备战2025年高考数学精品课件第八章 突破3 圆锥曲线中的定点、定值、定线问题

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(2)过点(－2，3)的直线交 C 于 P ， Q 两点，直线 AP ， AQ 与 y 轴的交点分别为 M ， N ，证明：线段 MN 的中点为定点.
求解直线或曲线过定点问题的基本思路
1. 把直线或曲线方程中的变量 x ， y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过 定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这 样就得到一个关于 x ， y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所 过的定点.
2. 由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 y － y 0＝ k ( x － x 0)，则 直线必过定点( x 0， y 0)；若得到了直线方程的斜截式 y ＝ kx ＋ m ，则直线必过定点 (0， m ).
3. 从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.
当直线 MN 的斜率存在时，如图，设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， lMN ： y ＝ kx ＋ m ( k ＋ m ＝－2).
命题点2　定值问题例2 已知抛物线 C ： y 2＝2 px 经过点 P (1，2).过点 Q (0，1)的直线 l 与抛物线 C 有两 个不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N . (1)求直线 l 的斜率的取值范围；
方法技巧圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法1. 特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.2. 两大解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)引进变量法，其解题流程为：
(2)点 P 是直线 y ＝ x ＋1上一定点，设直线 PM ， PN 的斜率分别为 k 1， k 2，若 k 1 k 2 为定值，求点 P 的坐标.
(2)记 C 的左、右顶点分别为 A 1， A 2，过点(－4，0)的直线与 C 的左支交于 M ， N 两 点， M 在第二象限，直线 MA 1与 NA 2交于点 P ，证明：点 P 在定直线上.
方法技巧定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本 质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出 横、纵坐标之间的关系.
(2)设 G 为直线 AD 与 BC 的交点，证明：点 G 必在定直线上.
1. [命题点1]已知抛物线 C ： x 2＝－2 py 经过点(2，－1).(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程.
[解析]　由抛物线 C ： x 2＝－2 py 经过点(2，－1)，得4＝2 p ，解得 p ＝2，所以抛物线 C 的方程为 x 2＝－4 y ，其准线方程为 y ＝1.
(2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点且斜率不为0的直线 l 交抛物线 C 于两点 M ， N ， 直线 y ＝－1分别交直线 OM ， ON 于点 A 和点 B . 求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴 上的两个定点.
(2)点 M ， N 在 C 上，且 AM ⊥ AN ， AD ⊥ MN ， D 为垂足.证明：存在定点 Q ，使 得｜ DQ ｜为定值.
解得 a ＝1，所以 b ＝1，所以 C 的方程为 x 2－ y 2＝1.
(2)过点 P 作直线 l 交 C 于 M ， N 两点，过点 N 作 x 轴的垂线交直线 AM 于点 G ， H 为 NG 的中点，证明：直线 AH 的斜率为定值.
(1)求 yPyQ 的值；
[解析]　解法一　如图，依题意， A (－2，0)， B (2，0).
即 yP · yQ 的值为－9.
(2)设直线 BP 与 E 的另一个交点为 D ，求证：直线 CD 经过点 F .
同理可得－3 x 1 y 2＋ x 2 y 1＋2 y 1＋6 y 2＝0，　②
①－②得4 x 1 y 2－4 x 2 y 1＋4 y 1－4 y 2＝0，即( x 1－1) y 2＝( x 2－1) y 1.所以(*)式成立，即直线 CD 经过点 F .
(2)过点 D (2，0)作直线 l 交抛物线 C 于 P ， Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为P'，证 明：直线P'Q过定点，并求出定点坐标.
(1)设 AN ， BN 的斜率分别为 k 1， k 2，求 k 1· k 2的值；
(2)求证：点 G 在定直线上.
(2)点 P ， Q 分别在 C 和直线 x ＝4上， OQ ∥ AP ( O 为坐标原点)， M 为 AP 的中点， 求证：直线 OM 与直线 QF 的交点在某定曲线上.