专题39 等差数列、等比数列综合应用 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、基本概念
1、数列
（1）定义．
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列．
（2）数列与函数的关系．
从函数的角度来看，数列是特殊的函数．在中，当自变量时，所对应的函数值就构成一数列，通常记为，所以数列有些问题可用函数方法来解决．
2、等差数列
（1）定义．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，则该数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示，即．
（2）等差数列的通项公式．
若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，是关于的一次型函数．或，公差（直线的斜率）（）．
（3）等差中项．
若成等差数列，那么叫做与的等差中项，即或．在一个等差数列中，从第2项起（有穷等差数列的末项除外），每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项．
（4）等差数列的前项和（类似于），是关于的二次型函数（二次项系数为且常数项为0）．的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上．
3、等比数列
（1）定义．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数，则该数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，常用字母表示，即．
（2）等比数列的通项公式．
等比数列的通项，是不含常数项的指数型函数．
（3）．
（4）等比中项
如果成等比数列，那么叫做与的等比中项，即或（两个同号实数的等比中项有两个）．
（5）等比数列的前项和
二、基本性质
1、等差数列的性质
（1）等差中项的推广．
当时，则有，特别地，当时，则有．
（2）等差数列线性组合．
①设是等差数列，则也是等差数列．
②设是等差数列，则也是等差数列．
（3）等差数列的单调性及前项和的最值．
公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
特别地
若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
（4）其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则为等差数列，公差为．
2、等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
若时，则，特别地，当时，．
（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．
②设与为等比数列，则也为等比数列．
（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．
当或时，为递增数列；
当或时，为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列，公比为，前项和为，则为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
3、等差数列与等比数列的转化
（1）若为正项等比数列，则为等差数列．
（2）若为等差数列，则为等比数列．
（3）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．
【典型例题】
例1．（2024·高三·重庆·阶段练习）在等差数列中，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，令的公差为d，
则，
故选：D．
例2．（2024·高三·河南·阶段练习）记数列的前项和为，已知，为等差数列，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，故，
所以当时，，所以，
故选：D．
例3．（2024·北京海淀·一模）已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】由已知，得，
又，又，
所以，解得或（舍去）
故选：B.
例4．（2024·四川南充·二模）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（ ）
A．5.4B．6.3C．7.2D．13.5
【答案】C
【解析】为等差数列，
，故
．
故选：C．
例5．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．9B．16C．21D．25
【答案】C
【解析】由等比数列的性质可知，，即，得，
.
故选：C
例6．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由题意，知且，则，解得．
故选：C．
例7．（2024·广东广州·一模）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，设等比数列的公比为，
若，即，
故．
故选：C．
例8．（2024·宁夏固原·一模）已知等差数列的前n项和为，若，，则 ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
则有,解得：，
所以.
故答案为：
例9．（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，则 ．
【答案】
【解析】由数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，
可得，则，
所以.
故答案为：.
例10．（2024·高三·上海·专题练习）已知等比数列的前n项和为，且满足，则实数λ的值是 ．
【答案】-2
【解析】等比数列中，由可得，
则，若公比，则，
则，故，
则等比数列的前n项和，（），
故令，即，
故答案为：
例11．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比 ．
【答案】
【解析】由题意可知：，
根据等比数列的前项公式可得：①，②,
联立①②可得，解得.
故答案为：
例12．（2024·高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，，，则 ．
【答案】/
【解析】设等比数列的公比为．
，
，解得．
，
，解得.
，，
．
故答案为：.
例13．（2024·青海·二模）等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，记为数列前项的和，若，求．
【解析】（1）设的公差为，由题设得
因为，所以，解得，
故.
（2）由（1）得．
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，
由得，解得.
例14．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
【解析】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，
所以，整理得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为;
（2）因为，
由题意得：，即，
所以.
例15．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知数列满足，，设.
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式
【解析】（1）由条件可得，
将代入，得，而，所以，
将代入，得，所以，
又，从而，，.
（2）数列是首项为2，公比为3的等比数列，理由如下：
由条件可得，即，
又，所以是首项为2，公比为3的等比数列
（3）由（2）可得，所以.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·三模）已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）
A．65B．55C．45D．35
【答案】D
【解析】设数列的公差为，则，
．
故选：D
2．（2024·湖北·二模）已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（ ）
A．2或3B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，由是等比数列，
得，解得，则，
显然等差数列单调递减，当时，，当时，，
所以当取最大值时，.
故选：B
3．（2024·北京·模拟预测）等差数列：，，，，满足，，则（ ）
A．5.4B．6.3C．7.2D．13.5
【答案】B
【解析】设等差数列的的公差为，
由题意可知，解得，
所以.
故选：B.
4．（2024·重庆·模拟预测）等差数列满足，，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，因为，，
可得，解得，所以.
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，若，则（ ）
A．5B．7C．9D．17
【答案】C
【解析】因为，所以数列是等差数列，
由，得，
所以．
故选：C
6．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】C
【解析】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
7．（2024·高三·甘肃张掖·阶段练习）已知正项等差数列满足，则（ ）
A．39B．63C．75D．99
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
因为，所以，
解得或（舍去），
所以.
故选：B.
8．（2024·山西朔州·一模）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】A
【解析】因为，故即，而，
故，
故选：A
9．（2024·高一·江西南昌·期中）已知等差数列中，是它的前项和，若，则当最大时，的值为（ ）
A．8B．9C．10D．16
【答案】A
【解析】∵等差数列中，,
∴
故，继而,
根据等差数列的性质可知前8项均为正数项，
∴数列的前8项和最大；
故选：A．
10．（2024·天津·一模）已知为等差数列，前项和为，且，，则（ ）
A．54B．45C．23D．18
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以.
故选：C
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．3
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，可得，解得，
所以.
故选：B.
12．（2024·河南·三模）已知正项等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．29B．31C．33D．36
【答案】B
【解析】不妨设等比数列的公比为，由可得：，因，则①
又由与的等差中项为可得：，即②
将①代入②，可得：，回代入①，解得：，于是
故选：B.
13．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．12B．23C．24D．18
【答案】C
【解析】由数列为等差数列，得，得，
又，则．
故选:C．
14．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知为等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
可得，解得，
又由，可得，解得，
所以.
故选：C.
15．（2024·湖南·二模）已知是等比数列，是其前项和.若，则的值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【解析】由可得：等比数列的公比.
，化简得，整理得，
又，
，
.
故选：C.
16．（2024·高三·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．212B．168C．121D．163
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
因为数列为正项等比数列，所以，
因为，又，
所以，因为，
所以或，
若，则，解得，，
所以，
若，则，解得，，
所以，
所以，
故选：C.
17．（2024·广西·二模）设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，
故.
故选：D
18．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．63B．728C．730D．64
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
，即，
，
.
故选：B．
19．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）各项均为正数的数列，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，
可得，，，，，，等式左右分别相加可得，
又，即，
所以，
又数列的各项均为正数，
所以，
所以，
故选：A.
20．（2024·全国·模拟预测）已知在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为在等比数列中，，所以，解得，
又，解得，
设等比数列的公比为，则，
所以，所以.
故选：B．
21．（2024·广东江门·一模）已知是等比数列，，且，是方程两根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是等比数列，所以，，又，所以，
又，是方程两根，
所以.
故选：C
22．（2024·河北邯郸·三模）已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以．
故选：D
23．（2024·陕西西安·二模）已知等差数列的公差为，且是与的等比中项，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，即，解得，
则.
故选：C.
24．（2024·陕西西安·二模）已知等比数列中，公比，其前项和 ，则（ ）
A．B．C．D．24
【答案】C
【解析】因为等比数列前项和，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：C.
25．（2024·江苏·一模）等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
由，得：，
即：，
所以，，
又，所以，，
所以，.
故选：A.
26．（2024·湖南衡阳·二模）已知是等比数列，且，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
则，又，解得.
故选：C.
27．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知是正项等比数列，且，则=（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【解析】是正项等比数列，由，
得，得．
故选：C
28．（2024·高三·全国·专题练习）从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使得这三个数依次成等比数列，则这样的等比数列的个数是（ ）
A．8B．10
C．12D．16
【答案】A
【解析】解析：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为
时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．
29．（2024·安徽黄山·一模）已知是以为公比的等比数列，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为数列是以为公比的等比数列，且，，
则，解得.
故选：A.
二、多选题
30．（2024·高一·福建宁德·期末）公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（ ）
A．B．C．中最大D．
【答案】AD
【解析】由，得，
又，得，，
所以，，数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，
等差数列，公差，A选项正确；，B选项错误；前6项和最大，C选项错误；
由，，有，则，D选项正确.
故选：AD.
三、填空题
31．（2024·高三·湖南·阶段练习）等差数列的首项为，公差不为，若，，成等比数列，则的前项的和为 ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为且，且，
因为，，成等比数列，可得，即，
即或（舍去），
设等差数列的前项和为，
所以.
故答案为：.
32．（2024·北京·模拟预测）已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 .
【答案】4
【解析】因为成等比数列，所以，即，
即，解得或（舍）.
故答案为：4
33．（2024·海南省直辖县级单位·一模）设等差数列的前项和为，若，，则 .
【答案】10
【解析】因为为等差数列，，即，所以，
又因为，所以，所以，
所以，，
所以公差，所以，
所以.
故答案为：10
34．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足，则 ．
【答案】0
【解析】设首项为，公差为d．∵，
∴，
∴，∴，
∴．
故答案为：.
35．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则 ．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由题意知且，
则，解得．
则，，
．
故答案为：.
36．（2024·高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且，则数列的通项公式 .
【答案】
【解析】设的公差为，
成等比数列，，即，解得，
，，解得，
.
故答案为：
37．（2024·浙江金华·模拟预测）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则 ．
【答案】
【解析】由等差数列的性质可知，，即，而，
根据等比数列的性质可知，，则，，
所以.
故答案为：
四、解答题
38．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）等差数列的前项和为，其中；
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题可得：，又，解得，
故.
（2），
故.
故数列的前项和.
39．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，是的等比中项，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和为．
【解析】（1）设正项等差数列的公差为，
因为是的等比中项，所以，即，
又，即，即，
解得或（舍去），
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
所以．
40．（2024·黑龙江吉林·二模）已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）因是公差为1的等差数列，而，则，
因此，即，
当时，，
经检验，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）证明：由（1）知：，
所以
.
41．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，
当时，解得，
当时，
所以，即，
所以，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，，
所以，
所以，则，
所以
.
42．（2024·高三·山东济宁·期末）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）设数列的首项为，公比为，
由条件可知，，即，
所以，得，
又因为，得，
所以；
（2）由（1）可知，，，
所以.
43．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列中，，且满足．设，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
【解析】（1）∵，，∴，
∵，∴，
又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，.
（2）∵，
∴当时，
，又也满足上式，
所以.
44．（2024·高三·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题知：①，
②，
②÷①得，，解得，代入①式得，，
所以．
（2）由（1）知：，
所以，
所以 ．
45．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）设等比数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为q，
由题意可得，则，
即，解得，
所以.
（2）因为，则，且，
即数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以．
46．（2024·高二·湖南·期末）已知数列满足，且对于任意m，，都有．
(1)证明为等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】（1）取，则由，得．
因为，所以，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
故．
（2）由（1）可知，
则，
故．