备战2025年高考数学精品课件第三章 第1讲 导数的概念及其意义、导数的运算

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1. 导数的概念及其几何意义
(2)函数 f ( x )的导函数：当 x 变化时， y ＝ f '( x )就是 x 的函数，我们称它为 y ＝ f ( x )的导函数(简称导数). y ＝ f ( x )的导函数有时也记作y'，即 f '( x )＝y'＝② ⁠.
函数 y ＝ f ( x )的导数 f '( x )反映了函数 f ( x )的变化趋势，其大小｜ f '( x )｜反映了变化 的快慢，在某一范围内｜ f '( x )｜越大，函数在相应范围内变化得越快，函数的图象 越“陡峭”(向上或向下).
f '( x )与 f '( x 0)，[ f ( x 0)]'的区别与联系： f '( x )是一个函数， f '( x 0)是函数 f '( x )在 x ＝ x 0时的函数值(常数)，不一定为0，[ f ( x 0)]'是函数值 f ( x 0)的导数，且[ f ( x 0)]'＝0.
(3)导数的几何意义： f '( x 0)的几何意义就是曲线 y ＝ f ( x )在点 P ( x 0， f ( x 0))处的切线的斜率 k ，即 k ＝③ ，相应的切线方程为④ ⁠ ⁠.
函数 y ＝ f ( x )在某点处的导数、曲线 y ＝ f ( x )在该点处切线的斜率和倾斜角，这三 者之间是可以相互转化的.
y － f ( x 0)＝ f '( x 0)( x － x0)　
2. 导数的运算(1)基本初等函数的导数公式
f '( x )±g'( x )　
f '( x ) g ( x )＋ f ( x )g'( x )　
复合函数 y ＝ f ( g ( x ))的导数和函数 y ＝ f ( u )， u ＝ g ( x )的导数间的关系为y' x ＝ ⑫ ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
注意　(1)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.
(2)对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量， 其导数为零.
y' u ·u' x 　
1. 下列说法正确的是(　C　)
[解析]　对于A， f '( x 0)是函数 y ＝ f ( x )在 x ＝ x 0处的瞬时变化率；对于B， f '( x )是一 个函数，而 f '( x 0)( x 0为常数)是函数 f '( x )在 x ＝ x 0时的函数值；对于C，例如曲线 y ＝ cs x 在点(0，1)处的切线与曲线 y ＝ cs x 有无数个公共点；对于D，奇函数的导 数是偶函数.故C正确.
2. [教材改编]下列式子不正确的是(　C　)
[解析]　由导数公式和运算法则可知A，B，D正确.(2 sin 2 x )'＝4 cs 2 x ≠2 cs 2 x ，故C不正确.
3. [全国卷Ⅰ]函数 f ( x )＝ x 4－2 x 3的图象在点(1， f (1))处的切线方程为(　B　)
[解析]　∵ f ( x )＝ x 4－2 x 3，∴ f '( x )＝4 x 3－6 x 2，∴ f '(1)＝－2，又 f (1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为 y ＋1＝－2( x －1)，即 y ＝－2 x ＋1.故选B.
4. [2024河北省邢台市月考]在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重 心相对于水面的高度 h (单位：m)与起跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系： h ( t )＝ －4 t 2＋4 t ＋11.该运动员在 t ＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为(　A　)
[解析]　由 h ( t )＝－4 t 2＋4 t ＋11可得h'( t )＝－8 t ＋4，故h'(1)＝－4，即该运动员在 t ＝1 s时的瞬时速度为－4 m/ s .故选A.
命题点1　导数的运算例1 (1)[2024河南省商丘市部分学校质检]下列求导正确的是(　D　)
(1)求导之前，先把函数简化成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法 则求导.
(2)复合函数求导，要正确分析函数的复合层次，由外到内逐层求导，必要时要进行 换元.
注意　 (1)牢记导数公式和导数的四则运算法则；(2)若函数解析式中含有待定系数 (如 f '( x 0)， a ， b 等)，则求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.
训练1 (1)[多选/2023湖北省黄冈市黄州中学质检]下列求导运算正确的是(　BD　)
(2)已知函数 f ( x )的导函数为 f '( x )，且满足 f ( x )＝3 xf '(1)＋2ln x ，则 f '(2)＝(　B　)
命题点2　导数的几何意义
(2)[2022新高考卷Ⅱ]曲线 y ＝ln｜ x ｜过坐标原点的两条切线的方程为 ， ⁠.
(1)已知切点 A ( x 0， f ( x 0))，则切线方程为 y － f ( x 0)＝ f '( x 0)( x － x 0).
注意　 曲线 y ＝ f ( x )“在点 P ( x 0， y 0)处的切线”与“过点 P ( x 0， y 0)的切线”的 区别：前者 P ( x 0， y 0)为切点，而后者 P ( x 0， y 0)不一定为切点.
角度2　求参数的值或取值范围例3 (1)[全国卷Ⅲ]已知曲线 y ＝ a e x ＋ x ln x 在点(1， a e)处的切线方程为 y ＝2 x ＋ b ，则(　D　)
(2)[2022新高考卷Ⅰ]若曲线 y ＝( x ＋ a )e x 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围 是 ⁠.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)　
方法技巧利用导数的几何意义求参数的方法利用切点处的导数等于切线的斜率、切点在切线上、切点在曲线上列方程(组)求解.
训练2 (1)[2024广州市中山大学附中月考]过点(3，0)作曲线 f ( x )＝ x e x 的两条切线， 切点分别为( x 1， f ( x 1))，( x 2， f ( x 2))，则 x 1＋ x 2＝(　D　)
(2)[2024江苏省常州市调考]已知直线2 ax －2 y － a ＝0与曲线 y ＝ln(2 x －1)相切，则 实数 a ＝(　A　)
(2)[全国卷Ⅱ]若直线 y ＝ kx ＋ b 是曲线 y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线 y ＝ln( x ＋1)的 切线，则 b ＝ ⁠.
曲线的公切线问题的求解方法
(1)求出两曲线各自的切线方程，利用两曲线的切线重合列方程组求解.
训练3 (1)已知函数 f ( x )＝ ax 2与 g ( x )＝ln x 的图象在公共点处有共同的切线，则实数 a 的值为 ⁠.
1. [命题点1]已知 f ( x )＝( x －1)( x －2)( x －3)( x －4)( x －5)( x －6)，则 f '(3)＝ ⁠.
[解析]　易得 f '( x )＝( x －3)'[( x －1)( x －2)( x －4)( x －5)( x －6)]＋( x －3)[( x －1)( x －2)( x －4)( x －5)( x －6)]'，则 f '(3)＝2×1×(－1)×(－2)×(－3)＝－12.
2. [命题点2角度2/2021新高考卷Ⅰ]若过点( a ， b )可以作曲线 y ＝e x 的两条切线，则 (　D　)
则函数 f ( x )＝e x (1－ x ＋ a )的大致图象如图1所示.因为 f ( x )的图象与直线 y ＝ b 有两 个交点，所以0＜ b ＜e a .故选D.
解法二(用图估算法)　作出曲线 y ＝e x ，如图2所示，过点( a ， b )可以作曲线 y ＝e x 的两条切线，则点( a ， b )在曲线 y ＝e x 的下方且在 x 轴的上方，得0＜ b ＜e a .故选D.
3. [命题点2角度2]若点 P (1， a )不在 f ( x )＝ x 3－ ax 的图象上，且过点 P 仅能作一条 直线与 f ( x )的图象相切，则 a 的取值范围为 ⁠.
5. [命题点3/2023河南省部分重点中学联考]已知函数 f ( x )＝ln x 的图象在点 P (1， f (1))处的切线也是函数 g ( x )＝ a e x 的图象的一条切线，则 a ＝ ⁠.
1. [全国卷Ⅱ]曲线 y ＝2 sin x ＋ cs x 在点(π，－1)处的切线方程为(　C　)
2. [2024福建泉州模拟]若直线 x ＋ y ＋ a ＝0与曲线 y ＝ x －2ln x 相切，则实数 a 的值 为(　C　)
3. [易错题]已知函数 f ( x )＝ f '(1) x 2＋2 x ＋2 f (1)，则 f '(2)的值为(　D　)
[解析]　因为 f '( x )＝2 f '(1) x ＋2，所以 f '(1)＝2 f '(1)＋2，解得 f '(1)＝－2，所以 f '( x ) ＝－4 x ＋2，所以 f '(2)＝－6，故选D.
4. [全国卷Ⅰ]设函数 f ( x )＝ x 3＋( a －1) x 2＋ ax .若 f ( x )为奇函数，则曲线 y ＝ f ( x )在点 (0，0)处的切线方程为(　D　)
[解析]　解法一　因为函数 f ( x )＝ x 3＋( a －1) x 2＋ ax 为奇函数，所以 f (－ x )＝－ f ( x )，所以(－ x )3＋( a －1)(－ x )2＋ a (－ x )＝－[ x 3＋( a －1) x 2＋ ax ]，所以2( a －1) x 2＝0，因为 x ∈R，所以 a ＝1，所以 f ( x )＝ x 3＋ x ，所以f'( x )＝3 x 2＋1，所以f'(0)＝1，所以曲线 y ＝ f ( x )在点(0，0)处的切线方程为 y ＝ x .故选D.
解法二　因为函数 f ( x )＝ x 3＋( a －1) x 2＋ ax 为奇函数，所以 f (－1)＋ f (1)＝0，所以 －1＋ a －1－ a ＋(1＋ a －1＋ a )＝0，解得 a ＝1，所以 f ( x )＝ x 3＋ x ，f'( x )＝3 x 2＋ 1，所以f'(0)＝1，所以曲线 y ＝ f ( x )在点(0，0)处的切线方程为 y ＝ x .故选D.
解法三　易知 f ( x )＝ x 3＋( a －1) x 2＋ ax ＝ x [ x 2＋( a －1) x ＋ a ]，因为 f ( x )为奇函 数，所以函数 g ( x )＝ x 2＋( a －1) x ＋ a 为偶函数，所以 a －1＝0，解得 a ＝1，所以 f ( x )＝ x 3＋ x ，所以f'( x )＝3 x 2＋1，所以f'(0)＝1，所以曲线 y ＝ f ( x )在点(0，0)处的 切线方程为 y ＝ x .故选D.
5. 曲线 f ( x )＝ x 3－ x ＋3在点 P 处的切线平行于直线 y ＝2 x －1，则点 P 的坐标为 (　D　)
7. [2024福建省宁德市模拟]曲线 y ＝－ x 3＋ x 2＋8 x ＋3在某点处的切线的倾斜角为锐 角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点个数为(　C　)
[解析]　由 f '( x )＞0，得 f ( x )在R上单调递增，因为π＞e＞2，所以 f (π)＞ f (e)＞ f (2)，故A不正确；
f '( x )表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着 x 的增大， f ( x ) 的图象上升得越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以 f '(π)＜ f '(e)＜ f '(2)，故B 正确；
9. [2024河南省名校调考]已知幂函数 f ( x )＝( m 2－6 m ＋9) xm 满足 f '(1)＝2，则 f (2) ＝ ⁠.
[解析]　由幂函数的定义可得 m 2－6 m ＋9＝1，解得 m ＝2或 m ＝4，当 m ＝2时， f ( x )＝ x 2， f '( x )＝2 x ， f '(1)＝2，符合题意；当 m ＝4时， f ( x )＝ x 4， f '( x )＝4 x 3， f '(1)＝4，不符合题意.故 f ( x )＝ x 2， f (2)＝4.
10. [新高考卷Ⅰ]已知函数 f ( x )＝ a e x －1－ln x ＋ln a .(1)当 a ＝e时，求曲线 y ＝ f ( x )在点(1， f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角 形的面积；
(2)若 f ( x )≥1，求 a 的取值范围.
11. [条件创新]已知曲线 y ＝ln x 在 x ＝ x 0处的切线经过点(－1，0)，则 x 0的大致范围 是(参考数据：e≈2.718，e2≈7.389)(　C　)
13. [多选/2024惠州市一调]若过点 P (1，λ)可作3条直线与函数 f ( x )＝( x －1)e x 的图象 相切，则实数λ的值可以是(　BC　)
14. 曲线 y ＝ x 2－ln x 上的点到直线 x － y －2＝0的最短距离是 ⁠.
15. [2021全国卷乙节选]已知函数 f ( x )＝ x 3－ x 2＋ ax ＋1.求曲线 y ＝ f ( x )过坐标原点 的切线与曲线 y ＝ f ( x )的公共点的坐标.
解得 x 0＝1，所以切线 l 的方程为 y ＝(1＋ a ) x .令 x 3－ x 2＋ ax ＋1＝(1＋ a ) x ，则 x 3－ x 2－ x ＋1＝0，解得 x ＝±1，所以曲线 y ＝ f ( x )过坐标原点的切线与曲线 y ＝ f ( x )的公共点的坐标为(1，1＋ a )和 (－1，－1－ a ).
16. [2022全国卷甲]已知函数 f ( x )＝ x 3－ x ， g ( x )＝ x 2＋ a ，曲线 y ＝ f ( x )在点( x 1， f ( x 1))处的切线也是曲线 y ＝ g ( x )的切线.
(1)若 x 1＝－1，求 a ；
[解析]　(1)当 x 1＝－1时， f (－1)＝0，所以切点坐标为(－1，0).由 f ( x )＝ x 3－ x ，得f'( x )＝3 x 2－1，所以切线斜率 k ＝f'(－1)＝2，所以切线方程为 y ＝2( x ＋1)，即 y ＝2 x ＋2.将 y ＝2 x ＋2代入 y ＝ x 2＋ a ，得 x 2－2 x ＋ a －2＝0.由切线与曲线 y ＝ g ( x )相切，得Δ＝(－2)2－4( a －2)＝0，
(2)求 a 的取值范围.
h ( x )，h'( x )随 x 的变化情况如下表所示：
17. [2024江苏联考]已知直线 l 与曲线 y ＝e x －1和 y ＝ln( x ＋1)都相切，请写出两个符 合条件的直线 l 的方程： ， ⁠.