备战2025年高考数学精品课件第五章 突破2 数列中的构造问题

这是一份备战2025年高考数学精品课件第五章 突破2 数列中的构造问题，共35页。PPT课件主要包含了n－1，n＋1，命题拓展，方法技巧，n＋2，ABD，步骤如下，BCD等内容，欢迎下载使用。
命题点1　形如 an ＋1＝ pan ＋ f ( n )( p ≠1)
例1 (1)在数列{ an }中， a 1＝1， an ＋1＝3 an －2 n －1，则 an ＝ ⁠.
(2)设数列{ an }满足 a 1＝3， an ＋1＝3 an －4 n ，则 an ＝ ⁠.
[解析]　由已知可得 an ＋1－(2 n ＋3)＝3[ an －(2 n ＋1)]， an －(2 n ＋1)＝3[ an －1－(2 n －1)]，…， a 2－5＝3( a 1－3).因为 a 1＝3，所以 an ＝2 n ＋1.
[变条件]若例1(2)中的 a 1＝4，则 an ＝ ⁠.
[解析]　设 an ＋1＋ x ( n ＋1)＋ y ＝3( an ＋ xn ＋ y )，则展开利用对应项系数相等可得 出 x ＝－2， y ＝－1，所以{ an －2 n －1}是以 a 1－2－1＝1为首项，3为公比的等比 数列，所以 an －2 n －1＝3 n －1，所以 an ＝3 n －1＋2 n ＋1.
3 n －1＋2 n ＋1　
形如 an ＋1＝ pan ＋ f ( n )( p ≠1)的递推式，一般采用构造法求通项：
(1)若 f ( n )为非零常数，则一般凑配成 an ＋1＋ x ＝ p ( an ＋ x )的形式(利用待定系数法 求 x )，构造等比数列；
(2)若 f ( n )为关于 n 的一次函数，则一般凑配成 an ＋1＋ x ( n ＋1)＋ y ＝ p ( an ＋ xn ＋ y ) 的形式(利用待定系数法求 x ， y )，构造等比数列；
(3)若 f ( n )为指数幂(如 qn )的形式，则一般两边同时除以 pn ＋1或 qn ＋1，再利用累加法 或构造法求通项.
训练1 在数列{ an }中， a 1＝5， an ＋1＝3 an －4，则 an ＝ ⁠.
[解析]　由 an ＋1＝3 an －4，可得 an ＋1－2＝3( an －2)，又 a 1＝5，所以{ an －2}是以 a 1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以 an －2＝3 n ，所以 an ＝3 n ＋2.
命题点3　形如 an ＋1＝ pan ＋ qan －1( n ≥2)
例3 已知数列{ an }满足 an ＋1＝5 an －6 an －1( n ≥2)，且 a 1＝1， a 2＝4，则数列{ an } 的通项公式为 ⁠.
an ＝2×3 n －1－2 n －1　
形如 an ＋1＝ pan ＋ qan －1( n ≥2)的递推式，一般采用构造法求通项，将原式变形为 an ＋1＋λ an ＝μ( an ＋λ an －1)( n ≥2)，由待定系数法求出λ，μ，再依据相邻两项的递推 关系求通项.
训练3 已知数列{ an }满足 a 1＝1， a 2＝2，且对任意 n ∈N*，都有 an ＋2＝3 an ＋1－2 an .则{ an }的通项公式为 ⁠.
an ＝2 n －1　
思维帮·提升思维　快速解题
用“不动点法”求数列的通项公式
利用不动点法求数列通项的步骤
对于一个函数 f ( x )，我们把满足 f ( m )＝ m 的值 m 称为函数 f ( x )的“不动点”.利用 “不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式.
iii.解方程得出 an .
3. [2024河南焦作统考]已知数列{ an }满足 an ＋1＝3 an ＋2， a 3＋ a 2＝22，则满足 an ＞160的最小正整数 n ＝ ⁠.
4. [2023合肥六中三模]已知在数列{ an }中， a 1＝5， a 2＝2， an ＝2 an －1＋3 an －2( n ≥3)，则数列{ an }的通项公式为 ⁠.
[解析]　∵ an ＝2 an －1＋3 an －2( n ≥3)，∴ an ＋ an －1＝3( an －1＋ an －2)( n ≥3)，又 a 1 ＋ a 2＝7，∴{ an ＋1＋ an }是首项为7，公比为3的等比数列，则 an ＋1＋ an ＝7×3 n －1
7. [2024名师原创]设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，满足2 Sn ＝ an ＋1－2 n ＋1＋1( n ∈N*)，且 a 1， a 2＋5， a 3成等差数列.
(1)求 a 1的值；
[解析]　(1)2 Sn ＝ an ＋1－2 n ＋1＋1，令 n ＝2得2 S 2＝ a 3－23＋1，即2 a 1＋2 a 2＝ a 3－7　①.因为 a 1， a 2＋5， a 3成等差数列，所以2( a 2＋5)＝ a 1＋ a 3，即 a 3＝2( a 2＋5)－ a 1　 ②，将②代入①可得2 a 1＋2 a 2＝2( a 2＋5)－ a 1－7，解得 a 1＝1，故 a 1的值为1.
(2)求数列{ an }的通项公式.
8. [2024浙江宁波模拟]已知数列{ an }满足 a 1＝1，且对任意正整数 m ， n 都有 am ＋ n ＝ an ＋ am ＋2 mn .
(1)求数列{ an }的通项公式；