专题29 排列组合 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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知识点1、排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
知识点2、组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点3、排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
【典型例题】
例1．（新疆维吾尔自治区2024届高三学期第一次适应性检测数学试题）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种B．36 种C．12种D．6种
【答案】C
【解析】由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有种放法，
又茄子净肉放在鸡脯肉后，则有种放法.
故选：C
例2．（贵州省六校联盟2024届高考实用性联考（三）数学试题）2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（ ）种.
A．48B．64C．72D．120
【答案】C
【解析】根据题意，分两步进行：
第一步：安排3名同学站成一排合影，不同的站法共种；
第二步：安排2名老师，采用插空法，不同的站法共种；
由分步乘法计数原理可得：不同的站法共种.
故选：C
例3．（山东省烟台市、德州市2024届高三学期高考诊断性考试数学试题）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A．3B．6C．10D．15
【答案】B
【解析】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
例4．（高三数学临考冲刺原创卷（一））某中学高三14班有50名学生，其中男生20人，女生30人，现采取分层随机抽样的方式从该班选取5名学生，再从选取的5名学生中随机选取3名学生参加学校的演讲比赛，则既有男生又有女生的选取方式有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【答案】D
【解析】由题知男生和女生的人数比例是，则从50名学生中选5名学生，
选到的男生有2（名），女生有（名），再从中随机选取3名，
既有男生又有女生的情况有2种，
情况一：1名男生2名女生，有（种）选取方式；
情况二：2名男生1名女生，有（种）选取方式，
故一共有（种）选取方式.
故选：D．
例5．（江西省部分地区2024届高三学期3月月考数学试题）有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12B．14C．22D．24
【答案】B
【解析】按工厂接收的女生人数分类，
第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择，
再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择，
故有种分配方法；
第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，
有种分配方法．
综上，不同的分配方法有种．
故选：
例6．（吉林省白山市2024届高三第二次模拟考试数学试题）如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（ ）
A．172B．204C．352D．364
【答案】D
【解析】若数字“1”出现1次，则有种可能；
若数字“1”出现3次，有种可能；
若数字“1”出现5次，则有种可能，
故数字“1”出现奇数次的不同密码个数为.
故选：D.
例7．（云南省昆明市云南师范大学附属中学2024届高三学期3月月考数学试卷）某食品公司共有A，B，C三条生产线，产量占比为3：2：5，为检查新一批次食品添加剂使用量是否合格，用分层随机抽样方法进行调查现从这3000件食品中抽检5%，则不同的抽样方法共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【解析】3000件食品中，A，B，C三条生产线的生产量分别为900件、600件、1500件，
抽检总量为件，
利用分层随机抽样，分别从A，B，C三条生产线抽检，、件，
按照分步乘法计数原理，共有种方法，
故选：D．
例8．（湖北省荆州市沙市中学2024届高三学期3月月考数学试题）某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．8种B．16种C．24种D．32种
【答案】D
【解析】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，
于是共有种排法.
故选：D.
例9．（四川省大数据学考联盟2024届高三第一次质量检测数学（理科）试题）为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人．某学校准备组建书法、音乐、美术、体育4个不同的社团．现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有（ ）
A．192种B．216种C．240种D．432种
【答案】B
【解析】由题意可得，将5名同学分配到这4个社团进行培训每名同学只能分配到1个社团，
每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有种，
当甲乙两名同学在同一个社团培训，则不同的分配方案有种，
综上可得，不同的分配方案共有种.
故选：B
例10．已知正整数，，，，满足，则不同的有序实数对
有 种可能．
【答案】126
【解析】先将拆成个，并排成一排，于是正整数，，，，表示在这个中占有的个数，
然后用四个隔板把这一列分为五组，由于这一列数中间有个空，
因此四个隔板的放置方法种数为（种）．因此不同的有序实数对有种可能．
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（河南省新乡市2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试题）老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种B．168种C．360种D．210种
【答案】D
【解析】根据题意进行分类：
第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）；
第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，（种）.
所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法．
故选：D.
2．（湖南省长沙市四县区2024届高三学期3月调研考试数学试卷）将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（ ）
A．36种B．24种C．18种D．16种
【答案】A
【解析】依题意，三个地区中必有一个地区有2人，
先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素，
与其他2个人一起分配到三个地区，共有种.
故选：A
3．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（六））随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高．目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类．某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，要求每类场景至多选2张，则不同的选择方案的种数为（ ）
A．252B．162C．357D．324
【答案】C
【解析】从7类场景中选8张照片，且每类场景至多选2张，也可以不选，
则不同选法有，，，，
所以不同的选择方案的种数为.
故选：C．
4．（2024届辽宁省名校联盟高考模拟卷（调研卷）数学试题（一））第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（ ）
A．15种B．31种C．46种D．60种
【答案】C
【解析】至少要选中一名女生的对立事件是选中的全为男生，故所求挑选方案的种数为.
故选：C
5．（陕西省咸阳市2024届高三学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题）为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ）
A．72B．120C．216D．240
【答案】C
【解析】从左到右的6个位置分别为，
若两个0之间有一个数字，此时两个0的位置有或或或四种情况，
在把剩余的4个数进行全排列，此时共有种，
若两个0之间有两个数字，此时两个0的位置有或或三种情况，
剩余的4个数进行全排列，此时有种，
若两个0之间有三个数字，此时两个0的位置有或两种情况，
剩余的4个数进行全排列，此时有种，
综上，可以设置的密码共有个.
故选：C
6．（2024届辽宁省辽宁名校联盟（东北三省联考）高三3月模拟预测数学试题）某表彰会上3名男同学和4名女同学从左至右排成一排上台领奖，则女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A．194B．240C．388D．480
【答案】D
【解析】因为女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁相邻，
则捆绑起来算作两个元素，与3名男同学构成5个元素，
则排法共有：种，
故选：D
7．（FHsx1225yl168）某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员，规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方案有（ ）
A．10种B．11种
C．12种D．13种
【答案】B
【解析】解析：当丁不入选时，由甲、乙、丙三人任职，甲有两种选择，余下的乙和丙只有一种选择；当丁入选时，有三种结果，丁担任三个人中没有入选的人的职务时，只有一种结果，丁担任入选的两个人的职务时，有两种结果，共有3×（2＋1）＝9（种）任职方案．综上可知，共有9＋2＝11（种）任职方案．
8．（湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ）
A．240种B．120种C．156种D．144种
【答案】D
【解析】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，
则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法，
故不同的安排方法共有种.
故选：D.
9．（浙江省强基联盟2024届高三学期3月联考数学试题）现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（ ）
A．20种B．10种C．8种D．6种
【答案】D
【解析】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有种方法.
故选：D
10．（内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量数据监测理科数学试卷）在寒假中，某小组成员去参加社会实践活动，已知该组成员有4个男生､2个女生，现将他们分配至两个社区，保证每个社区有2个男生､1个女生，则不同的分配方法有（ ）种.
A．6B．9C．12D．24
【答案】C
【解析】男生的分配方法有,女生的分配方法有，
所以总的分配方法有，
故选：C
11．（陕西省榆林市2023-2024学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）甲､乙､丙､丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游，他们从榆林古城､镇北台､红石峡､榆林沙漠国家森林公园､红碱淖､白云山､易马城遗址这7个景点中选4个游玩（按照游玩的顺序，最先到达的称为第一站，后面到达的依次称为第二､三､四站），已知他们第一站不去榆林沙漠国家森林公园，且第四站去红碱淖或白云山，则他们这四站景点的选择共有（ ）
A．180种B．200种C．240种D．300种
【答案】B
【解析】先考虑第四站，第四站去红碱淖或白云山，故有种安排方法，
接着考虑第一站，去掉榆林沙漠国家森林公园以及第四站去的景点，有种选择，
最后从剩下的景点中选择任意两个景点游玩有
故可得他们这四站景点的选择共有种.
故选：B
12．（贵州省安顺市2023-2024学年高三学期期末质量监测数学试题）安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行.某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
【答案】C
【解析】四位同学观看三个项目比赛，由于一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，
根据题意，其中有两人看一个项目，所以安排方案有种.
故选：C
13．（河南省济洛平许2024届高三第三次质量检测数学试题）有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）
A．180种B．150种C．90种D．60种
【答案】C
【解析】由题意得，先将5名志愿者分成3组，只有一种情况，
即种分组方法，
再将3组志愿者分配给3为位老人，则共有种安排方法.
故选：C
14．（山东省淄博市2024届高三学期一模考试数学试题）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A．24B．16C．12D．10
【答案】B
【解析】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828；
828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种
若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种；
则总共有16种，
故选：B.
15．（四川省泸州市2024届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理科）试题）某校安排高一年级（1）～（4）班共4个班去A，B，C三个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为（ ）
A．9B．12C．18D．24
【答案】B
【解析】依题意，若A基地只安排一个班，则有种安排方法；
若A基地安排两个班，则有种安排方法；
综上可得高（1）班被安排到A基地的排法总数为种.
故选：B
16．（江苏省南通市如皋市2024届高三学期1月诊断测试数学试题）有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法．
A．72B．144C．108D．96
【答案】A
【解析】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法，
除甲、乙外的其它三辆车共有种停法；
若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法，
除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种，
故共有种停放方法.
故选：A.
17．（湖北省襄阳市优质高中2023-2024学年高三学期2月联考数学试卷）襄阳为“中国优秀旅游城市”，境内生态环境优美，旅游资源十分丰富，景区景点给人以自然的美妙与人文的魅力.其中南漳香水河、春秋寨，谷城薤山，保康五道峡，枣阳白水寺、唐梓山风景区，襄州鹿门寺都是风景宜人的旅游胜地，一位同学计划在假期从上面7个景区中选择3个游玩，其中香水河和五道峡最多只去一处，不考虑游玩的顺序，则不同的选择方案数有（ ）
A．20B．30C．35D．40
【答案】B
【解析】因为香水河和五道峡最多只去一处，
故可分为两种情况讨论.
当香水河和五道峡只去一处时且不考虑游玩的顺序，
则不同的选择方案为；
当香水河和五道峡一处也不去时且不考虑游玩的顺序，
则不同的选择方案为.
综上：满足题意的不同选择方案数为+=30.
故选：B.
18．（广东省佛山市顺德区华侨中学2024届高三学期港澳班2月开学考试数学试题）某人进行年度体检，有五个检查项目，为了体检数据的准确性，A项目必须作为第一个项目完成，而B和C两项不连在一起接着检查．则不同顺序的检查方案一共有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【答案】B
【解析】依题意，将两个项目全排列，有种情况，
再将两个项目排在排列所形成的3个空位中，有种情况，
最后将项目放在第一位，有1种情况，
所以共有种情况.
故选：B.
19．（河南省中原名校2024届高三学期3月联考数学试题）已知现需派6名专员去A，B，C共3个单位进行慰问，每个单位去两人，其中专员甲不去A单位的派法种数为（ ）
A．30B．60C．120D．180
【答案】B
【解析】由题意先从B，C这2个单位选一个派专员甲去，再从其余5人中选一人去甲所去的单位，
再将剩余4人平均分为2组，派去其余2个单位，
共有（种）派法，
故选：B
二、填空题
20．（湖南省长沙市雅礼中学2024届高三学期月考（七）数学试题）雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种
【答案】240
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，
②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，
则有种分配方案.
故答案为：.
21．（2024届江西省九江市二模数学试题）为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有 种.
【答案】96
【解析】第一步，由于甲不派往乡村A，则A地有种选派方法，
第二步，其他4个乡村有种选派方法，所以共有种选派方法.
故答案为：96.
22．（2024届山西省高考一模数学试题）甲､乙､丙､丁､戊､己六位同学中考语文､数学､外语的成绩如下表：
将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语.现从这六位同学中选出三人分别担任语文､数学､外语三个科目的科代表（每科一人，不可兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有 种.
【答案】10
【解析】由表格可知：甲最擅长科目为数学和外语，乙为数学，丙为语文，丁为外语，
戊为语文，己为数学.
则语文可从丙、戊两位同学选，数学可从甲乙己三位同学选，
外语可从甲丁两位同学选，
若甲不为课代表，则只需选语文、数学科目代表即可，有种选法；
若甲为课代表，则①甲为数学课代表，只需选语文课代表即可，有选法；
②甲为外语课代表，只需选语文、数学课代表即可，有有种选法；
综上所述，共有10种方案.
故答案为：10
23．（内蒙古赤峰市2024届高三学期1.30模拟理科数学试题）有3名同学同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有 种不同的去法.（用数字回答）
【答案】7
【解析】由题意，去1人有种去法，去2人有种去法，去3人有种去法，
所以共有种不同的去法，
故答案为：7
24．（山东省潍坊市2024届高三一模数学试题）第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示）
【答案】
【解析】在天里，连续天的情况，一共有种，
则剩下的人全排列有种排法，
故一共有种排法．
故答案为：．
25．（专题10计数原理（解密讲义））某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有 种（用数字作答）.
【答案】
【解析】依题意，将8个名额排成一列，有7个间隔，
在这7个间隔中插入3个隔板，可将8个名额分成4组，依次对应4个班级，
所以有种分配方法.
故答案为：
26．（上海市南洋模范中学2023-2024学年高三学期初态考试数学试卷）上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 种（结果用数字表示）．
【答案】
【解析】由题意当天最先放映的一定是悬疑片，若第一场是悬疑片，
从2个悬疑片中选1个安排到第一场有种排法，由两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），可以从个场次中的后3场选1场安排另一部悬疑片有种排法，
所以排悬疑片有种排法，两部纪录片排在剩下的3个位置，有种排法，
共有种；
若第一场为空场，则第二场从2个悬疑片中选1个安排有种排法，
从后2场选1场安排另一部悬疑片有种排法，
所以排悬疑片有种排法，两部纪录片排在剩下的2个位置，有种排法，
共有种；
所以符合题意的排法一共有种排法.
故答案为：44
27．（宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024届高三第一次模拟考试数学试题）某校需要大量志愿者协助开展工作，学校现有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排这6名志愿者到3个不同部门协助工作，每个部门需要男女教师各1名，则不同的安排方式种数是 种．(用数字作答)
【答案】36
【解析】先安排男教师、再安排女教师，各有中安排方式，
故不同的安排方式共有种.
故答案为：36.
28．（陕西省渭南市三贤中学2024届高三学期名校学术联盟高考模拟信息卷押题卷理科数学试题（一））琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化,某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节．若“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”“画”相邻，则不同的排课方法共 种．（用数字作答）
【答案】576
【解析】先从诗、酒、花、茶中选出“两雅”，有种选法，
然后将“琴”“棋”和“书”“画”各看作一个整体，和选出的“两雅”全排列，
故共有种排法，
故答案为：576
29．（专题10计数原理（解密讲义））教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A､B､C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有 种（用数字作答）.
【答案】150
【解析】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，
第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；
第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法，
再将三组人员分配到A､B､C三个乡村学校去，共有种，
所以不同的选派方法共有种.
故答案为：150
30．（广东省佛山市禅城区2024届高三统一调研测试（二）数学试题）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ．
【答案】120
【解析】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有种，
3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有种，
故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是种.
故答案为：120.
31．（浙江省金丽衢十二校2024届高三学期第二次联考数学试题）某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有 种不同的排课方式.（用数字作答）
【答案】8
【解析】由表示数学课，表示语文课，表示英语课，
按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得
若班排课为，则班排课为，
若班排课为，则班排课为，
若班排课为，则班排课为，或班排课为，
若班排课为，则班排课为，或班排课为，
若班排课为，则班排课为，
若班排课为，则班排课为，
则共有8种不同的排课方式.
故答案为：8.
32．（湖南省宁乡市实验中学等多校联考2024届高三学期一轮复习总结性考试（月考）数学试题）将5名大学生安排到3个不同的公司实习，要求每个公司至少有一名大学生，则不同的安排方式共有 种．
【答案】
【解析】依题意，5名大学生有两类分组方法，即1，1，3和1，2，2两种分法，
若分成1人，1人，3人，则共有分组方法；
若分成1人，2人，2人，则共有分组方法；
将分好的三组安排到三个公司中共有种排法，
所以所有的安排方法共有种方法．
故答案为：.
33．（2024届高三学期3月适应性考试数学试题（新高考金卷））为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有 种．
【答案】
【解析】安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，
则将4人按分组，
若不考虑限制条件，
则此时不同的安排方式有种，
当甲和乙去同一个地方时，有种不同的安排方式，
所以若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种.
故答案为：
甲
乙
丙
丁
戊
己
语文
108
110
115
110
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数学
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100
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外语
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113