备战2025年高考数学精品课件第十章 第6讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征

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学生用书P2391. 离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有① ⁠ 与之对应，我们称 X 为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称 为离散型随机变量.随机变量一般用大写英文字母表示，例如 X ， Y ， Z . 随机变量的取值一般用小写英 文字母表示，例如 x ， y ， z .
唯一的实数 X (ω)　
2. 离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x 1， x 2，…， xn ，我们称 X 取每一个值 xi 的概率 P ( X ＝ xi )＝ pi ， i ＝1，2，…， n 为 X 的概率分布列，简称分布列.离散型 随机变量的分布列可以用表格或图形表示.
3. 离散型随机变量分布列的性质
(1) pi ② 0， i ＝1，2，…， n ；
(2) p 1＋ p 2＋…＋ pn ＝③ ⁠.
4. 离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
x 1 p 1＋ x 2 p 2＋…＋ xnpn 　
5. 均值与方差的性质
若 Y ＝ aX ＋ b ，其中 a ， b 是常数， X ， X 1， X 2是随机变量，则
(1) E ( aX ＋ b )＝⑧ ， D ( aX ＋ b )＝⑨ ⁠；
(2) E ( X 1＋ X 2)＝ E ( X 1)＋ E ( X 2)， D ( X )＝ E ( X 2)－[ E ( X )]2.
aE ( X )＋ b 　
a 2 D ( X )　
1. 下列说法错误的是 (　B　)
2. 设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为
则 q 等于(　D　)
3. 一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品 可获利30元，生产一件次品要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品 的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　B　)
[解析]　设这台机器每生产一件产品可获利 X 元，则 X 可能取的数值为50，30，－ 20，所以 P ( X ＝50)＝0.6， P ( X ＝30)＝0.3， P ( X ＝－20)＝0.1，所以这台机器每生 产一件产品平均预期可获利为 E ( X )＝50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)，故选B.
4. [多选]设离散型随机变量 X 的分布列为
若离散型随机变量 Y 满足 Y ＝2 X ＋1，则下列结果正确的有(　ACD　)
[解析]　因为 q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以 q ＝0.1，故A正确；又 E ( X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2， D ( X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为 Y ＝2 X ＋1，所以 E ( Y )＝2 E ( X )＋1＝5， D ( Y )＝4 D ( X )＝7.2，故D正确.故选ACD.
5. 若随机变量 X 满足 P ( X ＝ c )＝1，其中 c 为常数，则 D ( X )的值为 ⁠.
[解析]　∵ P ( X ＝ c )＝1，∴ E ( X )＝ c ×1＝ c ，∴ D ( X )＝( c － c )2×1＝0.
[解析]　由题中表格可知 x ＋0.1＋0.3＋ y ＝1，7 x ＋8×0.1＋9×0.3＋10 y ＝8.9，解 得 y ＝0.4.故选C.
方法技巧离散型随机变量分布列的性质的应用1. 利用“总概率之和为1”可以求相关参数的值及检验分布列是否正确；
2. 利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 和”求某些特定事件的概率.
训练1 (1)若随机变量 X 的分布列为
则当 P ( X ＜ a )＝0.8时，实数 a 的取值范围是(　C　)
[解析]　由随机变量 X 的分布列知， P ( X ＜1)＝0.5， P ( X ＜2)＝0.8，故当 P ( X ＜ a )＝0.8时，实数 a 的取值范围是(1，2].
(2)随机变量 X 的分布列如下：
其中 a ， b ， c 成等差数列，则 P (｜ X ｜＝1)＝ ，公差 d 的取值范围是 ⁠ ⁠.
(2)[2022全国卷甲]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜 方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互 独立.①求甲学校获得冠军的概率；
[解析]　①设甲学校获得冠军的事件为 A ，则甲学校必须获胜2场或者3场. P ( A )＝ 0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.6.故甲学校获得冠军的概率为 0.6.
②用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.
② X 的取值可以为0，10，20，30. P ( X ＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P ( X ＝10)＝(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.44， P ( X ＝20)＝(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.4×(1－ 0.8)＝0.34， P ( X ＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06.所以 X 的分布列为
所以 E ( X )＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
方法技巧求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤(1)理解 X 的含义，写出 X 的全部可能取值；(2)求 X 取每个值的概率；(3)写出 X 的分布列；(4)由均值、方差的定义求 E ( X )， D ( X ).
训练2 [多选]甲、乙两人进行纸牌游戏(纸牌除了颜色不同，没有其他任何区别)，他 们手里各持有4张纸牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张 红牌，现在两人都各自随机取出1张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌张数分 别为 X ， Y ，则(　AD　)
命题点3　利用均值与方差进行决策例3 [2021新高考卷Ⅰ]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加 比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则 该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回 答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0 分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能 正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[解析]　(1)由题意得， X 的所有可能取值为0，20，100， P ( X ＝0)＝1－0.8＝0.2， P ( X ＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P ( X ＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以 X 的分布列为
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得 E ( X )＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记 Y 为小明的累计得分，则 Y 的所有可能取值为0，80，100， P ( Y ＝0)＝1－0.6＝0.4， P ( Y ＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P ( Y ＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以 Y 的分布列为
E ( Y )＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6＞54.4，即 E ( Y )＞ E ( X )，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先 回答B类问题.
方法技巧在利用均值和方差的意义去分析、解决实际问题时，一般先比较均值，若均值相 同，再用方差来决定.需要注意的是，实际应用中是方差大了好还是方差小了好，要 看这组数据反映的实际问题.
(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金 继续用作投资)，大约在哪一年年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
1. [命题点1]设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数 a 的值为(　A　)
2. [命题点2]已知ξ的分布列如表所示.
[解析]　 设“？”＝ a ，“！”＝ b ，则 a ， b ∈[0，1]，2 a ＋ b ＝1.
3. [命题点2/2023南昌市一模]某班准备购买班服，确定从 A ， B 两种款式中选出一种 统一购买.现在全班50位同学赞成购买 A ， B 款式的人数分别为20，30，为了尽量统 一意见，准备在全班进行3轮宣传，每轮宣传从全班同学中随机选出一位，介绍他 赞成所选款式的理由.假设每轮宣传后，赞成该同学所选款式的不会改变意见，不赞 成该同学所选款式的同学会有5位改变意见，改成赞成该同学所选款式.(1)计算第2轮宣传选到的同学赞成 A 款式的概率.
(2)设经过3轮宣传后赞成 A 款式的人数为 X ，求随机变量 X 的数学期望.
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大.
学生用书·作业帮P390
3. 设0＜ a ≤ b ，随机变量 X 的分布列是
则 E ( X )的取值范围是(　D　)
4. [浙江高考]设0＜ a ＜1.随机变量 X 的分布列是
则当 a 在(0，1)内增大时，(　D　)
6. [多选]已知 A ＝ B ＝{1，2，3}，分别从集合 A ， B 中各随机取一个数 a ， b ，得到 平面上一个点 P ( a ， b )，设事件“点 P 恰好落在直线 x ＋ y ＝ n 上”对应的随机变 量为 X ， P ( X ＝ n )＝ Pn ， X 的数学期望和方差分别为 E ( X )， D ( X )，则(　BCD　)
7. 若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数 字，则称 n 为“三位递增数”(如137，359，567等). 在某次数学趣味活动中，每位 参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如 下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被 5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.若甲参加活动，则甲得 分 X 的均值 E ( X )＝ ⁠.
8. [2024惠州市一调]学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多 轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10 分，负者得－5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师 甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目比赛结果相互独立.甲、 乙获得冠军的概率分别记为 p 1， p 2.
[解析]　(1)根据题意知， X 的所有可能取值为－15，0，15，30.可得 P ( X ＝－15)＝0.4×0.5×0.75＝0.15， P ( X ＝0)＝0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.425， P ( X ＝15)＝0.4×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.75＝0.35， P ( X ＝30)＝0.6×0.5×0.25＝0.075.∴ X 的分布列为
∴ E ( X )＝－15×0.15＋0×0.425＋15×0.35＋30×0.075＝5.25.
(1)用 X 表示教师乙的总得分，求 X 的分布列与期望.
9. [2023重庆市三检]在“五一”节日期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购 买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均 分成 n ( n ∈N*， n ≥3)个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同， 顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色(若指针 指在分界线处，本次转动无效，需重转一次)，若三次颜色都一样，则获得一等奖； 若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖.
(2)规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在 n 取(1)中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望.
10. [2024南昌市模拟]党建知识竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员 通过比赛的概率见下表：
比赛规则是： 从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛， 每个队员通过第一 关可以得60分，且有资格参加第二关比赛， 若没有通过，得0分且没有资格参加第 二关比赛， 若通过第二关可以再得40分，若没有通过，不再加分.两名参赛队员所 得总分为该代表队的得分，代表队得分不低于160分，可以获得“党建优秀代表 队”称号.假设两名参赛队员的结果互不影响.(1)求这次比赛中，该校获得“党建优秀代表队”称号的概率；
(2)若这次比赛中，选中了甲、乙两名队员参赛，记该代表队的得分为 X ，求随机变 量 X 的分布列、期望和方差.
11. 某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响.现 计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：
(1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工 作时间不少于4个月的概率.
(2)现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙 品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用).试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的 成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
(2)若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，小明只能应聘其中一家，则当 m 的取 值在什么范围内时，小明应选择应聘乙公司？