专题14 导数的概念与运算 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【方法技巧与总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【典型例题】
例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，，
∴曲线在处的切线斜率为，
∴曲线在处的切线方程为，且.
故选：C．
例2．（2024·高二·全国·竞赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
例3．（2024·高三·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，
则，得.
因为，
所以当时，，
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选：C
例4．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】设直线与抛物线相切的切点坐标为，由，求导得，
因此抛物线在点处的切线方程为，即，
依题意，此切线与圆相切，于是，解得或，所以所求切线条数为3.
故选：D
例5．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．3B．C．0D．1
【答案】C
【解析】因为，则，
由题意可得：，解得，所以.
故选：C.
例6．（2024·高三·广东·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】，
因为函数在点处的切线与直线垂直，
所以，即，则不可能同时为负数，
当或时，，
当时，，
当时，，
当且仅当时，取等号，
综上所述，的最大值为.
故选：A.
例7．（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以，两边求导，可得.
又在处的切线方程为：，
所以.
所以.
故选：A
例8．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：D
例9．（2024·高三·全国·阶段练习）若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，所以，
，得，所以，
当且仅当时等号成立．
故选:C．
例10．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为B．在上单调递减
C．的最小值为D．的图象在处的切线方程为
【答案】C
【解析】A：，因此本选项不正确；
B：由上可知：，
当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；
C：由上可知：，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；
D：由上可知，因为，
所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，
故选：C
例11．（2024·高三·山东济宁·开学考试）函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以切线方程为，
即.
故选：C
例12．（2024·高三·河南·专题练习）已知函数的图象经过点，则函数在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】将点的坐标代入，得，解得，故，
由，所以点处切线的斜率为，
故所求的切线方程为，即．
故选：B．
例13．（2024·吉林白山·二模）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1） ，
因此，而，
故所求切线方程为，即；
（2）依题意，，故对任意恒成立.
令，则，
令，解得.
故当时，单调递增；
当时，单调递减，
则当时，取到极大值，也是最大值2.
故实数的取值范围为.
例14．（2024·高三·全国·专题练习）设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，求的值．
【解析】由，求导得，则，
因此曲线在点处的切线方程为，令，得，即，
所以.
例15．（2024·高二·江苏南通·期末）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．
【解析】（1），
令，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以函数的极值点为；
（2）由（1）可知：，而，
所以切线的方程为，
由，或，
当时，，此时，与有公共点，
当时，设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以由，即，此时与有公共点，
综上所述：与有唯一公共点.
例16．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则 ．
【答案】2
【解析】设切点坐标为，对函数求导得，
则切线斜率，得，
所以，且，
则，即．
故答案为：2.
例17．（2024·四川·模拟预测）写出与函数在处有公共切线的一个函数 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题，，，答案不唯一，满足，即可.
取，则，显然满足，.
故答案为：（答案不唯一）.
例18．（2024·四川广安·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：
例19．（2024·四川遂宁·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】，则，又，
故切线方程为，即.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·全国·专题练习）函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，则（ ）
A．21B．24C．30D．36
【答案】A
【解析】由，得，
所以在点处的切线方程为，
即，令，得，
所以，又，
故是首项为16，公比为的等比数列.
所以.
故选：A
2．（2024·高三·河南·专题练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以所求切线的斜率为，又，
所以所求的切线方程为，即．
故选：C．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
因为曲线存在与y轴垂直的切线，所以方程有实根，
即方程有实根．
设，则，当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
又当趋向于负无穷大时，也趋向于负无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于0，
所以，
则a的最大值为，
故选：C．
二、多选题
4．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
【答案】AC
【解析】因为，，
所以，
令，即；令，即，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；
因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，
则，故D错误.
故选：AC.
5．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则下列说法正确的是（ ）．
A．，B．在上单调递增
C．是的一条对称轴D．是曲线的一条切线
【答案】AD
【解析】设，，则．
因为，,
所以，，，
所以，即，即．
又因为，且为下降零点，
所以，，
即，，
故取．故．所以A选项正确；
当，，显然不是单调增区间，所以B选项错误；
将代入方程得，显然不是对称轴，
所以C选项错误；
令得或，
取点得其中一条切线为，所以D选项正确．
故选:AD．
6．（2024·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为
C．的方程为D．的方程为
【答案】BCD
【解析】因为，所以的斜率的最小值为.
因为，所以的方程为.
因为，所以的方程为，即.
故选：BCD.
7．（2024·高三·江苏镇江·期中）已知函数的导函数为，两个极值点为，，则（ ）
A．有三个不同的零点
B．
C．
D．直线是曲线的切线
【答案】BD
【解析】由函数，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，当时，函数极小值，极小值为，
当时，函数极大值，极大值为，
且两个极值点之和为，所以B正确；
又由当时，，且函数连续不间断，所以函数在上有且仅有一个零点，所以A不正确；
由，所以C错误；
当时，可得，
所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确.
故选：BD.
8．（2024·高三·福建福州·期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，，则，当且仅当即等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，
选项A中直线的斜率为，符合题意；
选项B中直线的斜率为，不符合题意；
选项C中直线的斜率为，符合题意；
选项D中直线的斜率为，符合题意；
故选：ACD.
9．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．在处的切线方程为D．的单调递增区间为
【答案】BC
【解析】对于AC，，由，得，
所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，
对于BD，函数的定义域为，，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，
故选：BC
10．（2024·高三·广东珠海·开学考试）已知函数，则（ ）
A．为其定义域上的增函数B．为偶函数
C．的图象与直线相切D．有唯一的零点
【答案】AD
【解析】由题意，
在中，定义域为，
，
∴为上的增函数，A正确；
，
∴为奇函数，B错误；
∵当时，解得：，
此时，
∴斜率为0的切线为，不可能为直线，
∴C错误；
为上的增函数，，
∴有唯一的零点，D正确.
故选：AD.
11．（2024·高三·福建厦门·阶段练习）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.
对于A，直线的斜率为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故C正确；
对于D，直线的斜率为，故D错误.
故选：AC.
12．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
【答案】AC
【解析】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
三、填空题
13．（2024·湖南衡阳·二模）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为，则，
所以切点为，且，
则，
由直线的点斜式可得，化简可得，
所以切线方程为.
故答案为：
14．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 ．
【答案】1
【解析】因为，所以，
设函数，则，
所以在定义域上单调递增，
因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为．
故答案为：
15．（2024·高三·云南楚雄·期末）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 .
【答案】
【解析】由求导得，直线斜率为，
代入导函数有：，解得.
故答案为：
四、解答题
16．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为
17．（2024·高三·全国·专题练习）若P是曲线y＝x2－ln x上任一点，求点P到直线x－y－4＝0的最小距离及此时点P的坐标．
【解析】要使点P到直线x－y－4＝0的距离最小，只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线切点，即点P为斜率为1的切线的切点．设P(x0，y0)，y0＝－ln x0，x0＞0，
y′|x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－ (舍去)，
点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为＝2，
所以点P到直线x－y－4＝0的最小距离为2，此时点P(1，1).
【考查意图】转化为求曲线的切线问题(最小距离).
基本初等函数
导函数
（为常数）