备战2025年高考数学精品课件第一章 第4讲 基本不等式

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a ＞0， b ＞0　
3. 利用基本不等式求最值已知 x ＞0， y ＞0.(1)如果积 xy 等于定值 P ，那么当 x ＝ y 时，和 x ＋ y 取得最小值⑤ (简记： 积定和最小)；(2)如果和 x ＋ y 等于定值 S ，那么当 x ＝ y 时，积 xy 取得最大值⑥ (简记：和 定积最大).注意　 应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.
1. 下列说法正确的是(　C　)
2. 矩形两边长分别为 a ， b ，且 a ＋2 b ＝6，则矩形面积的最大值是(　B　)
3. 已知 a ， b 为正数，则下列不等式中不成立的是(　D　)
角度2　常数代换法例2 (1)[2023江西省南昌一中模拟]已知正数 a ， b 满足8 a ＋4 b ＝ ab ，则8 a ＋ b 的最 小值为(　C　)
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是 ⁠.
方法技巧1. 基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.2. 配凑、常数代换、消元的目的都是为了凑出和为定值或者积为定值的形式.3. 多次使用基本不等式时，尤其要注意等号能否同时成立.
(2)[多选/2022新高考卷Ⅱ]若 x ， y 满足 x 2＋ y 2－ xy ＝1，则(　BC　)
[解析]　解法一　由题意得， x 2＋ y 2＝ xy ＋1，所以( x ＋ y )2＝3 xy ＋1，当 x ＞0且 y ＞0时，显然有( x ＋ y )2＞1，即 x ＋ y ＞1，故A错误.因为 x 2＋ y 2≥2 xy ，所以 xy ＋ 1≥2 xy ，所以 xy ≤1，所以 x 2＋ y 2≤2，当且仅当 x ＝ y 时等号成立，故C正确.因为 ( x ＋ y )2＝ x 2＋ y 2＋2 xy ＝3 xy ＋1≤4，所以｜ x ＋ y ｜≤2，所以－2≤ x ＋ y ≤2， 故B正确.因为 x 2＋ y 2＝ xy ＋1，所以当 xy ＜0时， x 2＋ y 2＜1，故D错误.故选BC.
例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 x 吨，运费为6万元/次，一 年的总存储费用为4 x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值 是 ⁠.
角度2　利用基本不等式解决实际问题
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售 收入－成本).
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
方法技巧利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足 实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得 函数的最值.
(2)[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是 面积为1 800平方米的矩形 ABCD ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所 示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大面积是(　C　)
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角度2　判断关于不等式的命题的真假例8 [2024四川成都联考]已知正实数 m ， n 满足 m ＋ n ＝1，则下列不等式中错误的 是(　D　)
方法技巧1. 柯西不等式：( a 2＋ b 2)( c 2＋ d 2)≥( ac ＋ bd )2，当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立.2. 无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意“配凑”技巧，还要 注意验证等号成立的条件.
(2)[多选/2024云南省大理模拟]若12 a ＝3，12 b ＝4，则下列结论正确的是(　ACD　)
[解析]　由12 a ＝3，12 b ＝4得 a ＝lg123， b ＝lg124， a ＋ b ＝lg123＋lg124＝ lg1212＝1，且 a ＝lg123＞lg121＝0， b ＝lg124＞lg121＝0.
4. [命题点2角度1]已知0＜ a ＜1， b ＞1，则下列不等式成立的是(　D　)
(1)用 x 表示 F .
(2)该合作社修建多大面积的太阳能面板，可使 F 最小？并求出最小值.
(3)要使 F 不超过140万元，求 x 的取值范围.
1. [2024河北保定模拟]设 x ， y 均为正数，且 x ＋ y ＝4，则 xy 的最大值为(　C　)
5. [多选]小王从甲地到乙地往返的速度分别为 a 和 b ( a ＜ b )，其全程的平均速度为 v ，则下列选项中正确的是(　AD　)
6. [多选/2023重庆市三检]已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋ y ＋ xy －3＝0，则下列结论正确 的是(　BC　)
8. [2023济南市模拟]已知正数 x ， y 满足4 x ＋2 y ＝ xy ，则 x ＋2 y 的最小值为 ⁠.
10. [2024山东烟台模拟]如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形( O 为圆心)铁皮上截取 一块矩形材料 ABCD ，其顶点 A ， B 在直径上，顶点 C ， D 在圆周上，则矩形 ABCD 面积的最大值为 (单位：cm2).
所以矩形 ABCD 面积的最大值为16 cm2
11. [2021全国卷乙]下列函数中最小值为4的是(　C　)
[解析]　选项A，因为 y ＝ x 2＋2 x ＋4＝( x ＋1)2＋3，所以当 x ＝－1时， y 取得最小值，且 y min＝3，所以选项A不符合题意.
13. [多选/新高考卷Ⅰ]已知 a ＞0， b ＞0，且 a ＋ b ＝1，则下列选项中正确的是 (　ABD　)