,则
B.若x>0,y>0,则
C.若x<0,则
D.若x<0,则
例3.(2024·湖北武汉·高三统考期末)已知正数,满足,则( )
A.B.C.D.
例4.(2024·全国·高三专题练习)已知,,且,则的最小值为( )
A.9B.10C.12D.13
例5.(2024·甘肃武威·高三统考期末)若,且,则的最小值为( )
A.6B.9C.4D.8
例6.(2024·全国·高三专题练习)已知正实数满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
例7.(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试)已知正实数m,n满足,则的最大值是( )
A.2B.C.D.
例8.(2024·山西运城·高三校考期末)某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时,需要12天完成,只由一名女社员分装时,需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜,要求一天内分装完毕.由于现有的男、女社员人数都不足以单独完成任务,所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验,这批蔬菜分装完毕后,参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克,参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为( )
A.10B.15C.30D.45
例9.(2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知,向量,则的最大值为 .
例10.(2024·全国·高三专题练习)函数在上的最大值为 .
例11.(2024·全国·高三专题练习)若实数满足,则的最小值为 .
【过关测试】
一、单选题
1.(2024·全国·高三专题练习)若,则下列不等式中不成立的是( )
A.B.
C.D.
2.(2024·全国·高三专题练习)已知实数满足且,则下列不等关系一定正确的是( )
A.B.
C.D.
3.(2024·广东·高三学业考试)已知正实数满足,则的最小值是( )
A.7B.8C.9D.10
4.(2024·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试)若,,则的最小值是( )
A.2B.4C.3D.8
5.(2024·陕西西安·统考一模)已知,则的最小值为( )
A.B.C.D.
6.(2024·全国·高三专题练习)下列函数中,最小值为4的是( )
A.B.
C.D.
7.(2024·陕西商洛·统考模拟预测)设某批产品的产量为(单位:万件),总成本(单位:万元),销售单价(单位:元/件).若该批产品全部售出,则总利润(总利润销售收入-总成本)最大时的产量为( )
A.7万件B.8万件C.9万件D.10万件
8.(2024·全国·高三专题练习)已知,则m,n不可能满足的关系是( )
A.B.
C.D.
9.(2024·全国·高三专题练习)已知,,且,则ab的最小值为( )
A.4B.8C.16D.32
二、多选题
10.(2024·全国·高三专题练习)十六世纪中叶,英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号,并逐渐被数学界所接受,不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和,记两速度的算术平均值为,全程的平均速度为,则下列选项正确的是( )
A.B.C.D.
11.(2024·全国·高三专题练习)已知,若,则( )
A.B.
C.的最小值为8D.的最大值为
12.(2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试)已知,若,则( )
A.B.
C.的最大值为D.的最小值为8
13.(2024·山东聊城·高三统考期末)下列说法中正确的是( )
A.函数的最小值为4
B.若,则的最小值为4
C.若,,,则的最大值为1
D.若,,且满足,则的最小值为
14.(2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)若,则下列说法一定正确的是( )
A.B.
C.D.若,则
15.(2024·甘肃·高三统考阶段练习)已知,若,则( )
A.的最大值为B.的最小值为1
C.的最小值为8D.的最小值为
16.(2024·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习)已知正数a,b满足,则( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最小值为4D.的最小值为2
17.(2024·广东湛江·高三统考期末)下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则的最小值为2
C.若,则的最大值为2
D.若,则
18.(2024·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末)设,,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
19.(2024·全国·高三专题练习)若正数,满足,则的最小值为 .
20.(2024·全国·高三专题练习)函数的最小值为 .
21.(2024·全国·高三专题练习)函数 的最大值为 .
22.(2024·全国·高三专题练习)已知正数x、y满足,求的最小值为 ;
23.(2024·江苏无锡·高三江苏省江阴长泾中学校考阶段练习)已知正实数x,y满足,则的最小值为 .
24.(2024·全国·高三专题练习)某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池,池的深度为米,池的四周墙壁建造单价为每米元,中间一条隔壁建造单价为每米元,池底建造单价每平方米元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为 米时,可使总造价最低.
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