专题23 复数经典问题 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
二.基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
【典型例题】
例1．（2024·河北唐山·一模）已知i为虚数单位，复数，则=（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】,所以，，.
故选：D
例2．（2024·陕西西安·二模）复数，（，是虚数单位）对应的点在第二象限， 则（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，
故有，解得.
故选：C.
例3．（2024·宁夏石嘴山·一模）若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为复数为纯虚数，
所以且，解得，
又，，，，
则.
故选：A．
例4．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且复数，则下列说法中正确的是（ ）.
A．复数为实数B．
C．复数为纯虚数D．
【答案】A
【解析】，故，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
例5．（2024·浙江·模拟预测）若复数的实部大于0，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
代入，得，
解得：，
所以.
故选：D.
例6．（2024·浙江金华·模拟预测）若复数z满足，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】设，则，
则有，
即，
化简可得，故.
故选：D.
例7．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知的两共轭虚根为，，且，则 ．
【答案】3
【解析】由题设，可令，且，
所以，
所以.
故答案为：3
例8．（2024·高三·上海静安·期末）已知， 是虚数单位，的虚部为 .
【答案】
【解析】由题，
所以的虚部为.
故答案为：
例9．（2024·高三·广东·专题练习）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数
【答案】
【解析】由，
结合题意，则，解得.
故答案为：.
例10．（2024·全国·模拟预测）设为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为 .
【答案】1
【解析】由题意可知虚数为方程的一个根，也为方程的一个根，
所以，
设，则，
，
所以，
故答案为：.
例11．（2024·高三·上海·阶段练习）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为的解为
，
设所对应的两点分别为，
则，，
设的解所对应的两点分别为，，
记为,,，
当，即时，因为关于轴对称，
且，，关于轴对称，显然四点共圆；
当，即或时，
此时,,，且，
故此圆的圆心为，半径，
又圆心到的距离，
解得，
综上：,
故答案为：.
例12．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数，则的虚部为
【答案】
【解析】.
所以复数的虚部为.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．3D．0
【答案】A
【解析】因为，
所以，所以，
所以复数的虚部.
故选：A
2．（2024·北京·模拟预测）记复数的共轭复数为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
3．（2024·河南新乡·二模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
故，
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知复数（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：，.
方法二：.
故选：B.
5．（2024·高三·江西·阶段练习）复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，将向量绕点逆时针旋转后得到向量，点对应复数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，设其与实轴正半轴夹角为，则，
故可设，
设与实轴正半轴夹角为，则，
故，
故，则，
，
.
故选：C
6．（2024·陕西西安·一模）i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，
所以.
故选：A
7．（2024·重庆·模拟预测）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
则.
故选：D.
8．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
9．（2024·山东济南·一模）已知复数，满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】设则
所以，，即，
则
故选：B.
10．（2024·全国·二模）若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以的共轭复数，对应的点坐标为位于第四象限.
故选：D
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（ ）
A．1B．0C．1＋iD．1－i
【答案】D
【解析】解析：若z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，则a＝1，则
＝
＝
＝1－i.
12．（2024·福建·模拟预测）若复数z满足，则（ ）
A．B．0C．D．2
【答案】D
【解析】因为，
所以，
则，
故选：D.
13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则且
C．若，则
D．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【解析】设、，、、、，
对A：若，则有，
即且，故A错误；
对B：取、，亦有，故B错误；
对C：取，，则有，，故C错误；
对D：设，、，若，
则有，
即有，
整理得，
由，故与不能同时成立，
故在复平面对应的点在直线上，
故D正确.
故选：D.
14．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】B
【解析】，
所以
,
所以的虚部为.
故选:B.
二、多选题
15．（2024·福建漳州·一模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得：，
则，解得，可得，
故BCD正确，A错误.
故选：BCD.
16．（2024·云南·一模）已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
【答案】BD
【解析】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
17．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则
（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】因为，是关于的方程的两根，其中，且，
所以，
所以，所以，
，所以，
则，故A错误，B正确，C正确；
，故D正确.
故选：BCD
18．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．D．是方程的一个根
【答案】BD
【解析】因为，所以，
则的虚部为，故A错误；
由于，则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确；
由于，故C错误；
方程可化为，方程的根为，故D正确．
故选:BD．
19．（2024·辽宁大连·一模）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由可得，
所以，即A正确；
可得，即B正确；
，，显然错误，即C错误；
，而，所以D错误.
故选：AB
20．（2024·吉林白山·二模）已知为复数，则（ ）
A．若，则为实数
B．
C．若，则
D．若，则复数在复平面内所对应的点位于坐标轴上
【答案】ABD
【解析】设，故为实数，故A正确；，故B正确；
令，故，但，故C错误；
若，则，故，即或，故D正确.
故选：ABD
21．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知复数，满足，，且，则（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】ACD
【解析】由题意知复数，满足，，且，
则，故，
即，得，
故，D正确；
，
得，A正确；
由于，
故
，B错误；
由以上D的分析可知，若，则，故，C正确；
故选：ACD
22．（2024·山东枣庄·一模）已知，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【解析】设，则.
对于A：若，且，
可得，所以，正确；
对于B：若，则，即，
得或，所以，正确；
选项C：令、，则，，
所以，但是，错误；
选项D：因为，
所以，
，所以，正确.
故选：ABD
23．（2024·海南省直辖县级单位·一模）若（为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，则，
所以，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
24．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
25．（2024·全国·模拟预测）已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】AC
【解析】设，则.
对于A：，
若，则，
所以，即，故A一定成立；
对于B：，若，则①，
，同理，
若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立；
选项C：，
，
所以，故C一定成立；
选项D：②，
，与②式不同，故D不一定成立.
故选：AC
26．（2024·广东韶关·二模）已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若是非零复数，且，则D．若是非零复数，则
【答案】BC
【解析】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；
对于B项，设，则，，故而，故B项正确；
对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；
对于D项，当时，是非零复数，但 ，故D项错误.
故选：BC.
27．（2024·高三·全国·专题练习）（多选）已知复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2－i|＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．点P1的坐标为（2，－2）
B．z1＝2＋2i
C．|z2－z1|的最大值为＋1
D．|z2－z1|的最小值为2
【答案】ABC
【解析】解析：因为复数z1＝2－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，所以点P1的坐标为（2，－2），故A正确；因为z1＝2－2i，所以z1＝2＋2i，故B正确；设z2＝x＋yi（x，y∈R），在复平面内对应的点为P（x，y），设A（0，1），因为|z2－i|＝1，所以点P（x，y）到点A的距离为1，因此点P（x，y）的轨迹是以A（0，1）为圆心，1为半径的圆，|z2－z1|表示圆A上的点到点P1的距离，因此|z2－z1|max＝AP1＋1＝
＋1＝
＋1，|z2－z1|min＝AP1－1＝
－1＝
－1，故C正确，D不正确．故选ABC.
【考查意图】
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．
28．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有( )
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】BC
【解析】设，则，即，
它表示以原点为圆心，半径为1的圆；
设，则由，得，
即，它表示一条直线；
对于选项A：，故选项A错误；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度，
该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）；
故选：BC．
29．（2024·贵州毕节·二模）若复数满足，，则（ ）
A．在复平面内，对应的向量与对应的向量所成角的正切值为2
B．在复平面内，对应的点在第四象限
C．的虚部为2
D．的实部为
【答案】CD
【解析】设，、，
由，即有，即，
由，即有，即，即，
对A：设对应的向量与对应的向量所成角为，
则，即，故A错误；
对B：在复平面内，对应的点为，在第二象限，故B错误；
对C、D：的虚部为2，实部为，故C、D正确.
故选：CD.
30．（2024·高三·江西·开学考试）若、为复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于A选项，取，，则，，
所以，，，所以，，
所以，，，故，A错；
对于B选项，设，，
则，，
，，则，所以，，B对；
对于C选项，不妨取，，则，，，
所以，，故，C错；
对于D选项，设，则，所以，，
所以，，D对.
故选：BD.
31．（2024·江苏·一模）已知复数，下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若，则
【答案】AC
【解析】选项A，，则，故A正确；
选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误；
选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立.
证明：设，，
若，则有，
故有，即，两式相乘变形得，，
则有，或，或，
①当时，，即；
②当，且时，则，
又因为不同时为，所以，即；
③当，且时，则，同理可得，故；
综上所述，命题“若，则，或”成立.
下面我们应用刚证明的结论推证选项C，
，，
，或，即或，故C正确；
选项D，令，
则，
但，不为，故D错误.
故选：.
32．（2024·高三·重庆·阶段练习）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（ ）
A．
B．若，则
C．若且，则
D．若，则的最大值为.
【答案】ACD
【解析】对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，由，因为，可得，所以B错误；
对于C中，由，因为，可得，即
又因为，可得，
联立方程组，可得，解得，所以C正确；
对于D中，由，可得，
因为，可得，即，
表示以为圆心，半径为的圆，
可得，则原点到圆上点的最大距离为，即的最大值为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
33．（2024·全国·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则 ．
【答案】
【解析】因为复数，故，
则，故
故答案为：