备战2025年高考数学精品课件第二章 第7讲 函数的零点与方程的解

这是一份备战2025年高考数学精品课件第二章 第7讲 函数的零点与方程的解，共60页。PPT课件主要包含了fx＝0，三个等价关系，fb＜0，fc＝0，一分为二，思维拓展，－2e，复合函数的零点问题，ACD，BCD等内容，欢迎下载使用。
1. 函数零点的概念对于函数 y ＝ f ( x )，我们把使① 的实数 x 叫做函数 y ＝ f ( x )的零点.注意　 零点不是点，是满足 f ( x )＝0的实数 x .
3. 零点存在定理如果函数 y ＝ f ( x )在区间[ a ， b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有④ ⁠ ，那么，函数 y ＝ f ( x )在区间⑤ 内至少有一个零点，即存在 c ∈( a ， b )，使得⑥ ，这个 c 也就是方程 f ( x )＝0的解.注意　 (1)函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断 函数的不变号零点.(2)对于连续函数 f ( x )，在[ a ， b ]上， f ( a )· f ( b )＜0是 f ( x )在( a ， b )上存在零点的 充分不必要条件.
f ( a )·
规律总结(1)若图象连续不断的函数 f ( x )在定义域上是单调函数，则函数 f ( x )至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值同号.
4. 二分法对于在区间[ a ， b ]上图象连续不断且 f ( a )· f ( b )＜0 的函数 y ＝ f ( x )，通过不断地把 它的⑦ 所在区间⑧ ⁠，使所得区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精确度ε，用二分法求函数 y ＝ f ( x )零点 x 0的近似值的一般步骤：
1. 确定零点 x 0的初始区间[ a ， b ]，验证 f ( a ) f ( b )＜0.
2. 求区间( a ， b )的中点 c .
3. 计算 f ( c )，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若 f ( c )＝0(此时 x 0＝ c )，则 c 就是函数的零点；
(2)若 f ( a ) f ( c )＜0(此时 x 0∈( a ， c ))，则令 b ＝ c ；
(3)若 f ( c ) f ( b )＜0(此时 x 0∈( c ， b ))，则令 a ＝ c .
4. 判断是否达到精确度ε：若｜ a － b ｜＜ε，则得到零点近似值 a (或 b )；否则重复 步骤2～4.
1. 下列说法正确的是(　D　)
[解析]　当 x ≤0时，由 x 2＋ x －2＝0，得 x ＝－2.当 x ＞0时，由－1＋ln x ＝0，得 x ＝e.所以 f ( x )的零点为－2，e.
4. 已知函数 y ＝ f ( x ) 的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数 y ＝ f ( x )在区间[1，6]上的零点至少有 个.
[解析]　依题意， f (2)＞0， f (3)＜0， f (4)＞0， f (5)＜0，根据零点存在定理可知， f ( x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有1个零点，故函数 y ＝ f ( x )在区间 [1，6]上的零点至少有3个.
命题点1　判断函数零点所在区间 例1 (1)[2024海南模拟]函数 f ( x )＝ x ＋ sin x －2的零点所在区间为(　B　)
[解析]　因为 f '( x )＝1＋ cs ≥0，所以 f ( x )在定义域内单调递增.因为 f (1)＝－1＋ sin 1＜0， f (2)＝ sin 2＞0，所以函数 f ( x )的零点在(1，2)内.故选B.
(2)函数 f ( x )＝lg3 x ＋ x －2的零点所在的区间为(　B　)
[解析]　解法一　函数 f ( x )＝lg3 x ＋ x －2的定义域为(0，＋∞)，并且 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增.由题意知 f (1)＝－1＜0， f (2)＝lg32＞0，根据零点存在定理可知，函数 f ( x )＝lg3 x ＋ x －2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.故选B.
解法二　将判断函数 f ( x )的零点所在的区间转化为判断函数 g ( x )＝lg3 x ， h ( x )＝ － x ＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知 f ( x )的零点 所在的区间为(1，2).故选B.
方法技巧确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：先看函数 y ＝ f ( x )在区间[ a ， b ]上的图象是否连续，再 看是否有 f ( a )· f ( b )＜0.(2)数形结合法：画函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断，也可转化为观察两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
训练1 若 a ＜ b ＜ c ，则函数 f ( x )＝( x － a )( x － b )＋( x － b )( x － c )＋( x － c )( x － a ) 的两个零点分别位于区间(　A　)
[解析]　因为 f ( a )＝( a － b )( a － c )＞0， f ( b )＝( b － c )( b － a )＜0， f ( c )＝( c － a )( c － b )＞0，所以 f ( a )· f ( b )＜0， f ( b )· f ( c )＜0，所以函数 f ( x )的两个零点分别位于区间( a ， b )和( b ， c )内.故选A.
命题点2　判断函数的零点个数 例2 (1)[全国卷Ⅲ]函数 f ( x )＝2 sin x － sin 2 x 在[0，2π]的零点个数为(　B　)
[解析]　 f ( x )＝2 sin x －2 sin x cs x ＝2 sin x (1－ cs x )，令 f ( x )＝0，则 sin x ＝0或 cs x ＝1，所以 x ＝ k π( k ∈Z)，又 x ∈[0，2π]，所以 x ＝0或 x ＝π或 x ＝2π.故选B.
方法技巧判断函数零点个数的方法(1)直接法：令 f ( x )＝0，解方程可得.(2)利用函数的零点存在定理：利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质(如 单调性、奇偶性)判断.(3)图象法：将判断函数 f ( x )零点个数转化为判断函数 f ( x )的图象与 x 轴交点的个 数，或将函数 f ( x )拆成两个函数 h ( x )和 g ( x )的差的形式，判断函数 y ＝ h ( x )和 y ＝ g ( x )的图象的交点个数.
[解析]　易得函数 y ＝ f ( x )是周期为2的函数，因为 x ∈[－1，1]时， f ( x )＝1－ x 2， 所以作出 y ＝ f ( x )的图象，如图所示.
(2)[2023河南省部分学校押题信息卷]设 f ( x )是定义在R上且周期为5的奇函数， f (3) ＝0，则 f ( x )在[0，10]内的零点个数最少是(　D　)
方法技巧已知函数零点情况求参数取值范围的方法(1)直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组) 确定参数的取值范围.(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题.(3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最 后数形结合求解.
角度3　函数零点(或方程根)的和例5 [2023广东六校第一次联考]定义在R上的函数 f ( x )满足 f (－ x )＋ f ( x )＝0， f ( x ) ＝ f (2－ x )；且当 x ∈[0，1]时， f ( x )＝ x 3－ x 2＋ x .则方程7 f ( x )－ x ＋2＝0所有的根 的和为(　A　)
[解析]　由 f (－ x )＋ f ( x )＝0， f ( x )＝ f (2－ x )可得 f ( x )为奇函数，且图象关于直线 x ＝1对称，且易得 f ( x )的周期为4.
方法技巧解函数零点(或方程根)的和的问题的方法(1)把函数零点转化为方程的根，通过解方程，求出方程的所有根，再求出这些 根的和.(2)作出函数的草图，通过函数的图象的对称性，得出函数零点的对称性，从而求出 这些零点的和.
训练3 (1)[2023湖北省沙市中学模拟]若函数 f ( x )＝ln x ＋ x 2＋ a －1在区间(1，e)内 有零点，则实数 a 的取值范围是(　A　)
[解析]　函数 f ( x )的定义域为(0，＋∞)，因为函数 y ＝ln x 与 y ＝ x 2在(0，＋∞)上均 单调递增，所以函数 f ( x )＝ln x ＋ x 2＋ a －1在(0，＋∞)上单调递增，则由函数 f ( x ) 在区间(1，e)内有零点知 f (1) f (e)＜0，即 a (e2＋ a )＜0，解得－e2＜ a ＜0，故选A.
[解析]　令 t ＝ f ( x )，则 h ( t )＝ t 2－ f ( t )，令 h ( t )＝0，可得 t 2＝ f ( t )，当 t ＞0时，由 t 2＝ f ( t )，可得 t 2＝( t －2)2，即－4 t ＋4＝0，解得 t ＝1；当 t ＜0时，由 t 2＝ f ( t )，可得 t 2＝2 t ＋3，即 t 2－2 t －3＝0，解得 t ＝－1或 t ＝3(舍去)，所以 t ＝±1，即 f ( x )＝±1.当 x ＞0时，令( x －2)2＝1或( x －2)2＝－1(舍去)，解得 x ＝1或 x ＝3；当 x ＜0时，令2 x ＋3＝1或2 x ＋3＝－1，解得 x ＝－1或 x ＝－2，所以函数 g ( x )＝[ f ( x )]2－ f [ f ( x )]的零点之和为1＋3－1－2＝1.故选D.
(3)[多选/2023廊坊模拟]已知函数 f ( x )＝｜ x 2＋3 x ＋1｜－ a ｜ x ｜，则下列结论正 确的是(　AC　)
由图可知，若 f ( x )没有零点，则 a ∈(－∞，0)，故A正确；
若 f ( x )恰有2个零点，则 a ∈{0}∪(1，5)，故B不正确；
若 f ( x )恰有3个零点，则 a ＝1或 a ＝5，故C正确；
若 f ( x )恰有4个零点，则 a ∈(0，1)∪(5，＋∞)，故D不正确.故选AC.
当 x ≥0时， f ( x )＝6 x 3－9 x 2＋1，则 f '( x )＝18 x 2－18 x ＝18 x ( x －1).
当 x ∈(0，1)时， f '( x )＜0；当 x ∈(1，＋∞)时， f '( x )＞0.
所以 g ( x )的零点个数为3，故选B.
方法技巧复合函数的零点个数问题的求解关键：一是注意观察图象特征；二是将外层函数的 定义域和内层函数的值域准确对接.
训练4 [多选/2024云南省下关第一中学模拟]函数 y ＝ f ( x )和 y ＝ g ( x )在[－2，2]上的 图象分别如图1，2所示.则以下四个说法正确的是(　ACD　)
[解析]　易得函数 f ( x )有3个零点，分别设为 m 1， m 2， m 3，令 m 1＜ m 2＜ m 3，则有 m 1∈(－2，－1)， m 2＝0， m 3∈(1，2).函数 g ( x )有2个零点，分别设为 n 1， n 2，令 n 1＜ n 2，则有 n 1∈(－2，－1)， n 2∈(0，1).
对于A，方程 f ( g ( x ))＝0的根的个数即 g ( x )的图象与直线 y ＝ m 1， y ＝0， y ＝ m 3的 交点个数之和，如图1，易得总共有6个交点，故A正确.
对于B，方程 g ( f ( x ))＝0的根的个数即 f ( x )的图象与直线 y ＝ n 1， y ＝ n 2的交点个 数之和，如图2，易得总共有4个交点，故B错误.
对于C，方程 f ( f ( x ))＝0的根的个数即 f ( x )的图象与直线 y ＝ m 1， y ＝0， y ＝ m 3的 交点的个数之和，如图3，易得总共有5个交点，故C正确.
对于D，方程 g ( g ( x ))＝0的根的个数即 g ( x )的图象与直线 y ＝ n 1， y ＝ n 2的交点个 数之和，如图4，易得总共有4个交点，故D正确.故选ACD.
方法技巧已知复合函数零点个数求参数问题的解题关键：一是会转化，会把函数的零点转化 为方程的根；二是会构造，通过换元法，把复合方程的根的问题转化为更简单的方 程根的问题；三是会作图，明晰“草图不草”；四是会用图，通过观察图象特征， 求得参数的取值范围.
1. [命题点2/2024四川省成都市零诊]函数 f ( x )＝e x －2 023｜ x －2｜的零点个数为 (　D　)
2. [命题点3角度1/2023天津高考]若函数 f ( x )＝ ax 2－2 x －｜ x 2－ ax ＋1｜有且仅有 两个零点，则 a 的取值范围为 ⁠.
(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)　
若 a ≠0且 a ≠±1，分以下两种情况：
当 x ＞1时， f ( x )＝｜lg3( x －1)｜，先作出函数 y ＝lg3 x 的图象，再将其向右平移1个单位长度，最后将 x 轴下方的图象关于 x 轴翻折，就得到函数 f ( x )＝｜lg3( x －1)｜的图象，如图1所示.
如图3，因为0＜ t 1＜1，所以直线 y ＝ t 1和 y ＝ f ( x )的图象有两个交点，即方程 f ( x ) ＝ t 1有两个不等实根；
因为1＜ t 2＜2，所以直线 y ＝ t 2和 y ＝ f ( x )的图象有三个交点，即方程 f ( x )＝ t 2有三 个不等实根.
1. [2024广东省茂名市模拟]函数 f ( x )＝e x － x －2的一个零点所在的区间为(　B　)
[解析]　因为 f (1)＝e－1－2＜0， f (2)＝e2－4＞0， 根据零点存在定理得函数 f ( x )在 (1，2)内有零点，所以选B.
解得 x ＝－2或 x ＝e.因此函数 f ( x )共有2个零点.故选B.
解法二(图象法)　函数 f ( x )的图象如图所示，由图象知函数 f ( x )共有2个零点.故选B.
4. 已知 x 1是ln x ＋ x ＝5的根， x 2是ln(4－ x )－ x ＝1的根，则(　A　)
[解析]　由ln x ＋ x ＝5，得ln x ＝5－ x ，因为函数 y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 函数 y ＝5－ x 在(0，＋∞)上单调递减，所以由函数 y ＝ln x 与函数 y ＝5－ x 的图象 (图略)可知ln x ＝5－ x 有唯一解 x 1.由ln(4－ x )－ x ＝1，得ln(4－ x )＝1＋ x ，令 t ＝4 － x ( t ＞0)，得ln t ＝5－ t ，由题意可知4－ x 2是ln t ＝5－ t 的根，所以 x 1＝4－ x 2， 所以 x 1＋ x 2＝4，故选A.
[解析]　令 t ＝ f ( x )－1，则由 f ( t )－1＝0即 f ( t )＝1，解得 t ＝－2或0或e，即 f ( x )－ 1＝－2或0或e，所以 f ( x )＝－1或1或e＋1.
在同一平面直角坐标系中分别作出 y ＝ f ( x )， y ＝－1， y ＝1， y ＝e＋1的图象，如 图所示，
由图象可知 y ＝ f ( x )的图象与 y ＝－1有1个交点，即 f ( x )＝－1有1个根； y ＝ f ( x )的 图象与 y ＝1有3个交点，即 f ( x )＝1有3个根； y ＝ f ( x )的图象与 y ＝e＋1有2个交 点，即 f ( x )＝e＋1有2个根.所以函数 y ＝ f ( f ( x )－1)－1的零点个数为1＋3＋2＝6， 故选C.
6. [2024辽宁省实验中学模拟]函数 f ( x )＝ x 3－ x 2＋5， x ∈[－2，－1]有零点，用二 分法求零点的近似值(精确度为0.2)时，至少需要进行(　B　)次中点函数值的计算.
8. [2024湖南省株洲市第二中学模拟]设[ x ]表示不超过 x 的最大整数，则方程 x 2－ 4[ x ]＋3＝0的所有根的和为 ⁠.
9. [2023全国卷乙]函数 f ( x )＝ x 3＋ ax ＋2存在3个零点，则 a 的取值范围是(　B　)
11. [多选/2023南京市二模]已知函数 f ( x )＝｜e x － a ｜， a ＞0.下列说法正确的为 (　BCD　)
[解析]　解法一(解方程)　对选项A，当 a ＝1时，令 f ( x )＝｜e x －1｜＝1，解 得e x ＝0(舍去)或e x ＝2，则 x ＝ln 2，故函数 y ＝ f ( x )与 y ＝1的图象只有一个 公共点，A错误.对选项B，由｜e x － a ｜＝ a 2有e x ＝ a ＋ a 2或e x ＝ a － a 2，由 a ＞0得 a ＋ a 2 ＞0，则e x ＝ a ＋ a 2必有唯一解，故当函数 y ＝ f ( x )与 y ＝ a 2的图象有两个公 共点时，e x ＝ a － a 2必有解，故 a － a 2＞0，解得0＜ a ＜1，故B正确.对选项C，设 f ( f ( x ))＝0， t ＝ f ( x )，则 f ( t )＝0，即｜e t － a ｜＝0， t ＝ln a ，所以 f ( x )＝ln a ，即｜e x － a ｜＝ln a ，解得e x ＝ a ＋ln a 或e x ＝ a －ln a ，当 a ＞1时， a ＋ln a ＞0，e x ＝ a ＋ln a 必有唯一解，当 a ＞1时，0＜ln a ＜ a ，故e x ＝ a －ln a 也有唯一解，故 f ( f ( x ))＝0有两个不等实根，故C正确.
解法二(数形结合)　对选项A，当 a ＝1时， f ( x )＝｜e x －1｜，作出 y ＝ f ( x )的图象 和直线 y ＝1，如图(1)，注意到直线 y ＝1是 y ＝ f ( x )在 x ＜0时的图象的一条渐近 线，故函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝1只有一个公共点，A错误.
对选项B，当 a ＝1时，由选项A的判断过程知，不合题意，舍去；当 a ＞1时， f (0) ＝｜1－ a ｜＝ a －1， a 2＞ a ，直线 y ＝ a 是 y ＝ f ( x )， x ＜0的图象的一条渐近线， 如图(2)，直线 y ＝ a 2在渐近线 y ＝ a 的上方，此时函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝ a 2 只有一个公共点，不合题意，舍去；当0＜ a ＜1时， f (0)＝｜1－ a ｜＝1－ a ， a ＞ a 2，直线 y ＝ a 是 y ＝ f ( x )， x ＜ln a 的图象的一条渐近线，如图(3)，直线 y ＝ a 2在 渐近线 y ＝ a 与 x 轴之间，函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝ a 2有两个公共点，适合题 意，故0＜ a ＜1.B正确.
[解析]　方程有4个不同的解，因而由函数 f ( x )的图象(如图)可知，1＜ m ≤2，A错误.
当 f ( x )＝2时，最小的根为－3，当 f ( x )＝1时，最小的根为－2，故－3≤ x 1＜－2，B正确.
14. [2024广东惠州质检]定义在R上的函数 f ( x )满足 f ( x ＋2)＝ f ( x －2)，当 x ∈[0，4) 时， f ( x )＝｜ x 2－4 x ＋3｜.若关于 x 的函数 y ＝ f ( x )－ m 在区间[－4，6]上有10个不 同零点，则实数 m 的取值范围是 ⁠.
[解析]　关于 x 的函数 y ＝ f ( x )－ m 在区间[－4，6]上有10个不同零点⇔关于 x 的方 程 f ( x )－ m ＝0在区间[－4，6]上有10个不同的根⇔函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝ m 在[－4，6]上有10个不同的交点.由 f ( x ＋2)＝ f ( x －2)得 f ( x ＋4)＝ f ( x )，所以函数 f ( x )的周期为4，根据“当 x ∈[0，4)时， f ( x )＝｜ x 2－4 x ＋3｜”作出 y ＝ f ( x )在区 间[－4，6]上的图象，如图所示，其中 f (0)＝3， f (2)＝1， f (1)＝ f (3)＝0.由图象可知，若函数 y ＝ f ( x )的图象与直线 y ＝ m 在[－4，6]上有10个不同的交点，则实数 m 的取值范围为(0，1).