备战2025年高考数学精品课件第十章 突破1 概率、统计中的开放性与决策问题

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附：若随机变量 X ～ N (μ，σ2)，则 P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ≤ X ≤μ ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(2)已知该闯关活动参赛者的累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给 2 500名参赛者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270 分，问甲能否获得奖励.并说明理由.②丙得知他的分数为430分，乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分 以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
[解析]　(2)设此次闯关活动参赛者的累计得分为 X ， X ～ N (μ，σ2).
训练1 [2023湖南长沙雅礼中学模拟]某学校为了减轻同学们的学习压力，班上决定进 行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同，其他无任何区别)放入一个袋子 里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球 得分比赛，摸到白色球每个记1分，黄色球每个记2分，红色球每个记3分，绿色球 每个记4分，摸球人得分不低于8分为胜，否则为负.并规定如下：①一人摸球，另一人不摸球.②摸出的球不放回.③摸球的人先从袋子中摸出1个球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球； 若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的 记分之和.
(1)若由甲摸球，甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；
(2)若由乙摸球，乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望 E (ξ)；
(3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.
命题点2　统计中的开放性与决策问题例2 [全国卷Ⅱ]下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y (单位：亿元)的 折线图.
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的 预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说 明利用模型②得到的预测值更可靠.说明：以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
训练2 某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷 头在使用过程中需要更换.若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20 元；若单独购买刷头，则每个刷头30元.某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的 100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到下表：
用 n ( n ∈N)表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数， y 表示购买 刷头的费用(单位：元).
(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数；
(2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求 y 关于 n 的函数解析式；
(3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头， 分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该 品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头.
若这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了18个刷头，则其中有78名医生购买刷头的费用均为360元，12名医生购买刷头的费用均为390元，
[命题点1/2023安徽十校联考]国庆节期间，某大型服装店举办了一次“你消费我促 销”活动，顾客消费满300元(含300元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择 其中的一种).方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球4个)的抽奖盒 中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个) 的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，中奖规则为若摸出2个红球，1个白球，则享受 免单优惠，若摸出2个红球，1个黑球，则打5折，若摸出1个红球，1个白球和1个黑 球，则打7.5折，其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和数学期望；
(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪种抽奖方案更合理？
学生用书·作业帮P396
1. [2024河南名校模拟]在实施乡村振兴的进程中，某地政府引领广大农户发展特色 农业，种植优良品种柑橘.现在实验基地中种植了相同数量的 A ， B 两种柑橘.为了比 较 A ， B 两种柑橘品种的优劣，在柑橘成熟后随机选取 A ， B 两种柑橘各100株，并 根据株产量 X (单位：kg)绘制了如图所示的频率分布直方图(数据分组为[65，70)， [70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95]).
[解析]　(1)由题中 A 品种柑橘的频率分布直方图可知，(0.01×2＋0.03＋ a ＋0.06＋0.05)×5＝1，解得 a ＝0.04.由题中 B 品种柑橘的频率分布直方图可知，(0.05＋0.06＋ b ＋0.03＋0.01×2)×5＝1，解得 b ＝0.04.
(1)求 a ， b 的值；
(2)将频率当作概率，在所有柑橘中随机抽取一株，求其株产量不低于80 kg的概率；
[解析]　(3)设 A 品种柑橘株产量平均数的估计值为 MA ，则 MA ＝(0.01×67.5＋0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.04×82.5＋0.06×87.5＋0.05×92.5)×5＝84.5.设 B 品种柑橘株产量平均数的估计值为 MB ，则 MB ＝(0.05×67.5＋0.06×72.5＋0.04×77.5＋0.03×82.5＋0.01×87.5＋0.01×92.5)×5＝75.5. A 品种的柑橘更好.理由一　 A 品种柑橘的株产量平均数的估计值大于 B 品种柑橘的株产量平均数的估计值，故 A 品种的柑橘更好.理由二　由(2)可知， A 品种柑橘株产量不低于80 kg的占比为75％， B 品种柑橘株产 量不低于80 kg的占比为25％，故 A 品种的柑橘更好.(注：答案不唯一，有道理的答案均给分)
(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值(同一组数据中的平均数用该组区间的中点值 作为代表)，并从产量角度分析，哪个品种的柑橘更好？说明理由.
2. [2023广东一模]某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放 10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次 抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色 相同为中奖，两个小球颜色不同为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 X 的分布 列和数学期望.
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 Y 的 分布列和数学期望.
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式 进行抽奖.
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖.
(注：答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可)
(3)如果你是商场老板，如何在上述两问的两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选 择及简要理由.
[解析]　(1)若甲指定第一局由乙丙比赛，“只进行三局甲就成为冠军”共有两 种情况：
(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概 率最大.
4. [2024山东枣庄模拟]某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况， 采用随机抽样的方法从两条生产线上共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)， 得到如下统计表，其中尺寸位于[55，58)内的零件为一等品，位于[54，55)内和 [58，59)内的零件为二等品，否则为三等品.
(1)完成下列2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为零件为一等 品与生产线有关联？单位：个
[解析]　(1)由题意得列联表如下：
(2)将样本的频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽 取零件互不影响，以ξ表示这4个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望 E (ξ).