专题10 对数与对数函数 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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1、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【方法技巧与总结】
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
【典型例题】
例1．（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）
A．23B．100C．150D．232
例2．（2024·高三·江西·开学考试）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例3．（2024·高一·河南·开学考试）已知函数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
例4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
例6．（2024·高一·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
例8．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数① y＝lgax；② y＝lgbx；③ y＝lgcx；④ y＝lgdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋aB．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋dD．b＋d＜a＋c
例9．（2024·高一·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（ ）
A．B．
C．D．
例10．（2024·天津南开·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例11．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例12．（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示）
例13．（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
例14．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
例15．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值；
（2）求值：.
例16．（2024·高一·江苏常州·期末）（1）计算：；
（2）已知，计算的值并证明．
例17．（2024·高一·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
2．（2024·高三·四川·期末）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（ ）
A．9位数B．10位数C．11位数D．12位数
3．（2024·青海·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高一·山西大同·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·高三·全国·专题练习）函数f(x)＝＋ln (3x－1)的定义域为( )
A．(，]B．(，)
C．[－，)D．[－，]
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·高一·湖南·阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·高一·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·高二·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A．B．C．D．
12．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ）
A．1.12B．1.13
C．1.14D．1.15
二、多选题
13．（2024·高一·河南省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（ ）
A．幂函数的图象都过点
B．函数与是同一函数
C．函数与的图象关于直线对称
D．，是以为周期的函数
三、填空题
14．（2024·高一·山东威海·期末）已知，，则 .
15．（2024·高一·福建漳州·期末）设，则的值为 .
16．（2024·四川广安·二模）已知函数.则的值为 .
17．（2024·高三·上海·阶段练习）方程的解是 .
18．（2024·高一·云南·阶段练习）计算： .
19．（2024·高一·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则 ．
20．（2024·高一·山东青岛·期末）写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式 ．
①的定义域为；②；③当时，．
21．（2024·高一·北京东城·期末）函数的定义域是 .
22．（2024·云南·模拟预测）若为奇函数，则 .
23．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）函数的最大值为 .
24．（2024·高一·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ．
25．（2024·高一·四川绵阳·开学考试）函数（且）的图象经过点，则函数的反函数 ．
四、解答题
26．（2024·高一·四川眉山·开学考试）（1）
（2）已知，求的值．
27．（2024·高一·广西百色·开学考试）计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
28．（2024·高一·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域.
29．（2024·高一·湖北十堰·开学考试）求函数．
(1)定义域和值域；
(2)增区间和减区间．
30．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的值域．
31．（2024·高一·云南昆明·期末）设函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值．
32．（2024·高一·云南·期末）已知函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，