专题21 解三角形-2025年新高考艺术生数学突破讲义

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1、角的关系
2、正弦定理
为的外接圆的直径）．
正弦定理的应用：
①已知两角及一边求解三角形．
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若，已知角Ａ求角Ｂ．
若，已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）．
3、余弦定理
（已知两边a，b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）．
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
②已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边．
4、三角形面积公式
【典型例题】
例1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．3B．C．D．8
【答案】B
【解析】因为，
由正弦定理得，
即，
即，
又因为，可得，所以，
因为，，
由余弦定理得，
即，解得.
故选：B.
例2．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知的内角的对边分别是.若，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】由题意知中，，故，
故，（R为外接圆半径），
故，
故选：D
例3．（2024·广东江门·一模）在中，，，则角A的大小为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】由题意知中，，，
故，即，
由于，故，则或，
故A的大小为或，
故选：D
例4．（2024·江西赣州·一模）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴由余弦定理可得：,
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选:B
例5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理可得，
即，又，所以，
因为且，所以，所以
又，所以，.
故选：B
例6．（2024·高一·福建莆田·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解；
对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解；
对于C项，由正弦定理，可得，
可得B有两解，所以三角形有两解；
对于D项，由余弦定理得，
可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．
故选：C．
例7．（2024·高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】因为，故，
整理得到，
故，故或，
即或，故的形状为等腰或直角三角形，
故选：D.
例8．（2024·高三·江苏南京·开学考试）某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【解析】依题意可得如下图形：
在中，，，，，
所以由正弦定理得：，解得：，
在，，
所以，则红豆树的高度为米.
故选：D
例9．（2024·四川·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且，则的外接圆的周长为 ．
【答案】
【解析】由可得，即，
展开得，即．
又因为，由正弦定理（其中为的外接圆的半径）可得
，解得，则的外接圆的周长为．
故答案为：.
例10．（2024·高三·河南·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若成等比数列，且，则 ， ．
【答案】 / /0.5
【解析】因为，由正弦定理知，
所以有：．
故，即，从而，所以．
因为成等比数列，所以，从而．
故答案为：；.
例11．（2024·四川成都·二模）在中，，，，则BC边上的高为 ．
【答案】/
【解析】因为，，所以，
由正弦定理得，
由余弦定理，得，
解得（负值舍）
设BC边上的高为h，则．
故答案为：.
例12．（2024·高三·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为 ；若，则的面积为 ．
【答案】 /
【解析】由题意，平分交于且，
可得，即，
整理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值，
因为，即，
又因为，所以，即，
因为，解得，因此．
故答案为：；.
例13．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A的平分线交BC于点D，且．
(1)求A：
(2)若，的周长为15，求AD的长．
【解析】（1）因为，利用正弦定理可得：
，
即．
因为，所以，即，
又，可得．
（2）因为，，所以．
在中，由余弦定理可得：，所以．
又因为为角A的平分线，所以，
所以，
即，所以．
例14．（2024·高三·云南·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.从条件①：；条件②：；条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件.（注：若选择多个条件作答，则只按第一个解答计分）
(1)求角B的大小；
(2)若，的平分线BD交AC于点D，且，求的面积.
【解析】（1）选条件①：因为，所以，即，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，所以.
选条件②：因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，所以.
选条件③：由正弦定理可得，
即，
又因为，所以，
因为，所以.
（2）由BD平分，得，
则，即.
在中，由余弦定理可得，
又，则，
联立可得，
解得（舍去）.
故.
例15．（2024·安徽阜阳·一模）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积．
【解析】（1）因为，
所以根据正弦定理得，
因为，
所以，
即，
即．
因为，所以．
因为，所以．
（2）．
因为，所以①．
因为，
所以②．
联立①②可得，解得（负根舍去），
故的面积为．
例16．（2024·宁夏银川·一模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角：
(2)若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.
【解析】（1）因为，整理得，
由正弦定理可得：，
且，则，可得，
即，且，可得.
（2）因为为角的角平分线，则，即，
由余弦定理可得，即，
解得或（舍去），则，
所以的面积.
例17．（2024·山东潍坊·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，为的中点，求．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，
则有，
，
，又，，
，，又，；
（2）根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
为的中点，则，
，
．
例18．（2024·高二·河南省直辖县级单位·期末）已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
【解析】（1）在中，由余弦定理得，，
所以，
所以，
又因为为锐角三角形，所以，所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，
所以的取值范围为.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，则，
要使满足条件的三角形不唯一，则，即.
故选：A.
2．（2024·高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别是，若，，则角（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，由余弦定理得，，整理得，即；
又，由正弦定理得，，．
又，，又，是等边三角形，．
故选：C．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由正弦定理可得，，
又，所以，
不妨设，
所以由余弦定理得．
故选：D．
4．（2024·高三·四川·阶段练习）若的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【答案】D
【解析】对于A，若，则，
因为为三角形内角，只能说明为锐角，不能说明为锐角三角形，故A错误；
对于B，若，由余弦定理可得，
整理可得，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若，由正弦定理可得，
因为，则，即三角形只有一解，故C错误；
对于D，若是锐角三角形，则，所以，
即，所以，即，
同理可得，所以，故D正确；
故选：D.
5．（2024·高三·北京顺义·期中）在中，，，，满足条件的（ ）
A．有无数多个B．有两个C．有一个D．不存在
【答案】D
【解析】因为，，，
由正弦定理，即，所以，
又，
由正弦函数的性质可得不存在，所以满足条件的不存在.
故选：D
6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】C
【解析】，由，故，又，
故，，由余弦定理可得：
，
即.
故选：C.
7．（2024·高三·全国·专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin B＝b cs A，a2＝(b－c)2＋4，则△ABC的面积是（ ）
A．1＋B．2＋C．2D．2＋2
【答案】A
【解析】因为a sin B＝b cs A，所以sin A sin B＝sin B cs A(sin B＞0)，所以sin A＝cs A，所以tan A＝1．因为0＜A＜π，所以A＝，所以a2＝b2＋c2－2bc cs ．因为a2＝(b－c)2＋4，所以bc＝4＋2，所以S△ABC＝bc sin A＝1＋.
故选A.
8．（2024·高三·全国·专题练习）在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由余弦定理可得，，故.
故选：A.
9．（2024·北京门头沟·一模）在中，，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
解得，则，
所以.
故选：A.
10．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形B．为直角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
【答案】C
【解析】由于,
故为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C
11．（2024·高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别是，，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】在中，，由于,
故，
又，故，而，
则，而，则，（舍），
故，即为等边三角形，
故选：C
12．（2024·高三·陕西西安·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，且外接圆的半径为2，所以．
由余弦定理得，
，
则
故选：D．
13．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】过点作，交于点，
在直角三角形中，因为，
所以，
在直角三角形中，因为，
所以，
则.
故选：B.
二、填空题
14．（2024·福建莆田·二模）已知的内角的对边分别为，若，则 ．
【答案】
【解析】由余弦定理可得，
所以，
于是有.
故答案为：.
15．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）中，、、的对边分别为、、，且，，则的周长为
【答案】
【解析】由题意知，，
由正弦定理，得，
，
即，又，
所以，得，又，
所以；
由余弦定理，得，即，
由，解得，
所以的周长为.
故答案为：
16．（2024·贵州毕节·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则的面积为 .
【答案】/0.25
【解析】因为，所以, 即 ，
所以或，即或，
在中，所以或，
又因为 ，由余弦定理得
所以
当时，解得，，
当时，解得，，
综上所述：的面积为.
故答案为：.
17．（2024·高三·全国·专题练习）李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多游客来此打卡拍照.如图所示，李明为了测量李子坝站站台距离地面的高度，采用了如下方法：在观景台的点处测得站台点处的仰角为；沿直线后退米后，在点处测得站台点处的仰角为.已知李明的眼睛距离地面高度为米，则李子坝站站台的高度约为 （精确到小数点后1位）（近似数据：，）.
【答案】米
【解析】设高度为米，由题可知，
所以米，
在中，由正弦定理得： ，
所以，
所以，
解得，
所以（米）.
故答案为：米
18．（2024·高三·全国·专题练习）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且m，则文星塔高为 m.

【答案】
【解析】如图所示，设建筑物的高为，
则，，，
由余弦定理可得，
，
因为，故，
即，可得.
故答案为：.
三、解答题
19．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）在锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求；
(2)若，求的面积.
【解析】（1）因为为锐角三角形，则
因为，则，
因为，可得，
所以．
（2）因为，
由余弦定理可得，即，
整理得．则或（舍去）；
所以的面积为．
20．（2024·河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积．
【解析】（1）
，且，
所以；
（2）根据正弦定理，，
所以或，
当时，，，此时，不成立，
当时，此时，则，
的面积.
21．（2024·天津河东·一模）在三角形中，角所对的边分别为．已知，．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求边的值．
【解析】（1）因为，，，解得，
由已知，，
又，故，
故，解得；
（2），，
；
（3）由得，
整理为，解得或（舍）.
22．（2024·高三·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．
(1)若，求的面积；
(2)若为钝角三角形，求a的取值范围．
【解析】（1）由及正弦定理，则．
当时，，，由余弦定理，，
从而，此时的面积．
（2）由于，，由三角形三边关系可得，即，
解得．
由于C为的最大内角，故，
即，解得．
由于，则．
23．（2024·高三·江西赣州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)证明：；
(2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．
【解析】（1）因为，由正弦定理得，，
整理可得，，
又，
于是，即，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）根据等面积法可知，即，
由，可得，
又由及正弦定理可得，，
解得，
由于，所以，
所以，所以是直角三角形.
24．（2024·高三·江苏盐城·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为
(1)求；
(2)求周长的最小值.
【解析】（1）由，得，
即，则，
由，得.
（2），得，
由余弦定理，有，得，
周长，
当且仅当时取等号，所以周长的最小值为.
25．（2024·广西·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知.
(1)证明：；
(2)若，求周长的最大值.
【解析】（1）根据面积公式，可得，，
，
要证，即证.
由可得，
由余弦定理可得，
整理可得，原式得证.
（2）因为，由（1）知，
所以，当且仅当时，等号成立，
故，
所以，的最大值为6.
故周长的最大值为.
26．（2024·高三·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边长和角A；
(2)求的周长的取值范围.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
，
，
，
可得，
因为，所以，
由得，
得，
故或，故或0 (舍去).
（2）因为，
由余弦定理得，即，
所以，
又，即，
解得，
根据三角形三边关系得到，
故，
的周长的取值范围是.
27．（2024·高三·贵州遵义·阶段练习）在中，，在边上，且.
(1)若，求的周长;
(2)求周长的最大值.
【解析】（1）若，则，
又，，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
故，
故的周长为；
（2）由（1）知，，
设，则，
由三边关系可得，解得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
故，
所以的周长为，
令，，
则，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
最大值为.
28．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）在平面四边形 中.
(1)求 ；
(2)若 求.
【解析】（1）在中，解得.
因为所以
解得.
（2）解法一：由（1）可得.
.
在中，解得.
解法二：延长交于点，如图，
则为等边三角形.
在中，，解得.
29．（2024·湖南·模拟预测）的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理可得.
又，所以.
因为，所以；
（2）的面积，则.
由余弦定理：，
得，
所以，
故的周长为.
30．（2024·高三·山东聊城·期中）在中，为上一点，满足，且．
(1)证明：．
(2)若，求．
【解析】（1）因为为上一点，满足，
所以，所以，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，设，则，
又因为，为上一点，，
设，则，，
在中，，
在中，，
所以，
所以，
在中，.