备战2025年高考数学精品课件第八章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

这是一份备战2025年高考数学精品课件第八章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系，共60页。PPT课件主要包含了d＞R＋r，d＝R＋r，R－r＜d，＜R＋r，d＝R－r，d＜R－r，规律总结圆系方程，ABD，答案不唯一，方法技巧等内容，欢迎下载使用。
1. 直线与圆的位置关系设圆 O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，则
2. 圆与圆的位置关系(1)设两圆的圆心距为 d ，两圆的半径分别为 R ， r ( R ＞ r )，则
d＞R＋r　
d＝R＋r　
d＝R－r　
d＜R－r　
(2)两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆 C 1： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1＝0　(*)，圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2＝ 0　(**)，若两圆相交，则两圆有一条公共弦，由(*)－(**)，得( D 1－ D 2) x ＋( E 1－ E 2) y ＋ F 1－ F 2＝0　(***).方程(***)表示圆 C 1与圆 C 2的公共弦所在直线的方程.
注意　 (1)方程(***)存在的前提是两圆相交；(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的 圆心.
1. [多选]下列说法正确的是(　AD　)
2. [易错题]若半径为1的圆 C 与圆( x ＋1)2＋( y －2)2＝9相切，则圆 C 的圆心 C 的轨迹 方程为 ⁠.
[解析]　若两圆外切，则点 C 与点(－1，2)间的距离为4，点 C 在以(－1，2)为圆 心，4为半径的圆上，此时点 C 的轨迹方程为( x ＋1)2＋( y －2)2＝16；若两圆内切， 则点 C 与点(－1，2)间的距离为2，点 C 在以(－1，2)为圆心，2为半径的圆上，此时 点 C 的轨迹方程为( x ＋1)2＋( y －2)2＝4.
( x ＋1)2＋( y －2)2＝16或( x ＋1)2＋( y －2)2＝4　
3. [易错题]已知圆 C ： x 2＋ y 2＝9，过点 P (3，1)作圆 C 的切线，则切线方程为 ⁠ ⁠.
x＝3或4 x ＋3 y －15＝0　
4. 过两圆 x 2＋ y 2－2 y －4＝0与 x 2＋ y 2－4 x ＋2 y ＝0的交点，且圆心在直线 l ：2 x ＋4 y －1＝0上的圆的方程为 ⁠.
x 2＋ y 2－3 x ＋ y －1＝0　
命题点1　直线与圆的位置关系例1 (1)[多选/2021新高考卷Ⅱ]已知直线 l ： ax ＋ by － r 2＝0( r ＞0)与圆 C ： x 2＋ y 2＝ r 2，点 A ( a ， b )，则下列说法正确的是(　ABD　)
(2)[2022新高考卷Ⅱ]设点 A (－2，3)， B (0， a )，若直线 AB 关于 y ＝ a 对称的直线与 圆( x ＋3)2＋( y ＋2)2＝1有公共点，则 a 的取值范围是 ⁠.
方法技巧直线与圆的位置关系的判断方法
注意　 在直线与圆的位置关系的判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线 的距离易表达，则用几何法；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离 不易表达，则用代数法.
训练1 (1)直线 l ： mx － y ＋1－ m ＝0与圆 C ： x 2＋( y －1)2＝5的位置关系是 (　A　)
解法三(点与圆的位置关系法)　直线 l ： mx － y ＋1－ m ＝0过定点(1，1)，因为点 (1，1)在圆 x 2＋( y －1)2＝5的内部，所以直线 l 与圆 C 相交.
求解圆的弦长问题的方法
训练2 (1)[2021北京高考]已知圆 C ： x 2＋ y 2＝4，直线 l ： y ＝ kx ＋ m ，当 k 的值发 生变化时，直线 l 被圆 C 所截得的弦长的最小值为2，则 m 的值为(　C　)
(2)[多选/2024南京市第五高级中学模拟]已知圆 O ： x 2＋ y 2＝9，过点 A (2，0)的直 线 l 与圆 O 交于 M ， N 两点，则(　BD　)
命题点3　圆的切线问题例3 [2023新高考卷Ⅰ]过点(0，－2)与圆 x 2＋ y 2－4 x －1＝0相切的两条直线的夹角为 α，则 sin α＝(　B　)
(2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长.
1. 求过圆 O 上一点 P ( x 0， y 0)的切线 l 方程的方法
利用 OP 与 l 垂直及 l 过点 P 求切线方程.
2. 求过圆外一点的切线方程的方法
注意　 (1)求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系.(2)设直线 方程时注意对斜率是否存在进行讨论.
训练3 (1)[2023重庆市二调]已知直线 l ： x － y ＋8＝0与 x 轴交于点 A ，过直线 l 上的 动点 P 作圆 x 2＋ y 2＝16的两条切线，切点分别为 C ， D ，则直线 CD 恒过定点的坐 标为 ；若 M 是线段 CD 的中点，则｜ AM ｜的最小值为 ⁠.
命题点4　圆与圆的位置关系角度1　圆与圆位置关系的判断例5 [2023安徽省十校联考]已知直线 l ： mx ＋ y －3 m －2＝0与圆 M ：( x －5)2＋( y － 4)2＝25交于 A ， B 两点， 则当弦 AB 最短时，圆 M 与圆 N ：( x ＋2 m )2＋ y 2＝9的位 置关系是(　B　)
角度2　两圆的公切线问题例6 [2022新高考卷Ⅰ]写出与圆 x 2＋ y 2＝1和( x －3)2＋( y －4)2＝16都相切的一条直线 的方程 ⁠.
解法一　如图，因为圆 x 2＋ y 2＝1的圆心为 O (0，0)，半径 r 1＝1，圆( x －3)2＋( y －4)2＝16的圆心为 A (3，4)，半径 r 2＝4，所以｜ OA ｜＝5， r 1＋ r 2＝5，所以｜ OA ｜＝ r 1＋ r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线 l 1的方程为 x ＝－1；
x ＝－1(答案不唯一)　
角度3　两圆相交的公共弦问题
例7 圆 C 1： x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0和圆 C 2： x 2＋ y 2＋2 x ＋2 y －8＝0的公共弦 所在直线的方程为 ，公共弦长为 ⁠.
x －2 y ＋4＝0　
方法技巧1. 判断两圆的位置关系常用的方法是几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半 径之间的关系，一般不采用代数法. 2. 两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分 别等于两圆的半径列方程组求解.3. 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
训练4 (1)[2023湖南省六校联考]在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2＋ y 2－8 x ＋15＝0，若直线 y ＝ kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与 圆 C 有公共点，则 k 的最大值是(　B　)
(2)[多选/2023海南省文昌中学模拟]已知圆 O 1： x 2＋ y 2－2 x －3＝0和圆 O 2： x 2＋ y 2－2 y －1＝0的交点为 A ， B ，直线 l ： x ＋ y ＋λ＝0与圆 O 1交于 C ， D 两点，则下 列结论正确的是(　CD　)
1. [命题点1，2/多选/2024甘肃酒泉联考]下列关于直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与圆 C ： x 2＋ y 2＝1的说法正确的是(　ABD　)
[解析]　圆 C ： x 2＋ y 2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，
2. [命题点1，4/多选/2024河源中学模拟]已知圆 O ： x 2＋ y 2＝4和圆 C ：( x －3)2＋( y －3)2＝4， P ， Q 分别是圆 O ，圆 C 上的动点，则下列说法错误的是(　AC　)
3. [命题点2/2023高三名校联考(一)]若直线 kx － y ＋1－2 k ＝0与圆 x 2＋ y 2＝9分别交 于 M ， N 两点，则弦 MN 长度的最小值为 ⁠.
4. [命题点3，4]过点 D (1，－2)作圆 C ：( x －1)2＋ y 2＝1的两条切线，切点分别为 A ， B ，则弦 AB 所在直线的方程为(　B　)
[解析]　解法一　由圆 C ：( x －1)2＋ y 2＝1的方程可知其圆心为 C (1，0)，半径为1.连接 CD ，易得以线段 CD 为直径的圆的方程为( x －1)2＋( y ＋1)2＝1.将两圆的方程相减，可得公共弦 AB 所在直线的方程为2 y ＋1＝0.故选B.
解法二　由与圆的切线有关的结论，得弦 AB 所在直线的方程为(1－1)( x －1)＋(－2) y ＝1，即2 y ＋1＝0.
5. [命题点4角度1]已知圆 C 1： x 2＋( y －2)2＝4与圆 C 2： x 2＋2 mx ＋ y 2＋ m 2－1＝0 至少有三条公切线，则 m 的取值范围是(　D　)
6. [命题点4角度3/多选/2023江西省五校联考]已知圆 Q ：( x －2)2＋( y －2)2＝2， O 为 坐标原点，以 OQ 为直径作圆Q'，交圆 Q 于 A ， B 两点，则△ OAB 的面积为(　A　)
1. [2024江苏无锡市第一中学校考]已知点 M ( x 0， y 0)在圆 x 2＋ y 2＝2外，则直线 x 0 x ＋ y 0 y ＝2与圆的位置关系是(　B　)
2. [2023广东百校联考]若直线 l ： kx － y ＋2－ k ＝0与圆 C ： x 2＋ y 2－4 x －2 y －4＝ 0交于 A ， B 两点，则当△ ABC 的周长最小时， k ＝(　C　)
[解析]　直线 l 恒过点 D (1，2)，圆心 C (2，1)，点 D 在圆内，当 CD ⊥ l 时，｜ AB ｜最小，△ ABC 的周长最小，由 C (2，1)， D (1，2)，易得 kCD ＝－1，所以 k ＝1，故选C.
4. [2023福建漳州质检]已知 A ， B 分别为 x 轴， y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 与直线2 x ＋ y －4＝0相切，则该圆面积的最小值为(　C　)
6. [2023河南省适应性测试]过圆 x 2＋ y 2＝4上的一点作圆 x 2＋ y 2＝1的两条切线，则 连接两切点的线段长为(　D　)
8. [多选/2023吉林长春模拟]已知两个圆 C 1： x 2＋ y 2－2 x ＋4 y ＋4＝0和 C 2：( x － a )2＋ y 2＝4相交，则 a 的值可以是(　BCD　)
9. [开放创新]写出与直线 x － y －4＝0和圆 x 2＋ y 2＋2 x －2 y ＝0都相切的一个圆的方 程： ⁠.
( x －1)2＋( y ＋1)2＝2(答案不唯一)　
10. 已知直线 l ： x － y ＋2＝0，圆 C ： x 2＋ y 2＋2 x ＋2 y －2＝0.(1)求证：直线 l 与圆 C 相交；
(2)若直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点，求以弦 AB 为直径的圆的方程.
设 P ， C 到直线 AB 的距离分别为 d 1， d 2，
显然当 P ， C 位于直线 AB 的同侧时，点 P 到直线 AB 的距离较大，
12. [全国卷Ⅰ]已知☉ M ： x 2＋ y 2－2 x －2 y －2＝0，直线 l ：2 x ＋ y ＋2＝0， P 为 l 上 的动点.过点 P 作☉ M 的切线 PA ， PB ，切点为 A ， B ，当｜ PM ｜·｜ AB ｜最小 时，直线 AB 的方程为(　D　)
[解析]　由☉ M ： x 2＋ y 2－2 x －2 y －2＝0　①，
得☉ M ：( x －1)2＋( y －1)2＝4，所以圆心 M (1，1).
欲使｜ PM ｜·｜ AB ｜最小，只需四边形 PAMB 的面积最小，即只需△ PAM 的面积最小.
因为｜ AM ｜＝2，所以只需｜ PA ｜最小.
易求出此时直线 PM 的方程为 x －2 y ＋1＝0.
①－②得，直线 AB 的方程为2 x ＋ y ＋1＝0.
13. [2024安徽新安中学校考]已知点 M (1，0)， N (1，3)，圆 C ： x 2＋ y 2＝1，直线 l 过点 N . (1)若直线 l 与圆 C 相切，求 l 的方程；
(2)若直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A ， B ，设直线 MA ， MB 的斜率分别为 k 1， k 2， 证明： k 1＋ k 2为定值.
14. [2024江西广丰中学校考]已知圆 H ： x 2＋( y －3)2＝10，点 B (1，0)与 C (3，2)为 圆 H 上两点.(1)若直线 l 过点 C ，且被圆 H 截得的弦长为2，求直线 l 的方程；
(2)对于线段 BH 上的任意一点 P ，若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M ， N ，使得点 M 是线段 PN 的中点，求圆 C 的半径 r 的取值范围.