专题35 圆的方程快速基础能力提升 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.
二、基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）.
注：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.
2、点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内.
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内.
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
四、直线与圆的位置关系判断
1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
则直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：
则直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离.
五、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
则两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
【典型例题】
例1．（2024·高二·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，
则圆的方程为，又点在圆上，
所以，解得，
所以所求圆的方程为．
故选：A
例2．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线相切，则圆O的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，
即，
所以圆O的方程为.
故选：A.
例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圆，可得圆心，
又由，在以为直径的圆的圆心为，半径为，
则所求圆的方程为．
故选：C．
例4．（2024·高二·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
设点关于直线对称的点为，
所以，解得：，
所以所求圆的圆心为，半径为,
故所求圆的方程为：.
故选：A.
例5．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（ ）
A．3B．4C．8D．6
【答案】D
【解析】设圆的方程为，代入点，，，
则，解得，
可得，整理得符合题意，
所以圆的方程为，
令，可得，解得，所以．
故选：D.
例6．（2024·陕西西安·二模）设直线与圆交于两点，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为，
∵圆心到直线的距离，
.
故选：B.
例7．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（ ）
A．点在圆外B．直线平分圆
C．圆的周长为D．直线与圆相离
【答案】D
【解析】由可知圆心坐标为，圆的半径为1．
对于选项A：由点到圆心的距离
所以点在圆外，故A正确；
对于选项B：因为圆心在直线上，
所以圆关于直线对称，故B正确；
对于选项C，圆的周长为，故C正确；
对于选项D，因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故D错误．
故选：D．
例8．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】圆化成标准方程为，
点在圆O外，则有，
即，解得或.
故选：D．
例9．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知，则两圆的位置关系为（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【答案】D
【解析】因为可化为
则，半径，
因为可化为，
则，半径，
则，因为，
所以两圆相交.
故选：D.
例10．（2024·高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（ ）
A．{t|－1＜t＜}
B．{t|－＜t＜1}
C．{t|－1＜t＜}
D．{t|1＜t＜2}
【答案】B
【解析】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.
例11．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆，圆心，半径，
，圆心，半径，
由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，
，，的中点，
圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，
故的方程：，即,故C正确．
故选：C．
例12．（2024·北京朝阳·一模）已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【解析】圆的圆心为：，半径为，
则圆心到直线的距离为，
由垂径定理可得.
故选：D.
例13．（2024·四川·模拟预测）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【解析】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且，
由圆的圆心为，
圆心到的距离为，
圆心到：的距离为，
所以，整理得到，
由，所以．
故选：D．
例14．（2024·全国·模拟预测）若直线和圆的方程分别为，则“”是“直线和圆没有公共点”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
【答案】C
【解析】因为表示圆，所以，即．
若圆与直线没有公共点，则圆心到直线的距离大于半径，
即，解得或．
所以“”是“直线和圆没有公共点”的充分不必要条件．
故选：C
例15．（2024·广东韶关·二模）过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，
直线，即，
令，解得，即，
又，所以，
所以直线，即，
则点到直线直线的距离为，
即.
故选：D
例16．（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】圆化为，圆心为，半径为1，
直线上的点向圆引切线，设切点为，
则，
要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，
由点到直线的距离公式可得，.
所以切线长的最小值为.
故选：B.
例17．（2024·高三·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】如图所示：
设坐标原点到直线的距离为，则.
设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.
由，得，故，解得，故.
故选：B.
例18．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A．外切B．相交C．内切D．没有公共点
【答案】B
【解析】直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于圆的半径1，
即，得.
圆的圆心坐标为，半径为，
其圆心在圆上，所以两圆相交.
故选：B
例19．（2024·高三·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】D
【解析】两圆方程相减得直线的方程为，
圆化为标准方程，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
弦长，
所以.
故选：D
例20．（2024·高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由曲线，可化为，可得圆心，半径为，
因为分别切圆于，所以四点在以为直径的圆，半径为，
故圆的方程为：，即上，
两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为，
即直线的方程为.
故选：A.
例21．（2024·山西·模拟预测）写出一个过点且与圆相切的直线方程 ．
【答案】或（答案不唯一，写出一个即可）
【解析】依题意，将圆化为标准方程可得，则圆表示以为圆心，半径的圆，
当切线的斜率不存在时，过的直线正好与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此时切线方程为．
由于只需写出一个过点且与圆相切的直线方程，
故答案为：或（答案不唯一，写出一个即可）
例22．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 .
【答案】
【解析】可知圆心为，半径．
圆心到直线的距离：．
由垂径定理可知：，
当时，取得最小值，并且，
故答案为：．
例23．（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 .
【答案】
【解析】由得，
将化为标准方程，得，，
因为两圆外切，所以，即，解得.
到直线的距离，如下图：
则直线被圆所截的弦长.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以点到圆心的距离恒为，
所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆，即，
故选：B
2．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为，
则有，解得，
故该圆方程为.
故选：D.
3．（2024·浙江·一模）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆，即，
它的圆心坐标和半径分别为.
故选：A.
4．（2024·高二·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，
由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，
由得：，以为直径的圆恒过定点.
故选：D.
5．（2024·高二·全国·课时练习）点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不确定
【答案】C
【解析】因为，所以点在圆外，
故选：C
6．（2024·高三·北京西城·开学考试）已知圆经过点，且点到点的距离为3，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知：，整理得：①
又由点到点的距离为3可得：②
联立①②，解得：或.
故.
故选：B.
7．（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
【答案】D
【解析】根据题意，直线的方程为，恒过定点，
设为，又由圆，即，
其圆心为，半径，
由，则在圆上，
则直线与圆相交或相切.
故选：D．
8．（2024·高三·重庆九龙坡·阶段练习）若直线与圆相交所得的弦长为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理得，，解得.
故选：B.
9．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（ ）
A．0B．±1C．±2D．
【答案】C
【解析】两圆的公共弦所在线的方程为：，圆心到直线的距离为，
，因为，所以，
所以，解得.
故选：C
10．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知圆，直线与圆相离，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为A，，若四边形的面积最小值为，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径，
由题意可知：，
解得，即的最小值为，可知的最小值为，
即圆心到直线的距离为，解得或.
故选：C.
11．（2024·高三·河南周口·开学考试）过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意知，，，，
所以，根据圆的对称性易知，
则，解得．
故选：A．
12．（2024·云南昆明·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【解析】由，得,则圆心，
则，则，
则四边形的面积为.
故选：C
13．（2024·高二·全国·专题练习）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】根据题意，圆，即，
其圆心，半径，
圆，其圆心，半径，
两圆的圆心距，
因此两圆外切；
则圆与圆的公切线有3条．
故选：C．
14．（2024·高三·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由题意圆是以为圆心1为半径的圆；
即是以为圆心3为半径的圆；
圆心距满足，所以两圆相离，
所以两圆的公切线条数为4.
故选：D.
15．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由可知圆心为，半径，
由，即，
则圆心为，半径，
则两圆圆心距离为，，，
故，即两圆相交，故公切线条数为2条.
故选：B.
16．（2024·高三·江苏苏州·期中）圆与圆的公切线的条数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】圆化成标准方程为，知
圆化成标准方程为，知
圆心距，可知两圆内切，则两圆有1条公切线.
故选：A
二、多选题
17．（2024·广东韶关·一模）已知圆，点，下列命题正确的是（ ）
A．圆的圆心为
B．过点的直线可能与圆相切
C．圆上的点到点距离的最大值为
D．若以为圆心的圆和圆内切，则圆的半径为
【答案】ACD
【解析】选项A：变形为，
圆心为，A正确；
选项B：，故点在圆内，
故过点的直线不可能与圆相切，B错误
选项C：圆上的点到点距离的最大值为圆心到的距离加上半径，
即，C正确；
选项D：两圆的位置关系为内切，且点P在圆M的内部，则圆的半径为，D正确.
故选：ACD
18．（2024·高三·湖南邵阳·阶段练习）已知圆，则下列命题正确的是（ ）
A．圆的圆心是B．点在圆内
C．圆的最大弦长为D．过原点可以作圆的两条切线
【答案】BC
【解析】将圆的方程化为标准方程可得，则圆的圆心坐标为，半径为，
则圆的最大弦长为，
因为，则原点在圆上，则过原点可以作圆的一条直线，
BC对，AD错.
故选：BC.
19．（2024·辽宁葫芦岛·二模）过四点中的三点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】对于A，点在圆上，故A正确；
对于B，点在圆上，故B正确；
对于C，点都不在圆上，故C错误；
对于D，点都不在圆上，故D错误；
故选：AB.
20．（2024·云南红河·二模）若圆与圆交于两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．点在圆内
B．直线的方程为
C．圆上的点到直线距离的最大值为
D．圆上存在两点，使得
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误；
对于B，因为圆和圆相交，将两圆方程作差可得：，
即公共弦AB所在直线的方程为，故B正确；
对于C，圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线：的距离为，
所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确；
对于D，直线AB经过圆的圆心，而，
所以线段AB是圆的直径，故圆中不存在比AB长的弦，故D错误.
故选：BC.
21．（2024·河北沧州·模拟预测）已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．直线的方程为
B．圆和圆共有4条公切线
C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10
D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为
【答案】ACD
【解析】由题意得，圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
对于A，直线的方程为，即，所以A正确；
对于B，因为且，可得，
所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；
对于C，因为，所以的最大值为，所以C正确；
对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小，
此时圆的面积为，所以D正确．
故选：ACD.
22．（2024·高二·湖南郴州·期末）已知圆，则下列命题正确的是（ ）
A．圆心坐标为
B．直线与圆相交所得的弦长为8
C．圆与圆有三条公切线.
D．圆上恰有三个点到直线的距离为，则或
【答案】ABD
【解析】对于A中，由圆，可化为，
可得圆心，半径为，所以A正确；
对于B中，由圆心到直线的距离为，
则相交弦长为，所以B正确；
对于C中，由圆，可得圆心，半径，
可得，且，则，
所以圆与圆相交，可得两圆有两条公共切线，所以C错误；
对于D中，由圆上恰有三个点到直线的距离为，
则满足圆心到直线的距离为，即，
解得或，所以D正确.
故选：ABD.
23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若圆和圆外离，则
B．若圆和圆外切，则
C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D．当时，圆和圆相交
【答案】BCD
【解析】.
若和外离，则，解得或，故A错误；
若和外切，，解得，故B正确；
当时，和内切，故C正确；
当时，和相交，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
24．（2024·高三·河北·阶段练习）已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为；②直线被圆C所截得的弦长为2．写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】设圆C的圆心坐标为，因为直线被圆C所截得的弦长为2，圆的半径为，
所以，整理得或，所以或．
可取，此时圆．
故答案为：（答案不唯一）
25．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程： .
【答案】（答案不唯一，）
【解析】因为圆的圆心在直线上，不妨设其圆心，
又因为圆与轴相切，则半径为，
所以圆的标准方程为，
取，则一个同时满足上述条件的圆的标准方程为.
故答案为：（答案不唯一，）
26．（2024·高三·全国·专题练习）圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的方程为 .
【答案】
【解析】由题意设圆心，因为，
所以，解得，
则半径，圆心为，
则圆的方程为.
故答案为：
27．（2024·全国·模拟预测）若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为 ．
【答案】或
【解析】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，，
则圆的方程为，
再将点代入，得.
故答案为：.
28．（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）写出一个圆心在轴上，且与直线相切的圆的标准方程： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】结合题意：设圆的标准方程为，
因为该圆与直线相切，
所以圆心到该直线的距离，即，
则该圆的标准方程为：，
不妨取，故此时圆的标准方程为：.
故答案为：（答案不唯一）.
29．（2024·广西·模拟预测）已知圆：关于直线对称的圆为 .
【答案】
【解析】设圆：关于直线对称的圆的圆心为，
则，解得，即，
故圆关于直线对称的圆的方程为，
即,
故答案为：
30．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为 ．
【答案】
【解析】设圆心为，设圆的标准方程为，将代入圆的方程中，，解得
故圆的标准方程为：.
故答案为：.
31．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ．
【答案】；
【解析】依题意，设的外接圆的一般方程为，
则，解得，
所以所求圆的一般方程为，
则其标准方程为.
故答案为：.
32．（2024·高二·河北保定·期中）已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ．
【答案】
【解析】设圆M的一般式方程为：，
因为圆M经过点，，，
所以，解得，
得圆M的一般式方程为：，
故圆M的标准方程为：.
故答案为：
33．（2024·全国·模拟预测）函数的图像与坐标轴交于点A，B，C，则过A，B，C三点的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】函数的图像与坐标轴的交点分别为，，，
则线段的垂直平分线为，线段的垂直平分线为．
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
34．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】令，则，
解得，不妨设；
令0，得，则；抛物线的顶点的坐标为.
设所求圆的方程为.
当圆过三点时，,
所以圆的方程为.
当圆过三点时，,
所以圆的方程为.
当圆过三点时，,
所以圆的程为.
当圆过三点时，,
当圆过三点方程为.
故答案为：（答案不唯一）
35．（2024·高三·河南周口·阶段练习）已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆方程整理为，则圆心，
，因为圆不经过第三象限，
所以，解得，则.
故答案为：.
36．（2024·高三·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由在圆的外部，
得，解得，或，
故答案为：
37．（2024·高三·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
【答案】
【解析】设所求圆的一般方程为，
因为点，，在圆上，
所以，
解得，
则所求圆的一般方程为：，
.故答案为：.
38．（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ．
【答案】或
【解析】，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
39．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知直线经过点，则原点到点的距离可以是 ．（答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】由于直线经过点，
即，即，
故在以为圆心，2为半径的圆上，
由于，即原点在该圆内，
故，则原点到点的距离可以是2，
故答案为：2
40．（2024·高三·江苏南通·期中）已知直线与：交于，两点，写出满足“三角形面积为2”的的一个值 .
【答案】1(或-1)
【解析】直线过定点，点也在上，故可设，
，三角形面积为2，则点到轴的距离为2，
点在上，则有或，代入直线方程解得或.
故答案为：1(或-1)
41．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）已知点在圆外，则直线与圆O的位置关系是 ．
【答案】相交
【解析】点在圆外，
圆心 到直线 的距离: ,
直线 与圆 相交.
故答案为：相交.
42．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 .
【答案】4
【解析】依题意，点关于直线的对称点在圆上，
则，解得，因此点在圆上，
则，解得，
所以实数的值为4.
故答案为：4
43．（2024·山西临汾·一模）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是 .
【答案】相离
【解析】因为点在圆内，所以，
圆的圆心到直线的距离为，
又，则，所以直线与圆相离.
故答案为：相离.
44．（2024·北京海淀·一模）已知，线段是过点的弦，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由，故点在圆的内部，
且该圆圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，
由垂径定理可得，即，
故当取最大值时，有最小值，
又，
故.
故答案为：.
45．（2024·全国·模拟预测）已知圆，若过点的直线l与圆C相交所得弦的长为2，则直线l的斜率为 .
【答案】
【解析】由，可得，所以圆心，半径.
由已知得圆心C到直线l的距离，
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
则C到直线l的距离，解得，所以直线l的斜率为.
故答案为：.
46．（2024·湖南常德·三模）已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则 ．
【答案】
【解析】由，定义域为，，
则切线斜率，又，
所以切线方程为：，化简为：；
又因为圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
则.
故答案为：
47．（2024·高二·湖南长沙·期中）已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为 .
【答案】
【解析】因为圆M与直线.相切，
所以点到直线：的距离即为圆M的半径，
所以，圆C的面积为.
故答案为：
48．（2024·云南昭通·模拟预测）已知直线与圆交于两点，以线段为直径作圆，该圆的面积的取值范围为 .
【答案】
【解析】直线可化为，
所以直线过定点，
圆可化为，
圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
则，
所以当，即直线过圆心时，最大，则，
所求圆面积最大，为，
当最大时，即直线与垂直时最小，则,
所求圆面积最小，为，
所求圆面积取值范围为，
故答案为：.
49．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】圆化为标准方程得，
则圆心，半径，
圆化为标准方程得，
则，半径，
因为两圆相交，
所以，
即，解得（舍去），
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
50．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知圆和圆交于两点，则 .
【答案】
【解析】将圆和圆的方程作差得.
圆心到直线的距离为，
所以.
故答案为：.
51．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）若圆和圆恰有三条公切线，则实数 ．
【答案】
【解析】根据圆与圆的位置关系可知，
两圆恰有三条公切线时当且仅当两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，
易知圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径；
即可得，得．
故答案为：
四、解答题
52．（2024·高二·河北石家庄·期中）已知圆过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆：相交于两点，求两个圆公共弦的长.
【解析】（1）设圆的标准方程为，
所以有；
（2）由，或，即，
所以.
53．（2024·高二·江西·阶段练习）已知.
(1)求点到直线的距离；
(2)求的外接圆的方程.
【解析】（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.