备战2025年高考数学精品课件第十章 第7讲 二项分布、超几何分布与正态分布

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学生用书P2431. n 重伯努利试验(1)定义：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重 复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验.(2)特征：a.同一个伯努利试验重复做 n 次；b.各次试验的结果相互独立.
2. 二项分布(1)定义：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p (0＜ p ＜1)，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P ( X ＝ k )＝① ， k ＝0，1，2，…， n .如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作② .特别地，当 n ＝1时，此时的二项分布为两点分布.(2)期望与方差：若 X ～ B ( n ， p )，则 E ( X )＝③ ， D ( X )＝④ ⁠.
X ～ B ( n ， p )　
np (1－ p )　
3. 超几何分布(1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品.从 N 件产品中随机抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P ( X ＝ k )＝ ⑤ ， k ＝ m ， m ＋1， m ＋2，…， r .其中 n ， N ， M ∈N*， M ≤ N ， n ≤ N ， m ＝max{0， n － N ＋ M }， r ＝min{ n ， M }.如果随机变量 X 的分布列具有 上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布.(2)期望： E ( X )＝⑥ ⁠.注意　 二项分布是有放回抽取问题，超几何分布是不放回抽取问题.
X ～ N (μ，σ2)　
f.当μ取定值时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“⑪ ”，表示总体的 分布越⑫ ；σ越大，曲线越“⑬ ”，表示总体的分布越⑭ ⁠，如图2所示.
说明　从图1，图2可以发现参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的 分布相对于均值μ的离散程度.
(3)正态分布三个常用数据 P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.说明　在实际应用中，通常认为服从正态分布 N (μ，σ2)的随机变量 X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.(4)正态分布的期望与方差：若 X ～ N (μ，σ2)，则 E ( X )＝⑮ ， D ( X )＝⑯ ⁠.
1. 下列说法错误的是 (　A　)
2. [多选]若袋子中有2个白球，3个黑球(球除了颜色不同，没有其他任何区别)，现从 袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分， 记4次取球的总分数为 X ，则(　BCD　)
3. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3，1)，且 P ( X ＞2 c －1)＝ P ( X ＜ c ＋3)，则 c ＝ ⁠.
4. [教材改编]生产方提供一批产品50箱，其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品 的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收 该批产品.则该批产品被接收的概率是 ⁠.
(2)为了解观众对2023年央视春晚小品节目《坑》的评价，某机构随机抽取10位观众 对其打分(满分10分)，得到如下表格：
①求这组数据的第75百分位数；
[解析]　①将这组数据从小到大排列，为7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1， 9.5，9.9，所以这组数据的第75百分位数为9.1.
②将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对节目《坑》进行评价，记抽取的3人 中评分超过9.0的人数为 X ，求 X 的分布列、数学期望与方差.
(注意根据分布列中所有可能取值的概率之和为1检验所求的分布列是否正确)所以 E ( X )＝3×0.3＝0.9， D ( X )＝3×0.3×0.7＝0.63.
方法技巧二项分布问题的解题关键1. 定型(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2. 定参：确定二项分布中的两个参数 n 和 p ，即试验发生的次数和试验中事件发生 的概率.
所以随机变量 X 的分布列为
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7： 30之前到校的天数恰好多2”，求事件 M 发生的概率.
(2)若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以 X 表示其中丙能答对的题数，求 X 的分布列及数学期望.
方法技巧1. 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.
2. 超几何分布的特征是：(1)考查对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽 取若干个个体，考查某类个体数 X 的概率分布.
3. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古 典概型.
训练2 [天津高考]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现 采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
[解析]　(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层 随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人，2人，2人.
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一 步的身体检查.(i)用 X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；(ii)设 A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求 事件 A 发生的概率.
命题点3　正态分布及其应用例3 (1)[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的测量结果服从正态分布 N (10，σ2)，则下列结论 中不正确的是(　D　)
[解析]　设该物理量一次测量结果为 X ，对于A，σ越小，说明数据越集中在10附 近，所以 X 落在(9.9，10.1)内的概率越大，所以选项A正确；对于B，根据正态曲线 的对称性可得， P ( X ＞10)＝0.5，所以选项B正确；对于C，根据正态曲线的对称性 可得， P ( X ＞10.01)＝ P ( X ＜9.99)，所以选项C正确；对于D，根据正态曲线的对称 性可得， P (9.9＜ X ＜10.2)－ P (10＜ X ＜10.3)＝ P (9.9＜ X ＜10)－ P (10.2＜ X ＜ 10.3)，又 P (9.9＜ X ＜10)＞ P (10.2＜ X ＜10.3)，所以 P (9.9＜ X ＜10.2)＞ P (10＜ X＜10.3)，所以选项D错误.故选D.
(2)某工厂制造的某种机器零件的尺寸 X (单位：mm)近似服从正态分布 N (100， 0.01)，现从中随机抽取10 000个零件，尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为(附：若随机 变量 X ～ N (μ，σ2)，则 P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ≤ X ≤μ＋ 2σ)≈0.954 5) (　B　)
方法技巧解决正态分布问题的思路1. 把给出的区间或范围与参数μ，σ进行对比计算，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ －2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.
2. 利用正态曲线的对称性转化所求概率，常用结论如下：
(1) P ( X ≥μ)＝ P ( X ＜μ)＝0.5；
(2)对任意的 a ，有 P ( X ＜μ－ a )＝ P ( X ＞μ＋ a )；
(3) P ( X ＜ x 0)＝1－ P ( X ≥ x 0)；
(4) P ( a ＜ X ＜ b )＝ P ( X ＜ b )－ P ( X ≤ a ).
训练3 (1)[2022新高考卷Ⅱ]已知随机变量 X 服从正态分布 N (2，σ2)，且 P (2＜ X ≤2.5) ＝0.36，则 P ( X ＞2.5)＝ ⁠.
[解析]　因为 X ～ N (2，σ2)，所以 P ( X ＞2)＝0.5，所以 P ( X ＞2.5)＝ P ( X ＞2)－ P (2＜ X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
(2)[2023广州市阶段测试]某品牌手机的电池使用寿命 X (单位：年)服从正态分布， 且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手 机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 ⁠.
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个 数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求 n 的范围.
随机变量 Y 的分布列为
3. [命题点3/2023四省联考]某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布 N (100，σ2). 质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45％，则 需调整生产工艺，使得σ至多为 .(若 X ～ N (μ，σ2)，则 P (｜ X －μ｜＜ 2σ)≈0.954 5)
学生用书·作业帮P393
3. [2024贵州贵阳一中模拟]若随机变量 X ～ N (10，22)，则下列选项错误的是 (　D　)
[解析]　根据随机变量 X ～ N (10，22)可知μ＝10，σ＝2，所以 P ( X ≥10)＝0.5，故A 正确， P ( X ≤8)＋ P ( X ≤12)＝ P ( X ≥12)＋ P ( X ≤12)＝1，故B正确， P (8≤ X≤12)＝2 P (8≤ X ≤10)，C正确， D (2 X ＋1)＝4 D ( X )＝16，故D错误，故选D.
4. [2024河北邢台模拟]若 X ～ B (16， p )(0＜ p ＜1)，且 D ( aX )＝16，则(　B　)
5. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，该问题可以直观描 述为：存在无穷多个素数 p ，使得 p ＋2是素数.素数对( p ， p ＋2)称为孪生素数.从8 个数对(3，5)，(5，7)，(7，9)，(9，11)，(11，13)，(13，15)，(15，17)，(17，19) 中任取3个，设取出的孪生素数的个数为 X ，则 E ( X )＝(　C　)
7. 已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为 p ，且各员工发表论文是否获奖相 互独立.若 X 为该公司的6名员工发表论文获奖的人数， D ( X )＝0.96， E ( X )＞2，则 p ＝ ⁠.
9. [2024云南昆明模拟]某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式 领取购物卡.该商场在一个纸箱里放15个小球(除颜色外其余均相同)，包括3个红球、 5个黄球和7个白球.每个顾客均不放回地从15个小球中拿3次，每次拿1个球，每拿到 一个红球获得一张 A 类购物卡，每拿到一个黄球获得一张 B 类购物卡，每拿到一个 白球获得一张 C 类购物卡.
[解析]　(1)记事件 A 为“在3次拿球中只有1次拿到白球”，事件 B 为“在3次拿球中 至多有1次拿到红球”，则事件 AB 为“在3次拿球中只有1次拿到白球，其他两次至 多1次拿到红球”.
(1)已知某顾客在3次拿球中只有1次拿到白球，求其至多有1次拿到红球的概率；
(2)设某顾客抽奖获得 A 类购物卡的数量为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
10. [2024福建龙岩质检]杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办.为 了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环 节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分 布表(见下表).
(1)由频率分布表可认为该市参加预赛的全体学生的预赛成绩 X 服从正态分布 N (μ， σ2)(σ＞0)，其中μ可近似视为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该 组区间的中点值代替)，且σ2＝342.利用该正态分布，求 P ( X ≥90).
12. 某同学骑自行车上学，第一条路线较短但拥挤，路途用时 X 1(单位：min)服从正 态分布 N (5，1)；第二条路线较长但不拥挤，路途用时 X 2(单位：min)服从正态分布 N (6，0.16).若有一天他出发时离上课时间还有7 min，则 P ( X 2≤7)－ P ( X 1≤7) ＝ .(精确到0.000 1)(参考数据： P (μ－σ＜ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－ 1.5σ＜ X ≤μ＋1.5σ)≈0.866 4， P (μ－2σ＜ X ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－2.5σ＜ X ≤μ ＋2.5σ)≈0.987 6， P (μ－3σ＜ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
附：若 X ～ N (μ，σ2)，则 P (｜ X －μ｜≤σ)≈0.682 7， P (｜ X －μ｜≤2σ)≈0.954 5， P (｜ X －μ｜≤3σ)≈0.997 3.
14. [2023昆明市模拟]已知某校的校排球队中来自高一、高二、高三三个年级的学生 人数分别为7，6，2.(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级 的概率.
(附：若 X ～ N (μ，σ2)，则 P (μ－σ≤ X ≤μ＋σ)≈0.682 7， P (μ－2σ≤ X ≤μ＋ 2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
16. [设问创新]为监控某种零件的某条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上 随机抽取10个零件，测量其内径(单位：mm).根据长期生产经验，可以认为这条生 产线正常状态下生产的零件内径尺寸服从正态分布 N (μ，σ2).(1)假设生产线状态正常，记 X 表示某天抽取的10个零件中内径在[μ－3σ，μ＋3σ]之 外的零件数，求 P ( X ≥2)及 X 的数学期望.
①计算该天生产的10个零件的平均值μ与标准差σ；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线 试生产了5个零件，测量其内径(单位：mm)分别为85，95，103，109，119.试问此条 生产线是否需要进一步调试，并说明理由.
(2)该生产线某天正常状态下生产的10个零件的内径分别为97，97，98，98，105， 106，107，108，108，116.
参考数据： P (μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P (μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ)≈0.997 3， 0.997 310≈0.973 3，0.027×0.997 39≈0.026 4.