专题38 圆锥曲线常规解答题 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程
代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到关系一个变量的
一元二次方程，，即，消去后得
（1）当时，即得到一个一元一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，
若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若为抛物线，则直线与抛物线
的对称轴平行
（2）当时，，直线与曲线有两个不同的交点；，直线与曲
线相切，即有唯一的公共点（切点）；，直线与曲线
二、圆锥曲线的弦
连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦
直线，曲线为与的两个不同的交点，坐标分别为，则是方程组的两组解，
方程组消元后化为关于的一元二次方程（），判别式
，应有，所以是方程的根，由根与系数关
系（韦达定理）求出，所以两点间的距离为
，即弦长公式，弦长
公式也可以写成关于的形式
三、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
四、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”
（1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）．
（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用．
（3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）．
【典型例题】
例1．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的范围.
例2．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知椭圆C：的离心率为，直线恒过右焦点F，交椭圆于，两点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的最小值．
例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知抛物线C：过点.
(1)求过点M的抛物线C的切线方程；
(2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值.
例4．（2024·广西·二模）已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)证明：P在定直线上；
(2)若F为抛物线C的焦点，证明：．
例5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知倾斜角为（）的直线l与抛物线C：（）只有1个公共点A，C的焦点为F，直线AF的倾斜角为．
(1)求证：；
(2)若，直线l与直线交于点P，直线AF与C的另一个交点为B，求证：．
例6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．
例7．（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于A，B两点，若椭圆上存在C，D两点关于直线l对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程．
例8．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆C：过点，且C与双曲线有相同的焦点.
(1)求C的方程；
(2)直线：不过第四象限，且与C交于A，B两点，P为C上异于A，B的动点，求面积的最大值，并求的最大值.
【过关测试】
1．（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．
(1)求的离心率；
(2)射线与交于点，且，求的周长．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
(1)求和的标准方程；
(2)若和交于不同的两点，求的值.
4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
5．（2024·高二·山东济宁·期末）已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值．
6．（2024·高三·上海静安·期末）已知双曲线：，点的坐标为 ．
(1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；
(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．
7．（2024·高三·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
8．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值．
9．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求面积的最小值．
10．（2024·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
11．（2024·四川绵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)平面上点B满足，过与平行的直线交于两点，若，求椭圆的方程.
12．（2024·河南·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
13．（2024·山西·模拟预测）已知椭圆的离心率为为的右焦点，过点作与轴不重合的直线，交于两点，当与轴平行时，.
(1)求的方程；
(2)为的左顶点，直线分别交直线于两点，求的值.
14．（2024·广西·模拟预测）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
15．（2024·河北唐山·二模）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
16．（2024·陕西西安·二模）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值.
17．（2024·江西·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
18．（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
19．（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
20．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知椭圆E：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.
21．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
22．（2024·高三·山西·阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．
23．（2024·陕西汉中·一模）已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆上的两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点.
24．（2024·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线恒过定点.
25．（2024·河北·模拟预测）已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由．
26．（2024·高二·北京东城·期中）已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
27．（2024·北京·三模）已知椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程及其离心率；
(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.
28．（2024·海南·模拟预测）已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．
29．（2024·高三·河南·阶段练习）设为抛物线准线上的一个动点，过作的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线过定点；
(2)当直线斜率不为0时，直线交的准线于，设为线段的中点，求面积的最小值．
30．（2024·陕西铜川·二模）已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.