专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、证明不等式常用的方法和思路
作差构造函数，转化为最值问题
二、不等式恒成立问题常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
三、零点问题常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【典型例题】
例1．（2024·高三·全国·专题练习）证明：当时，；
【解析】令，则，
在上单调递增，，即当时，；
令，则，
令，则，
当时，单调递增，即单调递增，，
在上单调递增，，
即当时，；
综上所述：当时，.
例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，证明：对一切，都有成立.
【解析】当时，不等式等价于，
在在，令，，
由，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
令，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，即，
又因为当时，函数到到最小值，当时，函数到到最大值，
所以.
例3．（2024·高三·全国·专题练习）求证：
(1)（）；
(2)；
(3)（）．
【解析】（1）要证，只需证，
令（），，
故在上单调递减，由于，因，
故，则有（）.
（2）令，，
当时，；当时，，
可知在上单调递增；在上单调递减，所以，
故，从而成立.
（3）令（），，由解得：，，
令，得，令，得或
故在区间和上单调递减，在区间上单调递增，
由于，
则有对恒成立，故得：（）．
例4．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为
例5．（2024·吉林白山·二模）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1） ，
因此，而，
故所求切线方程为，即；
（2）依题意，，故对任意恒成立.
令，则，
令，解得.
故当时，单调递增；
当时，单调递减，
则当时，取到极大值，也是最大值2.
故实数的取值范围为.
例6．（2024·高二·山西大同·期末）已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）易知，
依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，
所以．
（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
例7．（2024·高二·重庆永川·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题得，，
当时，，在上单调递减，故无最值
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得唯一的极小值，即为最小值，
即，
综上所述，当时，无最值
当时，的最小值为，无最大值.
（2），
函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，
即恰有个不等的实根，
设，则，
，单调递增，
有两个解，即有两个解.
令，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
又时，，且，，
当时，，
当时，仅有一个零点，
的取值范围为.
例8．（2024·高三·四川·对口高考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：函数有唯一零点．
【解析】（1）因函数是定义在R上的奇函数，则，，
因此，恒成立，所以.
（2）由（1）知，，，在上单调递增，则函数至多有一个零点，
又，所以函数有唯一零点．
例9．（2024·高三·山东·阶段练习）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．
【解析】（1）因为，且，，
所以切线方程为，
即所求切线方程为．
（2）．
因为，所以，，，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以在上是减函数，且，
所以在上仅有一个零点．
例10．（2024·高三·江苏·阶段练习）已知函数.
(1)设，求在区间上的最值；
(2)讨论的零点个数.
【解析】（1）因为，
所以在区间上单调递减，
所以当时，取最大值；
当时，取最小值.
（2）先讨论在上的零点个数，
由（1）可知，在上递减，，
所以在上递减，因为，
所以在上有唯一零点，
又因为，
所以是偶函数，所以在上有两个零点.
【过关测试】
1．（2024·高二·福建莆田·期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.
【解析】（1）的定义域,
若则在上单调递增；
若当时，则单调递减，时，则单调递增.
综上：当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因，设则，
则在上单调递减，故.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【解析】（1）显然该函数的定义域为全体正实数，
由，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数单调递减，
因此；
（2）由（1）可知：，即，
即，
当时，.
3．（2024·高二·全国·课时练习）证明：.
【解析】令，则，
令，则，
所以在上单调递增，且，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
故当时，取极小值也是最小值，
故，因此.
4．（2024·高二·北京·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
【解析】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
5．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期中）已知函数.
(1)若在处的切线过原点，求切线的方程；
(2)令，求证：.
【解析】（1）∵，∴在处的切线的斜率为.
又在曲线上，在处的切线过原点，
∴，解得.
∴切线的方程为，即.
（2）证明：∵，
∴，
由有：，由有：，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴函数的最大值为，
∴.
6．（2024·浙江杭州·一模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
【解析】（1）由题可知函数的定义域为 ，
，
即，
(i)若，
则在定义域上恒成立，
此时函数在上单调递增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上单调递减，上单调递增.
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，上单调递增.
（2）当时，，
要证明，只用证明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解设为，且，
所以，
当变化时，与的变化情况如下，
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得证.
7．（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知函数在和处取得极值.
(1)求的值及的单调区间；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）
，
函数在和处取得极值．
，，
联立解得：，．
，
令，解得和，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
故和是的极值点，
故函数单调递增区间为，；函数单调递减区间为．
（2）由（1）知在单调递减，在单调递增，
要使得对任意，不等式恒成立，则需且，
故且，
解得，或，
的取值范围是,,．
8．（2024·高三·北京通州·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由得，又，
所以在切线为
（2）令，则，故在单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取极小值，无极大值，
（3）由得，
故，
构造函数则，令，则，
故当时，，单调递增，时，单调递减，
故当取极小值也是最小值，，
所以，即
9．（2024·高三·江苏常州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
10．（2024·高三·全国·专题练习）已知，求证：恒成立.
【解析】证明：，显然在单调递增，
又，，所以存在唯一的使得
即，两边取对数得
当时，单调递减，
当时，单调递增.
所以，
所以恒成立．
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，求证：当时，.
【解析】要证：时，，即证：，
两边同时乘，则，
即，即证：，
令，，
所以在单调递减，
所以，即，即．
12．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为．
(1)求，的值与函数的单调区间；
(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】（1），
，
函数的图象在点处的切线方程为．
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
（2）由（1）可得：，．
令，则，
所以当变化时，的变化情况如下：
由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．
函数在上的最大值为8．
由，不等式恒成立，．
，
解得或．
的取值范围是．
13．（2024·高二·福建龙岩·阶段练习）设函数．
(1)求的增区间；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，依据题意可知，
令得或，所以，的增区间为，.
（2）令，得（舍），，列表如下：
所以，当时，，
对任意的，恒成立，则.
14．（2024·高二·广东梅州·期中）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）由得，
令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，
（2）由恒成立可得恒成立，
记，则，令 ，则，
由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，
因此在上单调递增，且，故当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故
15．（2024·高三·全国·专题练习）求函数f(x)＝x－4ln x－2的零点个数.
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋
－
＝
.
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值变化情况如表：
当0