备战2025年高考数学精品课件第八章 突破2 圆锥曲线中的最值、范围问题

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训练1 [2022全国卷甲]设抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 D ( p ，0)，过 F 的直线交 C 于 M ， N 两点.当直线 MD 垂直于 x 轴时，｜ MF ｜＝3.(1)求 C 的方程.
(2)设直线 MD ， ND 与 C 的另一个交点分别为 A ， B ，记直线 MN ， AB 的倾斜角分 别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线 AB 的方程.
[解析]　如图，根据(1)知 F (1，0)， D (2，0).
当 MN 的斜率存在时，设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， A ( x 3， y 3)， B ( x 4， y 4)，
即 y ( y 1＋ y 2)－ y 1( y 1＋ y 2)＝4( x － x 1)，
所以直线 MN 的方程为 y ( y 1＋ y 2)－ y 1 y 2＝4 x .
同理可得，直线 AM 的方程为 y ( y 3＋ y 1)－ y 3 y 1＝4 x ，直线 BN 的方程为 y ( y 4＋ y 2) － y 4 y 2＝4 x ，直线 AB 的方程为 y ( y 4＋ y 3)－ y 4 y 3＝4 x .
因为 F (1，0)在 MN 上，所以 y 1 y 2＝－4.
因为 D (2，0)在 AM ， BN 上，所以 y 3 y 1＝－8， y 4 y 2＝－8，
所以直线 AB 的方程 y ( y 4＋ y 3)－ y 4 y 3＝4 x 可化为( y 1＋ y 2) y ＋8＝2 x ，
当 y 2＋ y 1＜0时，tan(α－β)＜0，不符合题意.
(2)过点 P (0，－3)的直线 l 的斜率为 k ，交椭圆 E 于不同的两点 B ， C ，直线 AB ， AC 分别交直线 y ＝－3于点 M ， N ，若｜ PM ｜＋｜ PN ｜≤15，求 k 的取值范围.
由①②可得，｜ k ｜≤3.综上可得－3≤ k ＜－1或1＜ k ≤3.所以 k 的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].
方法技巧圆锥曲线中最值(范围)问题的求解方法
(1)求 C 的标准方程；
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线 l 1与椭圆 C 交于 D ， E 两点，直线 l 2与椭圆 C 交于 M ， N 两点，且 l 1⊥ l 2， l 1， l 2交于点 P ，求｜ DE ｜·｜ MN ｜的取值范围.
(2)过点 M (0，2)的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，且∠ AOB 为锐角( O 为坐标原点)，求 l 的斜率的取值范围.
[解析]　由(1)得抛物线 C ： y 2＝4 x ，则 F (1，0)，显然直线 MN 的斜率不可能为零，
(2)若直线 y ＝ kx －1与 C 的左、右两支分别交于 M ， N 两点，与 C 的两条渐近线分 别交于 P ， Q 两点，｜ MN ｜＝λ｜ PQ ｜，求实数λ的取值范围.