备战2025年高考数学精品课件第六章 突破1 平面向量中的综合问题

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角度2　平面向量与三角函数
例2 [多选/2021新高考卷Ⅰ]已知 O 为坐标原点，点 P 1( cs α， sin α)， P 2( cs β，－ sin β)， P 3( cs (α＋β)， sin (α＋β))， A (1，0)，则(　AC　)
角度3　平面向量与解析几何例3 [2023辽宁省实验中学第五次模拟]已知向量 b ， c 和单位向量 a 满足｜ a － b ｜＝ 2｜ b ｜，｜ c － a ｜＋｜ c ＋ a ｜＝4，则 b · c 的最大值为(　C　)
设 b ， c 夹角为θ，则 b · c ＝｜ b ｜｜ c ｜ cs θ，
方法技巧1. 解平面向量与平面几何综合问题的步骤(1)设出向量或将某些向量用其他向量进行表示，将几何问题转化为向量问题；(2)利用向量之间的计算解决几何图形上的长度、夹角等问题.2. 平面向量与三角函数综合问题的解题思路运用向量共线或垂直的坐标表示，向量的有关运算等，得到三角函数的关系式，然 后求解.3. 平面向量与解析几何综合问题的解题思路利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，将条件转化求解.
(2)[多选/2023广东汕头二模]在△ ABC 中，已知 AB ＝2， AC ＝5，∠ BAC ＝60°， BC ， AC 边上的中线 AM ， BN 相交于点 P ，下列结论正确的是(　ABD　)
方法技巧平面向量中有关最值(或范围)问题的两种求解思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或范 围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值或 值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的相关知识 解决.
解法二　由 b 2－4 e · b ＋3＝0得 b 2－4 e · b ＋3 e 2＝( b － e )·( b －3 e )＝0.
3. [命题点2角度3]已知向量 a ， b 满足｜ a ＋ b ｜＝4，｜ a － b ｜＝3，则｜ a ｜＋｜ b ｜的取值范围是(　B　)
[解析]　易知｜ a ｜＋｜ b ｜≥max{｜ a ＋ b ｜，｜ a － b ｜}＝4，因为(｜ a ｜＋｜ b ｜)2＝｜ a ｜2＋｜ b ｜2＋2｜ a ｜｜ b ｜≤2(｜ a ｜2＋｜ b ｜2)＝｜ a ＋ b ｜2＋｜ a － b ｜2＝25，当且仅当｜ a ｜＝｜ b ｜时等号成立，所以｜ a ｜＋｜ b ｜≤5，所以4≤｜ a ｜＋｜ b ｜≤5.
3. [2024河北石家庄二中月考]已知向量 a ， b ， c 共面，且均为单位向量， a · b ＝ 0，则｜ a ＋ b ＋ c ｜的取值范围是(　A　)
∴点 D 是边 BC 上最靠近点 B 的四等分点.
由 a 1＝1，依次计算得到 a 2＝7， a 3＝31， a 4＝4×31＋3＝127.故选D.