备战2025年高考数学精品课件第三章 第3讲 导数与函数的极值、最值

这是一份备战2025年高考数学精品课件第三章 第3讲 导数与函数的极值、最值，共60页。PPT课件主要包含了函数的极值，fx0，极小值点，极值点，易错警示，BCD，答案不唯，方法技巧，－11，－6－2等内容，欢迎下载使用。
极小值点和极大值点统称为⑤ ，极小值和极大值统称为⑥ ⁠.
(1)极值点不是点，若函数 f ( x )在 x ＝ x 1时取得极大值，则 x 1为极大值点，极大值为 f ( x 1).
(2)极大值与极小值的大小没有必然关系，极小值可能比极大值大.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如， f ( x )＝ x 3， f '(0)＝0，但 x ＝0不是 极值点.
2. 函数的最大(小)值如果在区间[ a ， b ]上函数 y ＝ f ( x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大 值和最小值.
辨析比较函数极值与最值的区别与联系
1. [易错题]下列说法正确的是(　C　)
[解析]　对于A，由极大值与极小值的概念可知，函数的极大值不一定比极小值大； 对于B，函数在某区间上或定义域内如果有最大值，则最大值是唯一的，但极大值 不一定；对于C，由极大值与最大值的概念可知C正确；对于D，在函数的极值点处 f '( x 0)＝0，但是使 f '( x 0)＝0成立的 x 0未必是极值点，如当 x 0为定义域的左右端点时 f '( x 0)可以等于0，但此时 x 0不是极值点.
2. 设函数 f ( x )的定义域为R， x 0( x 0≠0)是 f ( x )的极大值点，则下列结论一定正确的 是(　D　)
[解析]　极值是函数的一种局部性质，因此不能确定在整个定义域上 f ( x 0)是否最 大，故A错误；因为函数 f ( x )与 y ＝ f (－ x )的图象关于 y 轴对称，所以－ x 0是 y ＝ f (－ x )的极大值点，故B错误；因为函数 f ( x )与 y ＝－ f ( x )的图象关于 x 轴对称，所 以 x 0是 y ＝－ f ( x )的极小值点，而－ x 0是否为 y ＝－ f ( x )的极小值点不确定，故C错 误；因为函数 f ( x )与 y ＝－ f (－ x )的图象关于原点对称，所以－ x 0是 y ＝－ f (－ x ) 的极小值点，选项D正确.
3. [2024辽宁省部分学校联考]函数 f ( x )＝(－2 x ＋4)e x 在区间[1，＋∞)上的最大值 为 ⁠.
[解析]　 f '( x )＝(－2 x ＋2)e x ，当 x ∈[1，＋∞)时， f '( x )≤0， f ( x )单调递减，所以 f ( x )max＝ f (1)＝2e.
4. 若函数 f ( x )＝ x 3－ ax 2＋2 x －1有极值，则实数 a 的取值范围是 ⁠ ⁠.
命题点1　导函数图象的应用例1 (1)[浙江高考]函数 y ＝ f ( x )的导函数 y ＝ f '( x )的图象如图所示，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象可能是(　D　)
[解析]　根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符号相反，因此函数 f ( x )在这些零点处取得极值，根据 f ( x )有两个极小值和一个极大值可排除A，C；记导函数 f '( x )的零点从左到右分别为 x 1， x 2， x 3，又在(－∞， x 1)上 f '( x )＜0，在( x 1， x 2)上 f '( x )＞0，所以函数 f ( x )在(－∞， x 1)上单调递减，在( x 1， x 2)上单调递增，由 x 2＞0排除B. 故选D.
(2)[多选/2024陕西省汉中市联考]设 f '( x )是函数 f ( x )的导函数， y ＝ f '( x )的图象如图 所示，则下列说法正确的是(　BC　)
[解析]　易知函数 f ( x )在(－∞，0)，(1，2)上单调递减，在(0，1)，(2，＋∞)上单调 递增，所以函数 f ( x )一定有三个极值点0，1，2，B正确；函数 f ( x )有最小值，为 f (0)， f (2)中的较小者，C正确；函数 f ( x )的图象可能都在 x 轴上方，其零点个数可能 是0，A错误；函数 f ( x )的图象不一定过原点，D错误.故选BC.
方法技巧根据函数图象判断极值的方法(1)由 y ＝ f '( x )的图象与 x 轴的交点，可得函数 y ＝ f ( x )的可能极值点.(2)由 y ＝ f '( x )的图象可以看出 y ＝ f '( x )的值的正负，从而可得函数 y ＝ f ( x )的单调 性，进而求得极值(点).注意　 要看清楚所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.
训练1 [多选]已知函数 y ＝ f ( x )的导函数 y ＝ f '( x )的图象如图所示，则下列结论正确 的是(　AB　)
[解析]　由 f '( x )的图象可知，当 x ∈(－∞， c )∪( e ，＋∞)时， f '( x )＞0； 当 x ∈( c ， e )时， f '( x )＜0.所以 f ( x )在(－∞， c )，( e ，＋∞)上单调递 增，在( c ， e )上单调递减.对于A，因为 a ＜ b ＜ c ，所以 f ( a )＜ f ( b )＜ f ( c )，A正确；对于B，因为 c ＜ d ＜ e ，所以 f ( e )＜ f ( d )＜ f ( c )，B正确； 对于C，由单调性知 f ( c )为极大值，当 x ＞ e 时，可能存在 f ( x 0)＞ f ( c )，C 错误；对于D，由单调性知 f ( e )＜ f ( d )，D错误.
命题点2　利用导数研究函数的极值角度1　求函数的极值例2 [全国卷Ⅱ]若 x ＝－2是函数 f ( x )＝( x 2＋ ax －1)e x －1的极值点，则 f ( x )的极小值 为(　A　)
[解析]　因为 f ( x )＝( x 2＋ ax －1)e x －1，所以 f '( x )＝(2 x ＋ a )e x －1＋( x 2＋ ax －1)e x －1＝[ x 2＋( a ＋2) x ＋ a －1]e x －1.因为 x ＝－2是函数 f ( x )＝( x 2＋ ax －1)e x －1的极值点，所以－2是 x 2＋( a ＋2) x ＋ a －1＝0的根，将 x ＝－2代入解得 a ＝－1，所以 f ( x )＝( x 2＋ x －2)e x －1＝( x ＋2)( x －1)e x －1.令 f '( x )＞0，解得 x ＜－2或 x ＞1，令 f '( x )＜0，解得－2＜ x ＜1，所以 f ( x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当 x ＝1时， f ( x )取得极小值，且 f ( x )极小值＝ f (1)＝－1，故选A.
方法技巧求可导函数 f ( x )的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数 f '( x )；(2)求方程 f '( x )＝0的根；(3)判断 f '( x )在方程 f '( x )＝0的根附近的左右两侧的符号；(4)求出极值.
(2)[开放题/2023北京市第五十五中学4月调研]已知函数 f ( x )＝( x － a )( x －3)2( a ∈R)，当 x ＝3时， f ( x )有极大值.写出符合上述要求的一个 a 的值： ⁠ ⁠.
4(答案不唯
一，满足 a ＞3即可)　
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
注意　 若函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， b )上存在极值点，则 y ＝ f ( x )在( a ， b )上不是单 调函数，即函数 y ＝ f '( x )在区间( a ， b )内存在变号零点.
(2)已知函数 f ( x )＝ x 3＋ ax 2＋ bx ＋ a 2在 x ＝1处有极值10，则 a ＝ ， b ＝ ⁠ ⁠.
命题点3　利用导数研究函数的最值角度1　求函数的最值例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cs x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最 大值分别为(　D　)
方法技巧求函数 f ( x )在[ a ， b ]上的最值的方法(1)若函数 f ( x )在区间[ a ， b ]上单调递增(递减)，则 f ( a )为最小(大)值， f ( b )为最大 (小)值；(2)若函数 f ( x )在区间( a ， b )内有极值，则要先求出函数在( a ， b )内的极值，再与 f ( a )， f ( b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数 f ( x )在区间( a ， b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论 在导数的实际应用中经常用到.
角度2　已知函数的最值求参数例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .(1)讨论 f ( x )的单调性.
(2)是否存在 a ， b ，使得 f ( x )在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存 在，求出 a ， b 的所有值；若不存在，说明理由.
训练3 (1)[2021新高考卷Ⅰ]函数 f ( x )＝｜2 x －1｜－2ln x 的最小值为 ⁠.
[解析]　函数 f ( x )＝｜2 x －1｜－2ln x 的定义域为(0，＋∞).
1. [命题点2/多选/2022新高考卷Ⅰ]已知函数 f ( x )＝ x 3－ x ＋1，则(　AC　)
2. [命题点2/2021全国卷乙]设 a ≠0，若 x ＝ a 为函数 f ( x )＝ a ( x － a )2( x － b )的极大 值点，则(　D　)
(1)当 a ＞0时，
(2)当 a ＜0时，
综上， a ＞0且 b ＞ a 满足题意， a ＜0且 b ＜ a 也满足题意.据此，可知必有 ab ＞ a 2 成立.故选D. (解题技巧：分类讨论之后，需要及时整合，有利于进一步分析、求解)
解法二(特值排除法)　当 a ＝1， b ＝2时，函数 f ( x )＝( x －1)2( x －2)，画出该函数 的图象如图1所示，可知 x ＝1为函数 f ( x )的极大值点，满足题意.从而，根据 a ＝1， b ＝2可判断选项B，C错误.当 a ＝－1， b ＝－2时，函数 f ( x )＝－( x ＋1)2( x ＋2)， 画出该函数的图象如图2所示，可知 x ＝－1为函数 f ( x )的极大值点，满足题意.从 而，根据 a ＝－1， b ＝－2可判断选项A错误.综上，选D.
图1　　　　　　　图2
解法三(数形结合法)　当 a ＞0时，根据题意画出函数 f ( x )的大致图象，如图3所 示，观察可知 b ＞ a .
当 a ＜0时，根据题意画出函数 f ( x )的大致图象，如图4所示，观察可知 a ＞ b .
综上，可知必有 ab ＞ a 2成立.故选D.
图3　　　　　　　图4
3. [命题点2角度2/2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a ＞0且 a ≠1)的极小值点和极大值点.若 x 1＜ x 2，则 a 的取值范围是 ⁠.
[解析]　由题意，f'( x )＝2 ax ln a －2e x ，根据 f ( x )有极小值点 x ＝ x 1和极大值点 x ＝ x 2可知， x ＝ x 1， x ＝ x 2为f'( x )＝0的两个不同的根，又 x 1＜ x 2，所以易知当 x ∈(－∞， x 1)，( x 2，＋∞)时，f'( x )＜0；当 x ∈( x 1， x 2)时，f'( x )＞0.由f'( x )＝0可得 ax ln a ＝e x .
解法二　若 a ＞1，则当 x →＋∞时，f'( x )→＋∞，不符合题意，舍去.
若0＜ a ＜1，令 g ( x )＝ ax ln a ， h ( x )＝e x ，
在同一平面直角坐标系中作出函数 g ( x )和 h ( x )的大致图象，如图所示.
因为f'( x )＝0有两个不同的根，所以 g ( x )与 h ( x )的图象需要有两个交点，
则过原点且与 g ( x )的图象相切的直线 l 的斜率 k ＜e.
4. [命题点3角度1/江苏高考]若函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋1( a ∈R)在(0，＋∞)内有且只 有一个零点，则 f ( x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为 ⁠.
2. 已知函数 f ( x )＝2ln x ＋ ax 2－3 x 在 x ＝2处取得极小值，则 f ( x )的极大值为(　B　)
4. 若函数 f ( x )＝ x 2－( a ＋2) x ＋ a ln x 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围 是(　B　)
5. [多选]函数 y ＝ f ( x )的导函数 f '( x )的图象如图所示，则以下命题错误的是 (　BD　)
[解析]　根据导函数的图象可知当 x ∈(－∞，－3)时， f '( x )＜0，当 x ∈(－3，＋∞) 时， f '( x )≥0，所以函数 y ＝ f ( x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调 递增，则 x ＝－3是函数 y ＝ f ( x )的极值点.因为函数 y ＝ f ( x )在(－3，＋∞)上单调递 增，所以 x ＝－1不是函数 y ＝ f ( x )的最小值点.因为函数 y ＝ f ( x )在 x ＝0处的导数大 于0，所以曲线 y ＝ f ( x )在 x ＝0处切线的斜率大于零.故选BD.
6. [2024河南省商丘市部分学校联考]若函数 f ( x )＝ x 3－12 x 在区间( a ， a ＋4)上存在 最大值，则实数 a 的取值范围是 ⁠.
(1)若 a ＝0，则 f '(1)＝－4， f (1)＝1，则曲线 y ＝ f ( x )在点(1， f (1))处的切线方程为 y －1＝－4( x －1)，即4 x ＋ y －5＝0.
(2)若函数 f ( x )在 x ＝－1处取得极值，求 f ( x )的单调区间，以及最大值和最小值.
所以 x ＝2为极小值点，极小值为0.
对A，当 x ∈[－2，0]时，由图象可知， f ( x )∈[0，1]，故A满足条件；
对C，当 x ∈[0，2]时，由图象可知， f ( x )∈[0，1]，故C满足条件；
对D，当 x ∈[－1，2]时，由图象可知， f ( x )∈[0，1]，故D满足条件.
11. [多选]已知定义在[ a ， b ]上的函数 y ＝ f ( x )的导函数 y ＝ f '( x )的图象如图所示， 则下列命题中正确的是(　BD　)
对于D，由题图知，在区间[ x 2， x 3]上， f '( x )≥0，且 f '( x )单调递减，故 y ＝ f ( x )单 调递增，故 f '( p )＞ f '( q )， f ( p )＜ f ( q )，故[ f ( p )－ f ( q )]·[ f '( p )－ f '( q )]＜0，故D正 确.故选BD.
12. [多选/2024福州市一检]已知函数 f ( x )＝ x 3－3 ax ＋2有两个极值点，则(　ACD　)
(2)函数 f ( x )的图象与 x 轴负半轴的交点为 P ，且在点 P 处的切线方程为 y ＝ h ( x )， 函数 F ( x )＝ f ( x )－ h ( x )， x ∈R，求 F ( x )的最小值.