专题40 数列通项 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项．
二、利用递推公式求通项公式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式．常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法．
④利用与的关系求解
形如的关系，求其通项公式，可依据
，求出
【典型例题】
例1．（2024·高三·全国·专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·高三·安徽·开学考试）已知正项数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2024·高三·甘肃平凉·阶段练习）已知数列满足，，则的通项公式为 ．
例4．（2024·高二·北京·期中）数列中，若，，则 .
例5．（2024·高三·全国·专题练习）数列满足，则 ．
例6．（2024·高三·全国·专题练习）已知在正项数列中，，则数列的通项公式为 .
例7．（2024·高二·陕西西安·期中）在数列中，，，且，则数列的通项公式是 ．
例8．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778B．779C．780D．781
例10．（2024·高三·河北张家口·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第21项B．第22项C．第23项D．第24项
例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列中，，且满足．设，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
例12．（2024·高二·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）已知等差数列的前项和为，且满足，．求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，求通项公式．
例13．（2024·高三·全国·专题练习）已知：，时，，求的通项公式．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高三·天津和平·期末）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．9B．21C．45D．93
4．（2024·高一·陕西榆林·期末）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项为
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．数列为递增数列
三、填空题
6．（2024·高三·陕西安康·开学考试）如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此规律，则该数阵中第10行从左至右的第4个数是 .
7．（2024·高三·湖南·开学考试）若数列满足，，则的最小值是 ．
8．（2024·高三·全国·专题练习）在数列中，，，则的值为 .
9．（2024·高二·上海·期末）若数列满足，则的通项公式是 ．
10．（2024·高二·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 .
11．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ．
12．（2024·高三·广东江门·阶段练习）数列中，，且，则等于 .
13．（2024·高三·北京·阶段练习）已知等比数列的前n项和，其中，，则数列的通项公式为 ．
14．（2024·广东广州·一模）已知数列的前项和，当取最小值时， .
15．（2024·高二·宁夏中卫·阶段练习）数列满足且，则数列的通项公式是 ．
16．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知数列的递推公式，且首项，则 .
17．（2024·高二·湖南·开学考试）若数列是公差为1的等差数列，且，则 ， .
18．（2024·高三·上海闵行·期中）已知、…是直线上的一列点，且，则这个数列的通项公式是 .
四、解答题
19．（2024·高三·浙江·开学考试）已知等差数列的各项均为正数，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的通项公式及其前项和.
20．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
21．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
22．（2024·高三·全国·专题练习）已知正项数列，其前项和为．求数列的通项公式：
23．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
24．（2024·四川成都·模拟预测）已知为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
25．（2024·高二·江苏扬州·期末）已知数列的首项，前n项和为，且．设．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
26．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
27．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
28．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且．求数列的通项公式；
29．（2024·高二·福建漳州·期中）设数列的各项都为正数，且．
(1)证明数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
30．（2024·高二·宁夏中卫·阶段练习）已知数列，满足
(1)证明：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
31．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.
32．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
33．（2024·广东惠州·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
34．（2024·高三·山东·期中）数列中，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求前n项和．