备战2025年高考数学精品课件第六章 第1讲 平面向量的概念及线性运算

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1. 平面向量的有关概念
注意　 (1)0是一个向量，0是一个实数，｜0｜＝0.(2)两个向量不能比较大小，只能判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.
2. 平面向量的线性运算
注意　 利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要 有相同的起点.
3. 共线向量定理向量 a ( a ≠0)与 b 共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使⑫ ⁠.注意　 (1)只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.(2)两向量共线包含同向共线 和反向共线两种情况.
1. 下列说法正确的是(　D　)
3. 已知向量 a ， b ，若｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝4，则｜ a － b ｜的取值范围是 ⁠ ⁠.
[解析]　由｜｜ a ｜－｜ b ｜｜≤｜ a － b ｜≤｜ a ｜＋｜ b ｜，得2≤｜ a － b ｜≤6.
4. 已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 a ＋λ b 与－( b －3 a )共线，则λ＝ ⁠ ⁠.
命题点1　平面向量的有关概念例1 (1)下列说法正确的是 (　B　)
训练1 下列说法正确的是(　B　)
[解析]　对于A，相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故A错误；对于C， 若向量 a 与 b 共线，则 a 与 b 的方向相同或相反，但长度不一定相等，故C错误；对 于D， a 与｜ a ｜ a 0 的模相等，但方向不一定相同，故D错误；易知B正确.故选B.
(2)[全国卷Ⅰ]设 a ， b 为单位向量，且｜ a ＋ b ｜＝1，则｜ a － b ｜＝ ⁠.
方法技巧利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识 求解；(2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那 么可考虑利用向量知识来求解.
方法技巧向量的线性运算问题的求解策略(1)利用三角形法则或平行四边形法则求解；(2)利用相等向量、相反向量、共线向量以及三角形中位线等，把未知向量转化为与 已知向量有直接关系的向量进行求解.
方法技巧求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来，进行比较，构造方程 (组)求解.
训练2 (1)[多选]在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB ＝2 CD ， AC 与 BD 相交于点 O ， 则下列结论正确的是(　ABD　)
(2)[全国卷Ⅱ]设向量 a ， b 不平行，向量λ a ＋ b 与 a ＋2 b 平行，则实数λ＝ ⁠.
所以 x ＋3 y 的取值范围是[1，3].
1. [命题点1]设 a ， b 为非零向量，则“ a ∥ b ”是“ a 与 b 方向相同”的(　B　)
[解析]　因为 a ， b 为非零向量，所以当 a ∥ b 时， a 与 b 方向相同或相反，因此“ a ∥ b ”是“ a 与 b 方向相同”的必要不充分条件.
2. [2024河南济源市第六中学月考]设 a ， b 是两个非零向量，则下列说法正确的是 (　C　)
[解析]　｜ a ＋ b ｜＝｜ a ｜－｜ b ｜成立的充要条件是向量 a ， b 方向相反，且｜ a ｜＞｜ b ｜，易知C正确.
4. 已知平面向量 a ， b 满足｜ b ｜＝2，｜2 a － b ｜＝1，则｜ a ｜的取值范围为 (　C　)
7. [2024河南信阳部分学校联考]已知向量 a ＝(6，2)，则与 a 方向相反的单位向量 b 的坐标为 ⁠.