备战2025年高考数学精品课件第七章 第3讲 空间直线、平面的平行

这是一份备战2025年高考数学精品课件第七章 第3讲 空间直线、平面的平行，共60页。PPT课件主要包含了相等或互，交线平行，平行四边形，故选AB，l⊄α等内容，欢迎下载使用。
1. 直线与直线平行(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行(即平行线的传递性).注意　 平行线的传递性不仅仅是平行关系有传递性，若 a ∥ b ，则直线 a 的大部分 性质也可以传递给直线 b ，比如若 a ⊥ c ，则 b ⊥ c ；若 a ⊥α，则 b ⊥α，若 a 与平面 α夹角为30°，则 b 与平面α夹角也为30°等.但要注意若 a ∥α，则不一定有 b ∥α，因 为无法判断直线 b 是否在平面α内.(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角① 　 ⁠　　⁠.
2. 直线与平面平行的判定与性质
注意　 (1)在证明线面平行时，一定要强调此直线不在平面内；(2)一条直线平行于 一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直 线可能平行，也可能异面.
3. 平面与平面平行的判定与性质
规律总结平行关系中常用的6个结论1. 垂直于同一条直线的两个平面平行.2. 平行于同一平面的两个平面平行.3. 垂直于同一平面的两条直线平行.4. 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.5. 夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.6. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
1. [教材改编]在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， E 为 DD 1的中点，则下列直线中与 平面 ACE 平行的是(　B　)
[解析]　如图所示，连接 BD ，设 AC ∩ BD ＝ O ，则 O 是 BD 的中点，连接 OE ， ∵在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， E 为 DD 1的中点，
∴ OE ∥ BD 1.
又 OE ⊂平面 ACE ， BD 1⊄平面 ACE ，
∴ BD 1∥平面 ACE .
易得直线 BA 1， BC 1， BB 1均与平面 ACE 不平行.
2. [多选/教材改编]若直线 a 平行于平面α，则(　BC　)
3. 已知直线 a ∥平面α， P ∈α，那么过点 P 且平行于直线 a 的直线有 条.
[解析]　因为平面 ABFE ∥平面 DCGH ，又平面 EFGH ∩平面 ABFE ＝ EF ，平面 EFGH ∩平面 DCGH ＝ HG ，所以 EF ∥ HG . 同理， EH ∥ FG ，所以四边形 EFGH 是平行四边形.
4. [易错题]如图是长方体被一平面所截得的几何体，截面为四边形 EFGH ，则四边 形 EFGH 的形状是 ⁠.
命题点1　线面平行的判定与性质
例1 [2023上海高考节选]如图，直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ∥ DC ， AB ⊥ AD ， AB ＝2， AD ＝3， DC ＝4.求证： A 1 B ∥平面 DCC 1 D 1.
[解析]　解法一　∵ AB ∥ DC ， AB ⊄平面 DCC 1 D 1， CD ⊂平面 DCC 1 D 1，∴ AB ∥平面 DCC 1 D 1.∵ AA 1∥ DD 1， AA 1⊄平面 DCC 1 D 1， DD 1⊂平面 DCC 1 D 1，∴ AA 1∥平面 DCC 1 D 1.又 AB ∩ AA 1＝ A ，∴平面 ABB 1 A 1∥平面 DCC 1 D 1.又 A 1 B ⊂平面 ABB 1 A 1，∴ A 1 B ∥平面 DCC 1 D 1.
解法二　如图，取 CD 的中点 E ，连接 BE ， D 1 E ，则 DE ＝2，
∵ AB ∥ DC ， AB ＝2，∴ AB 　　　DE ，
∴四边形 ABED 为平行四边形，
∴ BE AD .
又 AD A 1 D 1，∴ BE A 1 D 1，
∴四边形 A 1 D 1 EB 为平行四边形，
∴ A 1 B ∥ D 1 E ，
又 D 1 E ⊂平面 DCC 1 D 1， A 1 B ⊄平面 DCC 1 D 1，
∴ A 1 B ∥平面 DCC 1 D 1.
例2 [北京高考节选]如图，在正方形 AMDE 中， B ， C 分别为 AM ， MD 的中点.在五 棱锥 P － ABCDE 中， F 为棱 PE 的中点，平面 ABF 与棱 PD ， PC 分别交于点 G ， H . 求证： AB ∥ FG .
[解析]　在正方形 AMDE 中，因为 B 是 AM 的中点，所以 AB ∥ DE . 又 AB ⊄平面 PDE ， DE ⊂平面 PDE ，所以 AB ∥平面 PDE . 因为 AB ⊂平面 ABF ，且平面 ABF ∩平面 PDE ＝ FG ，所以 AB ∥ FG .
方法技巧1. 证明线线平行常用的方法(1)利用线面平行的性质定理.(2)利用面面平行的性质定理.(3)利用中位线，对应线段成比例，平行四边形的性质等.2. 证明直线与平面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性质：α∥β， a ⊂α⇒ a ∥β.注意　 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件.
训练1 [2023江西省南昌市摸底测试]如图，已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1的棱 AB ， AD ， D 1 C 1， C 1 B 1的中点分别为 E ， F ， G ， H ，则下列直线中，与平面 ACD 1和平面 BDC 1的交线平行的直线是(　C　)
[解析]　如图，设 AC ∩ BD ＝ M ， CD 1∩ C 1 D ＝ N ，则 M ∈平面 ACD 1， M ∈平面 BDC 1， N ∈平面 ACD 1， N ∈平面 BDC 1，连接 MN ，则平面 ACD 1∩平面 BDC 1＝ MN . 在△ ACD 1中， M ， N 分别为 AC ， CD 1的中点，所以 MN ∥ AD 1.连接 EG ，在 四边形 ABC 1 D 1中，易知四边形 ABC 1 D 1是平行四边形，又 E ， G 分别为 AB ， C 1 D 1的中点，所以 EG ∥ AD 1，所以 MN ∥ EG . 故选C.
训练2 [2022北京高考节选]如图，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，侧面 BCC 1 B 1为正方 形，平面 BCC 1 B 1⊥平面 ABB 1 A 1， AB ＝ BC ＝2， M ， N 分别为 A 1 B 1， AC 的中 点.求证： MN ∥平面 BCC 1 B 1.
[解析]　解法一　如图，设点 P 为 AB 的中点，连接 PN ， PM ，因为 N 为 AC 的中 点，所以 PN 为△ ABC 的中位线，
所以 PN ∥ BC .
又 M 为 A 1 B 1的中点，所以 PM ∥ BB 1.
因为 BB 1∩ BC ＝ B ， PM ∩ PN ＝ P ， BB 1， BC ⊂平面 BCC 1 B 1， PM ， PN ⊂平面 MPN ，所以平面 BCC 1 B 1∥平面 MPN .
又 MN ⊂平面 MPN ，
所以 MN ∥平面 BCC 1 B 1.
解法二　如图，取 BC 的中点 D ，连接 B 1 D ， DN .
在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中， AB ∥ A 1 B 1， AB ＝ A 1 B 1.
因为 M ， N ， D 分别为 A 1 B 1， AC ， BC 的中点，
所以四边形 B 1 MND 为平行四边形，因此 B 1 D ∥ MN . 又 MN ⊄平面 BCC 1 B 1， B 1 D ⊂平面 BCC 1 B 1，所以 MN ∥平面 BCC 1 B 1.
命题点2　面面平行的判定与性质例3 [全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　B　)
[解析]　对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可 能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对 于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于 D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面 都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确.综上可知选B.
例4 [安徽高考节选]如图，四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，四边形 ABCD 为梯形， AD ∥ BC ，且 AD ＝2 BC . 过 A 1， C ， D 三点的平面记为α， BB 1与α的交点为 Q . 证 明： Q 为 BB 1的中点.
方法技巧证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行( l ⊥α， l ⊥β⇒α∥β).(3)利用平面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).
[解析]　如图，连接 AC ，交 BD 于点 O ，连接 OH ，在△ PBH 中， E ， G 分别为 PB ， PH 的中点，所以 EG ∥ BH ，又 EG ⊄平面 BDH ， BH ⊂平面 BDH ，所以 EG ∥平面 BDH . 同理可得 AG ∥平面 BDH ，因为 AG ， EG ⊂平面 AEG ， AG ∩ EG ＝ G ，所以平面 AEG ∥平面 BDH .
命题点3　平行关系的综合应用
例5 [山东高考节选]在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆 O 的直径， EF 是上底面 圆 O '的直径， FB 是圆台的一条母线.已知 G ， H 分别为 EC ， FB 的中点，求证： GH ∥平面 ABC .
[解析]　如图，连接 CF ，设 CF 的中点为 I ，连接 GI ， HI ，在△ CEF 中，因为 G ， I 分别是 CE ， CF 的中点，所以 GI ∥ EF .
连接 OB ，易知 EF ∥ OB ，
所以 GI ∥ OB .
因为 GI ⊄平面 ABC ， OB ⊂平面 ABC ，所以 GI ∥平面 ABC .
在△ BCF 中，因为 H ， I 分别是 BF ， CF 的中点，
所以 HI ∥ BC .
因为 HI ⊄平面 ABC ， BC ⊂平面 ABC ，所以 HI ∥平面 ABC ，
又 HI ∩ GI ＝ I ， HI ⊂平面 GHI ， GI ⊂平面 GHI ，
所以平面 GHI ∥平面 ABC .
因为 GH ⊂平面 GHI ，所以 GH ∥平面 ABC .
方法技巧平行关系的综合应用
(1)求证： CE ∥平面 PAB .
[解析]　如图，取 AP 的中点 F ，连接 EF ， BF ，
又 BC ∥平面 PAD ， BC ⊂平面 ABCD ，平面 ABCD ∩平面 PAD ＝ AD ，所以 BC ∥ AD ，
所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE ∥ BF .
又 BF ⊂平面 PAB ， CE ⊄平面 PAB ，所以 CE ∥平面 PAB .
[解析]　线段 AD 上存在点 N ，且点 N 为 AD 的中点，使得 MN ∥平面 PAB . 理由如下：如图，取 AD 的中点 N ，连接 CN ， EN ，因为 E ， N 分别为 PD ， AD 的中点，所以 EN ∥ PA . 因为 EN ⊄平面 PAB ， PA ⊂平面 PAB ，所以 EN ∥平面 PAB . 由(1)知， CE ∥平面 PAB ，又 CE ∩ EN ＝ E ， CE ， EN ⊂平面 CEN ，所以平面 CEN ∥平面 PAB . 连接 MN ，则 MN ⊂平面 CEN ，所以 MN ∥平面 PAB . 于是在线段 AD 上存在点 N ，使得 MN ∥平面 PAB .
(2)若 M 是线段 CE 上一动点，则线段 AD 上是否存在点 N ，使得 MN ∥平面 PAB ？请 说明理由.
1. [命题点1]如图，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，点 D ， E 分别为 AC ， B 1 C 1的中 点.求证： DE ∥平面 ABB 1 A 1.
[解析]　解法一　如图，取 BC 的中点 F ，连接 DF ， EF ，
因为 F 是 BC 的中点， D 是 AC 的中点，所以 DF ∥ AB ，
因为 DF ⊄平面 ABB 1 A 1，
所以 DF ∥平面 ABB 1 A 1.
又 E 是 B 1 C 1的中点，所以 EF ∥ B 1 B ，因为 EF ⊄平面 ABB 1 A 1，所以 EF ∥平面 ABB 1 A 1.
因为 DF ∩ EF ＝ F ，所以平面 DEF ∥平面 ABB 1 A 1，
因为 DE ⊂平面 DEF ，所以 DE ∥平面 ABB 1 A 1.
解法二　如图，取 A 1 B 1的中点 F ，连接 EF ， AF ，
因为 D 为 AC 的中点，所以 EF ＝ AD ，
所以四边形 ADEF 为平行四边形，所以 DE ∥ AF .
因为 DE ⊄平面 ABB 1 A 1， AF ⊂平面 ABB 1 A 1，
所以 DE ∥平面 ABB 1 A 1.
2. [命题点1，2]在如图所示的圆柱 O 1 O 中， AB ， CD 分别是圆 O ，圆 O 1的直径， E 为圆 O 上一点， P 为 DE 上一点，且 OP ∥平面 BCE . 求证： DP ＝ PE .
[解析]　如图所示，连接 O 1 P ， O 1 O ，
则易知 OO 1∥ BC ，
因为 BC ⊂平面 BCE ，且 OO 1⊄平面 BCE ，所以 OO 1∥平面 BCE ，
因为 OP ∥平面 BCE ，且 OO 1∩ OP ＝ O ， OO 1， OP ⊂平面 OPO 1，
所以平面 OPO 1∥平面 BCE .
又因为平面 DCE ∩平面 OPO 1＝ O 1 P ，平面 DCE ∩平面 BCE ＝ CE ，所以 O 1 P ∥ CE .
因为 O 1是 CD 的中点，所以 P 是 DE 的中点，即 DP ＝ PE .
3. [命题点2]如图，在三棱锥 P － ABC 中，△ PAB 是正三角形， G 是△ PAB 的重心， D ， E ， H 分别是 PA ， BC ， PC 的中点，点 F 在 BC 上，且 BF ＝3 FC . 证明：平面 DFH ∥平面 PGE .
[解析]　如图，连接 BG ， DG ，由题意可得 BG 与 GD 共线，且 BG ＝2 GD .
∵ E 是 BC 的中点， BF ＝3 FC ，
∴ F 是 CE 的中点.
∵ GE ⊂平面 PGE ， DF ⊄平面 PGE ，∴ DF ∥平面 PGE .
∵ H 是 PC 的中点， F 为 CE 的中点，
∴ FH ∥ PE ，又 PE ⊂平面 PGE ， FH ⊄平面 PGE ，
∴ FH ∥平面 PGE .
∵ DF ∩ FH ＝ F ， DF ⊂平面 DFH ， FH ⊂平面 DFH ，
∴平面 DFH ∥平面 PGE .
(1)证明： EF ∥平面 ACD 1.
[解析]　如图，取 BC 的中点 G ，连接 FG ， EG ， BC 1.
∵ G ， E ， F 分别为 BC ， AB ， CC 1的中点，∴ EG ∥ AC ， FG ∥ BC 1.
由四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1是直四棱柱，得 AD 1∥ BC 1，∴ AD 1∥ GF .
∵ AD 1⊂平面 ACD 1， GF ⊄平面 ACD 1，∴ GF ∥平面 ACD 1.
∵ EG ⊄平面 ACD 1， AC ⊂平面 ACD 1，∴ EG ∥平面 ACD 1.
又 EG ∩ FG ＝ G ， EG ， FG ⊂平面 EFG ，
∴平面 EFG ∥平面 ACD 1.
∵ EF ⊂平面 EFG ，∴ EF ∥平面 ACD 1.
(2)若点 P 为线段 EF 上的动点，求点 P 到平面 ACD 1的距离.
1. [多选/2023贵州省六盘水市第二中学段考]如图，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，已 知点 G ， H 分别在 A 1 B 1， A 1 C 1上，且 GH 经过△ A 1 B 1 C 1的重心，点 E ， F 分别 在 AB ， AC 上，且平面 A 1 EF ∥平面 BCHG ，则下列结论正确的是(　AB　)
2. [多选/2024南昌市模拟]在下列底面是平行四边形的四棱锥中， A ， B ， C ， M ， N 是四棱锥的顶点或棱的中点， 则 MN ∥平面 ABC 的有(　AB　)
[解析]　对于A，B选项：如图1，图2，取 AB 的中点 P ，连接 CP ， PM ，则 MP CN ，∴四边形 MNCP 为平行四边形，∴ MN ∥ CP ，又 MN ⊄平面 ABC ， CP ⊂平面 ABC ，∴ MN ∥平面 ABC . 故A，B正确.
对于C选项：如图3，连接 EM ，由 C ， M 为所在棱的中点知 EM ∥ BC ，易证 EM ∥ 平面 ABC . 假设 MN ∥平面 ABC ，由 EM ∩ MN ＝ M ， EM ， MN ⊂平面 MNE ，可证 平面 MNE ∥平面 ABC ，又 NE ⊂平面 MNE ，∴ NE ∥平面 ABC ，这与 NE ∩平面 ABC ＝ A 矛盾，∴假设不成立，即 MN 与平面 ABC 不平行，故C错误.
对于D选项：如图4，连接 FN ，设 FN ∩ AC ＝ O ，连接 BO . 若 MN ∥平面 ABC ，则 由平面 FMN ∩平面 ABC ＝ BO ，可证得 MN ∥ BO . 由 B 为 FM 的中点知 BO 为△ FNM 的中位线，从而 O 为 FN 的中点，实际上 FN 的中点在底面平行四边形两条对 角线的交点处，该交点显然不是图中的点 O ，故D错误.
3. 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线 a ， b 分别与平面α，β，γ相交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F . 已知 AB ＝2 cm， DE ＝4 cm， EF ＝3 cm，则 AC 的长 为 ⁠cm.
[解析]　②体现的是线面平行的判定定理，缺少的条件是“ l 为平面α外的一条直 线”，即“ l ⊄α”，“ l ⊄α”也适用于①和③，故此条件是 l ⊄α.
5. [2024贵阳市模拟节选]如图，△ ABC 是正三角形，四边形 ABB 1 A 1是矩形，平面 ABB 1 A 1⊥平面 ABC ， CC 1⊥平面 ABC ， AA 1＝2 CC 1.设直线 l 为平面 ABC 与平面 A 1 B 1 C 1的交线，求证： l ∥ AB .
[解析]　∵四边形 ABB 1 A 1是矩形，∴ AB ∥ A 1 B 1，∵ A 1 B 1⊂平面 A 1 B 1 C 1， AB ⊄平面 A 1 B 1 C 1，∴ AB ∥平面 A 1 B 1 C 1，又 AB ⊂平面 ABC ，平面 ABC ∩平面 A 1 B 1 C 1＝ l ，∴ l ∥ AB .
(1)证明： EF ∥平面 PAD .
所以 MF AE ，
所以四边形 AEFM 是平行四边形，
所以 EF ∥ AM ，
又 EF ⊄平面 PAD ， AM ⊂平面 PAD ，
所以 EF ∥平面 PAD .
所以 AE DT ，
所以四边形 AETD 为平行四边形，
所以 TE ∥ AD .
又 AD ⊂平面 PAD ， TE ⊄平面 PAD ，
所以 TE ∥平面 PAD .
所以 FT ∥ PD ，
又 PD ⊂平面 PAD ， FT ⊄平面 PAD ，
所以 FT ∥平面 PAD .
又 FT ∩ ET ＝ T ，所以平面 FTE ∥平面 PDA .
又 EF ⊂平面 FTE ，所以 EF ∥平面 PAD .
因为侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，
平面 PCD ∩平面 ABCD ＝ CD ，
(2)若∠ BAD ＝60°，求三棱锥 B － EFC 的体积.
所以 PO ⊥平面 ABCD .
[解析]　如图，连接 AC ， BD ，记 AC 与 BD 交于点 O ，取 OD 的中点 F ，连接 EF ， CF ， AF .
由 AB ＝ CB ， AD ＝ CD ，得 BD 垂直平分 AC .
所以 DF ＝1， BF ＝2.
因为 PB ⊂平面 PAB ， EF ⊄平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB .
又点 O 为线段 BF 和 AC 的中点，所以四边形 ABCF 是平行四边形，所以 CF ∥ AB .
因为 AB ⊂平面 PAB ， CF ⊄平面 PAB ，所以 CF ∥平面 PAB .
又 EF ∩ CF ＝ F ， EF ， CF ⊂平面 CEF ，所以平面 CEF ∥平面 PAB .
又 CE ⊂平面 CEF ，所以直线 CE ∥平面 PAB .
8. [2024陕西省商洛市部分学校高三阶段性测试]如图，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AC ＝2 BC ＝ CC 1＝2， D ， E ， F 分别是棱 A 1 C 1， BC ， AC 的中点， AB ⊥ BC .
(1)证明：平面 ABD ∥平面 FEC 1.
[解析]　如图所示，连接 BF ， DF .
(2)求点 F 到平面 ABD 的距离.
设点 F 到平面 ABD 的距离为 h ，
又易知 DF ⊥平面 ABC ，
9. 四面体 ABCD 的体积为1， O 为其中心，正四面体 EFGH 与正四面体 ABCD 关于点 O 对称，如图.
(1)证明：平面 GHF ∥平面 BCD .
[解析]　将正四面体 ABCD 及正四面体 EFGH 内嵌至正方体中，如图所示.
∵ DF ∥ BH ， DF ＝ BH ，则四边形 BDFH 为平行四边形，
∴ BD ∥ FH .
又 BD ⊂平面 BCD ， FH ⊄平面 BCD ，∴ FH ∥平面 BCD .
同理可得 GF ∥平面 BCD ，
又 FH ∩ GF ＝ F ， FH ⊂平面 GHF ， GF ⊂平面 GHF ，所以平面 GHF ∥平面 BCD .