备战2025年高考数学精品课件第三章 第2讲 导数与函数的单调性

这是一份备战2025年高考数学精品课件第三章 第2讲 导数与函数的单调性，共60页。PPT课件主要包含了fx＜0，fx＝0，定义域，4＋∞，方法技巧，泰勒公式，－2ln2等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的单调性与导数的关系
思维拓展用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系(1) f '( x )＞0(＜0)是 f ( x )在区间( a ， b )内单调递增(减)的充分不必要条件.(2) f '( x )≥0(≤0)是 f ( x )在区间( a ， b )内单调递增(减)的必要不充分条件.(3)若 f '( x )在区间( a ， b )的任意子区间内都不恒等于零，则 f '( x )≥0(≤0)是 f ( x )在 区间( a ， b )内单调递增(减)的充要条件.
2. 利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的④ ⁠；第2步，求出导数 f '( x )的⑤ ⁠；第3步，用 f '( x )的零点将 f ( x )的定义域划分为若干个区间，列表给出 f '( x )在各区间 上的正负，由此得出函数 y ＝ f ( x )在定义域内的单调性.
1. [2024陕西汉中模拟]函数 f ( x )＝ x 2－5ln x －3 x －1的单调递减区间为(　D　)
2. 已知导函数 y ＝ f '( x )的图象如图所示，则函数 y ＝ f ( x )的图象可能是(　B　)
[解析]　解法一　由 y ＝ f '( x )的图象自左到右先上升后下降，可知函数 y ＝ f ( x )图象 的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确.
解法二　由于 f '( x )＞0(－1≤ x ≤1)恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可 知， f ( x )在[－1，1]上单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足.由于 x ＞0时，随着 x 的变大 f '( x )越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越 “平缓”；当 x ＜0时，随着 x 的变大 f '( x )越来越大，故函数值增加得越来越快，图 象越来越“陡峭”，可以判断B正确.
3. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋ cs x －2 x ， a ＝ f (－π)， b ＝ f (20)， c ＝ f (ln 2)，则 a ， b ， c 的大小关系是(　A　)
4. [多选]下列说法正确的是(　BC　)
命题点1　不含参函数的单调性例1 (1)[2024重庆南开中学模拟]已知函数 f ( x )＝ x sin x ＋ cs x ， x ∈[0，2π]，则 f( x )的单调递减区间是(　B　)
方法技巧利用导数求函数单调区间的思路：解不等式 f '( x )＞0或 f '( x )＜0求出单调区间.若导 函数对应的不等式不可解，则令导函数为新函数，借助新函数的导数求解.注意　 (1)求函数的单调区间，要在函数的定义域内进行；(2)一个函数的同一种单 调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
训练1 已知函数 f ( x )＝(2＋ x )ln(1＋ x )－2 x ，讨论函数 f ( x )的单调性.
方法技巧求解含参函数的单调性的技巧一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，主要是：(1)讨论 f '( x )＝0是否 有根；(2)讨论 f '( x )＝0的根是否在定义域内；(3)讨论根的大小关系.注意　 若导函数是二次函数的形式，一般还要讨论二次项系数的正负及是否为0， 判别式Δ的正负等.
训练2 [2021全国卷乙节选]已知函数 f ( x )＝ x 3－ x 2＋ ax ＋1，讨论 f ( x )的单调性.
[解析]　由题意知 f ( x )的定义域为R， f '( x )＝3 x 2－2 x ＋ a ，令 f '( x )＝0，则Δ＝(－2)2－4×3 a ＝4(1－3 a ).
命题点3　函数单调性的应用角度1　已知函数的单调性求参数例3 (1)[2023新高考卷Ⅱ]已知函数 f ( x )＝ a e x －ln x 在区间(1，2)单调递增，则 a 的最 小值为(　C　)
方法技巧已知函数的单调性求参数的解题技巧(1)若可导函数 f ( x )在区间 D 上单调递增(或递减)，则 f '( x )≥0(或 f '( x )≤0)对 x ∈ D 恒成立问题.注意　 “＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.(2)若可导函数 f ( x )在某一区间上存在单调区间，则 f '( x )＞0(或 f '( x )＜0)在该区间上 存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.(3)若 f ( x )在区间 D 上不单调，则函数 f '( x )在区间 D 上存在变号零点.也可先求出 f ( x )在区间 D 上单调时参数的取值范围，然后运用补集思想得解.(4)若已知 f ( x )在区间 I (含参数)上的单调性，则先求出 f ( x )的单调区间，然后令 I 是 其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.
(2)[2023福建省龙岩市质检]已知函数 f ( x )＝ sin x － x cs x ，若 a ＝ f (lg2e)， b ＝ f(ln 3)， c ＝ f ( sin e)，则 a ， b ， c 的大小关系为(　B　)
方法技巧利用函数的单调性比较大小或解不等式的思路：利用导数判断已知或构造的函数的 单调性，由单调性比较大小或解不等式.
(2)[2024安徽模拟]设函数 f ( x )＝ sin ( x －1)＋e x －1－e1－ x － x ＋4，则满足 f ( x )＋ f (3 －2 x )＜6的 x 的取值范围是(　B　)
思维帮·提升思维　快速解题
[解析]　解法一(泰勒公式)　 a ＝0.1e0.1≈0.1(1＋0.1＋0.005)＝0.110 5， b ≈0.111…， c ＝－ln[1＋(－0.1)]≈－(－0.1－0.005－0.000 3)＝0.105 3，所以 c ＜ a ＜ b .
若函数 f ( x )在含有 x 0的开区间( a ， b )内有 n ＋1阶导数，则当函数在此区间内时， 可以展开为一个关于 x － x 0的多项式和一个余项的和：
2. 常见的泰勒展开式
在泰勒公式中，令 x 0＝0，即可得到如下泰勒展开式：
1. [命题点1/多选/2024山东省青岛市检测]若函数 g ( x )＝e xf ( x )在 f ( x )的定义域上单 调递增，则称函数 f ( x )具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的为(　BC　)
4. [命题点3角度3/2023广州二模]已知偶函数 f ( x )与其导函数 f '( x )的定义域均为R， 且 f '( x )＋e－ x ＋ x 也是偶函数，若 f (2 a －1)＜ f ( a ＋1)，则实数 a 的取值范围是 (　B　)
[解析]　因为 f ( x )为偶函数，所以 f ( x )＝ f (－ x )，等式两边求导可得 f '( x )＝－ f '(－ x )　①，(易错：对等式 f ( x )＝ f (－ x )两边同时求导的时候，要注意等式右边是一个复合函数，不要把负号漏掉了)
因为函数 f '( x )＋e－ x ＋ x 为偶函数，所以 f '( x )＋e－ x ＋ x ＝ f '(－ x )＋e x － x 　②，
1. 函数 f ( x )＝－ln x ＋ x 的单调递增区间是(　C　)
[解析]　解法一　f'( x )＝ x 2－ ax ＋ a －1，由f'( x )＝0得 x ＝1或 x ＝ a －1.当 a －1≤1，即 a ≤2时，对于任意的 x ∈[1，＋∞)，f'( x )≥0，即函数 f ( x )在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当 a －1＞1，即 a ＞2时，函数 f ( x )在(－∞，1]和[ a －1，＋∞)上单调递增，在[1， a －1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1， a －1]且[6，＋∞)⊆[ a －1，＋∞)，从而4≤ a －1≤6，故5≤ a ≤7.综上，实数 a 的取值范围为[5，7].
解法二　f'( x )＝ x 2－ ax ＋ a －1，依题意，得f'( x )≤0在[1，4]上恒成立，且f'( x )≥0 在[6，＋∞)上恒成立，由f'( x )＝0得 x ＝1或 x ＝ a －1，故4≤ a －1≤6，即5≤ a ≤7. 故所求实数 a 的取值范围为[5，7].
3. 若函数 f ( x )＝3 x ＋( a －2)ln x 在定义域上不单调，则实数 a 的取值范围是(　D　)
4. [2024湖南模拟]已知实数 a ， b ， c ∈(0，1)，e为自然对数的底数，且 a e2＝2e a ， b e3＝3e b ，2 c ＝e c ln 2，则(　A　)
5. [2023山东泰安二模]已知奇函数 f ( x )在R上单调递减， g ( x )＝ xf ( x )，若 a ＝ g (－lg25.1)， b ＝ g (3)， c ＝ g (20.8)，则 a ， b ， c 的大小关系为(　D　)
[解析]　因为 f ( x )为奇函数且在R上单调递减，所以 f (－ x )＝－ f ( x )，且当 x ＞0 时， f ( x )＜0.因为 g ( x )＝ xf ( x )，所以 g (－ x )＝－ xf (－ x )＝ xf ( x )＝ g ( x )，故 g ( x ) 为偶函数.g'( x )＝ f ( x )＋ xf '( x )，当 x ＞0时，因为 f ( x )＜0， f '( x )≤0，所以g'( x )＜ 0，所以 g ( x )在(0，＋∞)上单调递减. a ＝ g (－lg25.1)＝ g (lg25.1)，因为3＝lg28＞ lg25.1＞lg24＝2＞20.8＞0，所以 g (3)＜ g (lg25.1)＜ g (20.8)，即 b ＜ a ＜ c .故选D.
7. [多选]已知函数 f ( x )＝ x 3＋ ax 2＋ bx ＋ c 在R上单调递增， f '( x )为其导函数，则下 列结论正确的是(　AC　)
[解析]　因为函数 f ( x )＝ x 3＋ ax 2＋ bx ＋ c ，所以f'( x )＝3 x 2＋2 ax ＋ b .因为函数 f ( x )在R上单调递增，所以f'( x )≥0对于任意的 x ∈R恒成立，所以f'(1)≥0恒成立，但 f (1)的大小未知.对于方程3 x 2＋2 ax ＋ b ＝0，Δ＝4 a 2－12 b ≤0，即 a 2－3 b ≤0.所以 正确的是AC.
8. [2024武汉模拟]若函数 f ( x )＝(2 x ＋1)ln x － ax 是(0，＋∞)上的增函数，则实数 a 的最大值为 ⁠.
若选条件②，则 f '(0)＝(1－2)×(1－ a )＝0，所以 a ＝1.若选条件③，则依题意得0和ln 2是关于 x 的方程(e x －2)(e x － a )＝0的两个根，所以 a ＝e0＝1.
[解析]　(1) f '( x )＝e2 x －( a ＋2)e x ＋2 a ＝(e x －2)(e x － a ).
若选条件①，则 f '(ln 3)＝(3－2)×(3－ a )＝2，所以 a ＝1.
[解析]　(2) f '( x )＝(e x －2)(e x － a ).分以下几种情况讨论：①当 a ≤0时，令 f '( x )＞0，则 x ＞ln 2，令 f '( x )＜0，则 x ＜ln 2，所以 f ( x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增.②当0＜ a ＜2时，令 f '( x )＞0，则 x ＞ln 2或 x ＜ln a ，令 f '( x )＜0，则ln a ＜ x ＜ln 2，所以 f ( x )在(－∞，ln a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(ln a ，ln 2)上单调递 减.③当 a ＝2时， f '( x )＝(e x －2)2≥0，所以 f ( x )在R上单调递增.
(2)若 a ∈R，讨论函数 f ( x )的单调性.
④当 a ＞2时，令 f '( x )＞0，则 x ＞ln a 或 x ＜ln 2，令 f '( x )＜0，则ln 2＜ x ＜ln a ，所以 f ( x )在(－∞，ln 2)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，ln a )上单调递 减.综上所述：当 a ≤0时， f ( x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单 调递增；当0＜ a ＜2时， f ( x )在(－∞，ln a )，(ln 2，＋∞)上单调递增，在 (ln a ，ln 2)上单调递减；当 a ＝2时， f ( x )在R上单调递增；当 a ＞2时， f( x )在(－∞，ln 2)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(ln 2，ln a )上单调递减.
f (1＋ a )＋ f (1－ a 2)＞2转化为 f (1＋ a )－1＋ f (1－ a 2)－1＞0，即 F (1＋ a )＋ F (1－ a 2)＞0， 所以 F (1＋ a )＞－ F (1－ a 2)＝ F ( a 2－1)，所以1＋ a ＞ a 2－1，即 a 2－ a －2＜0，解得－1＜ a ＜2，即实数 a 的取值范围是(－1，2).故选C.
因为当 a ＜ b ＜ c 时，满足 f ( a )＝ f ( b )＝ f ( c )，所以由图可知 a ＋ b ＝－4，0＜ c ＜1，所以 af ( a )＋ bf ( b )＋ cf ( c )＝( a ＋ b ＋ c ) f ( c )＝( c －4) f ( c )＝( c －4) c 3＝ c 4－4 c 3.
令 g ( c )＝ c 4－4 c 3，则当0＜ c ＜1时，g'( c )＝4 c 3－12 c 2＝4 c 2( c －3)＜0，所以 g ( c )在(0，1)上单调递减，所以当0＜ c ＜1时， g (1)＜ g ( c )＜ g (0)，即当0＜ c ＜1时，－3＜ g ( c )＜0，所以 af ( a )＋ bf ( b )＋ cf ( c )的取值范围是(－3，0)，故选D.
13. [多选/2024湖北武汉模拟]已知实数 a ， b 满足 a e a ＝ b ln b ＝3，则(　AD　)
[解析]　因为 a e a ＝3，所以 a ＞0.令 f ( x )＝ x e x ， x ＞0，则 f '( x )＝e x ( x ＋1)＞0在 (0，＋∞)上恒成立，所以 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增. a e a ＝3，即 f ( a )＝3，又 f (1) ＝e＜3， f (2)＝2e2＞3，所以1＜ a ＜2.因为 b ln b ＝3，所以 b ＞1.令 F ( x )＝ x ln x ( x ＞1)，则F'( x )＝ln x ＋1＞0，所以 F ( x )在(1，＋∞)上单调递增，又 F (e)＝e＜3， F (3)＝3ln 3＞3，所以e＜ b ＜3.对A，因为 a e a ＝ b ln b ＝ln b ·eln b ，所以 f ( a )＝ f (ln b )，因为 a ＞0，ln b ＞0，且 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，所以 a ＝ln b ，选项A正确.对B，因为 b ln b ＝3， a ＝ln b ，所以 ab ＝3，选项B错误.
14. [全国卷Ⅱ]已知函数 f ( x )＝2ln x ＋1.(1)若 f ( x )≤2 x ＋ c ，求 c 的取值范围；
(1)当0＜ x ＜1时，h'( x )＞0；当 x ＞1时，h'( x )＜0.所以 h ( x )在区间(0，1)上单调递 增，在区间(1，＋∞)上单调递减.从而当 x ＝1时， h ( x )取得最大值，最大值为 h (1) ＝－1－ c .故当且仅当－1－ c ≤0，即 c ≥－1时， f ( x )≤2 x ＋ c .所以 c 的取值范围为[－1，＋∞).
(2)若函数 f ( x )在(0，＋∞)单调递增，求 a 的取值范围.