专题37 圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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求动点的轨迹方程
一、直译法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则
可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）
有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式。
【典型例题】
例1．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．抛物线C．直线D．圆
例2．（2024·高二·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2024·高二·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·高二·甘肃临夏·期中）已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．
例6．（2024·广西梧州·模拟预测）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2024·高二·全国·课时练习）等腰三角形ABC中，若底边的两个顶点的坐标分别为，则第三个顶点C的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2024·高二·上海浦东新·期末）当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2024·高二·广东深圳·期末）已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例10．（2024·高三·全国·专题练习）过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ．
例11．（2024·高三·全国·专题练习） 已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 .
例12．（2024·高三·全国·专题练习）若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是
例13．（2024·高三·广东东莞·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为
例14．（2024·高三·全国·专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;
例15．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，线段的中点为D，过的中点E且平行于的直线交于点P．求动点P的轨迹方程.
例16．（2024·高二·全国·课堂例题）已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·高三·江西南昌·阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（2024·高三·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
5．（2024·高三·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 .
6．（2024·高三·广东揭阳·期中）设，两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是 .
7．（2024·高三·全国·专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
8．（2024·高三·全国·专题练习）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．则曲线的轨迹方程为 .
9．（2024·高二·上海青浦·期中）已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
10．（2024·高三·全国·课时练习）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是 .
11．（2024·高二·四川绵阳·期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ．
12．（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．
13．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ．
三、解答题
14．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程．
15．（2024·高二·上海·课后作业）已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程．
16．（2024·高一·福建莆田·阶段练习）已知圆，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件的点P的轨迹方程．
17．（2024·高三·全国·专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；
18．（2024·高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；
19．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程
20．（2024·高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程；
21．（2024·高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，定点，是圆内一动点，圆与以线段为直径的圆内切．求动点的轨迹方程.
22．（2024·高三·全国·专题练习）已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．
23．（2024·高三·全国·专题练习）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程.
24．（2024·高三·全国·专题练习）已知点P，Q是圆上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足．当时，求PQ的中点M的轨迹方程；
25．（2024·高三·全国·专题练习）在中，的对边分别为（其中为定值），以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系（如图），请你给出适当的条件，求出顶点的轨迹方程．

26．（2024·高二·上海·课时练习）若点与点的距离比它到直线的距离小2，求点的轨迹方程．
27．（2024·高三·全国·专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上除右顶点之外的一点．若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的轨迹方程．