专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
3、函数的对称性
（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．
（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．
（3）若，则函数关于对称．
（4）若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【典型例题】
例1．（2024·北京顺义·高三统考期末）已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2024·四川南充·统考模拟预测）函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·陕西商洛·统考一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增D．是奇函数，且在上单调递减
例6．（2024·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：在单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2024·全国·高三期末）已知函数在区间上的最大值为，则等于（ ）
A．B．C．D．或
例8．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0B．10C．D．
例9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知为奇函数，则（ ）
A．B．2C．1D．
例10．（2024·陕西西安·高三统考期末）已知是奇函数，则（ ）
A．－1B．1C．－2D．2
例11．（2024·陕西西安·统考一模）已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．
B．是周期函数，且2是其一个周期
C．
D．
例12．（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）已知函数对任意实数都有且则（ ）
A．B．C．1D．0
例13．（2024·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·河南·高三专题练习）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·广东·高三学业考试）若函数在上是增函数，则（ ）.
A．B．
C．D．
3．（2024·北京·高三北京市第三十五中学校考期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·全国·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数为上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期末）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·广东茂名·统考一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A．B．C．0D．2
15．（2024·山西·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．C．2D．4
16．（2024·全国·模拟预测）己知函数的定义域为若，则（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知函数为上的奇函数，，且，则（ ）
A．B．C．0D．
18．（2024·陕西西安·统考一模）已知是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3B．C．255D．
19．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）已知定义在上的函数，满足，，若，则（ ）
A．2B．C．D．
20．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，，则（ ）
A．函数为偶函数B．
C．D．
21．（2024·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
22．（2024·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）若函数的最小值为，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为上的减函数
24．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为4B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称D．在内至少有5个零点
25．（2024·海南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称
C．D．
26．（2024·山东泰安·高三校考阶段练习）已知是定义在R上的函数，函数图像关于y轴对称，函数的图像关于原点对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．对，恒成立
C．函数关于点中心对称D．
27．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．的图像关于直线对称D．在[0，10]上有6个零点
三、填空题
28．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知，求 .
29．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
30．（2024·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是 .
31．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知函数为偶函数，则 .
32．（2024·四川内江·高三校考阶段练习）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ．
33．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）为定义在上的奇函数，当时，，则时， ．
34．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高三校考期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则
35．（2024·陕西西安·西安一中校考模拟预测）定义域为的函数满足当时，，且是奇函数，则 .
36．（2024·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则的值为 ．
37．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则 .
38．（2024·全国·高三专题练习）若函数是上的偶函数，则的值为 .
39．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 .
40．（2024·广东·高三学业考试）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为 .
41．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 .
42．（2024·甘肃武威·高三统考期末）奇函数满足，则 .
43．（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，其图象关于点对称.当时，，则 .
44．（2024·山东·高三济南一中校联考期末）函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 ．
45．（2024·河南南阳·高三社旗县第一高级中学校考阶段练习）已知函数，给出三个性质：
①定义域为；
②是奇函数：
③在上是减函数．
写出一个同时满足性质①、性质②和性质③的函数解析式， .
四、解答题
46．（2024·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知函数，
(1)求该函数的定义域；
(2)证明该函数在上单调递减；
(3)求该函数在上的最大值和最小值.
47．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，其中
(1)若函数是偶函数，求实数a的值；
(2)若函数在上具有单调性，求实数a的取值范围；
(3)当a＝1时，若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，试确定实数k的取值范围．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称