人教版数学八上同步提升训练专题16.6 期末专项复习之整式的乘法与因式分解（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc18422" 【考点1 幂的基本运算】 PAGEREF _Tc18422 \h 1
\l "_Tc32746" 【考点2 幂的逆运算】 PAGEREF _Tc32746 \h 3
\l "_Tc30329" 【考点3 利用幂的运算进行比较大小】 PAGEREF _Tc30329 \h 5
\l "_Tc26488" 【考点4 幂的混合运算】 PAGEREF _Tc26488 \h 8
\l "_Tc18081" 【考点5 利用幂的运算进行简便计算】 PAGEREF _Tc18081 \h 10
\l "_Tc16935" 【考点6 幂的运算中的新定义问题】 PAGEREF _Tc16935 \h 12
\l "_Tc13892" 【考点7 整式的乘法】 PAGEREF _Tc13892 \h 16
\l "_Tc20690" 【考点8 整式乘法的应用】 PAGEREF _Tc20690 \h 19
\l "_Tc23463" 【考点9 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc23463 \h 22
\l "_Tc11805" 【考点10 乘法公式的几何背景】 PAGEREF _Tc11805 \h 26
\l "_Tc5769" 【考点11 整式乘除的计算与化简】 PAGEREF _Tc5769 \h 32
\l "_Tc21455" 【考点12 整式混合运算的应用】 PAGEREF _Tc21455 \h 34
\l "_Tc13965" 【考点13 因式分解的概念】 PAGEREF _Tc13965 \h 40
\l "_Tc1036" 【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】 PAGEREF _Tc1036 \h 41
\l "_Tc10776" 【考点15 因式分解（十字相乘法）】 PAGEREF _Tc10776 \h 44
\l "_Tc32078" 【考点16 因式分解（分组分解法）】 PAGEREF _Tc32078 \h 49
\l "_Tc8397" 【考点17 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc8397 \h 51
\l "_Tc22359" 【考点18 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc22359 \h 53
【考点1 幂的基本运算】
【例1】（2022·湖南娄底·七年级期末）如果，那么的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】利用同底数幂的乘方的法则对式子进行整理，即可得到关于n的方程，即可求解．
【详解】∵a2n-1an+5=a16，
∴a2n-1+n+5=a16，
即a3n+4=a16，
∴3n+4=16，
解得：n=4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则．
【变式1-1】（2022·广东·德庆县德庆中学七年级期末）解答下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1500；（2）27
【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；
（1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．
【变式1-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知，则x、y、z三者之间关系正确的是（ ）
A．xy=2zB．x+y=2zC．x+2y=2zD．x+2y=z
【答案】C
【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，从而作出判断．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题的关键．
【变式1-3】（2022·黑龙江·大庆市第十九中学七年级期末）已知5a=2b=10，那么 的值为________.
【答案】1
【分析】将题目中所给的式子进行化简和构造，根据同底数幂的乘法以及积的乘方证明ab=a+b即可.
【详解】∵5a=10，2b=10
∴（5a）b=10b ， （2b）a=10a；
即5ab=10b ， 2ab=10a
∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b
即a+b=ab
∴=1
故答案为1.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，积的乘方.
【考点2 幂的逆运算】
【例2】（2022·四川·渠县流江初级实验中学七年级期末）如果3a＝5，3b＝10，那么的值为( )
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】逆用幂的乘方及同底数幂的除法即可完成．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的除法的逆用，用好这两个运算性质是关键．
【变式2-1】（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期末）如果，，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)45
(2)125
【分析】（1）根据同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算将原始变形为，然后将、代入求解即可；
（2）根据幂的乘方的运算法则求解即可．
（1）
解：∵，，
∴；
（2）
解：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算是解题关键．
【变式2-2】（2022·北京昌平·七年级期末）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1) ______ ；
(2)若，求的值；
【答案】(1)1
(2)2
【分析】（1）根据，计算求解即可；
（2）根据，可得，计算求解即可．
(1)
解：由题意知，，
故答案为：1．
(2)
解：∵，
∴，
解得，
∴的值为2．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘法的逆运算，同底数幂的乘法．解题的关键在于对运算法则的熟练掌握与灵活运用．
【变式2-3】（2022·四川省渠县中学七年级期末）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：的值．
②求：的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【答案】（1）①；②；（2）x=6．
【分析】（1）①根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；
（2）由题意将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．
【详解】解：（1）∵4m=a，8n=b，
∴，，
①；
②；
（2）∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，即23x+5=223
∴3x+5=23，
解得：x=6．
【点睛】本题考查同底数幂的除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算和积的乘方的逆运算，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．
【考点3 利用幂的运算进行比较大小】
【例3】（2022·福建省罗源第二中学八年级期末）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【答案】B
【分析】根据幂的乘方的性质，得，，，从而完成求解．
【详解】，，
∵
∴
∴，即b＞a＞c
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
【变式3-1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级期末）阅读下列材料:
若，则a，b的大小关系是a_____ b (填“”).
解:因为，所以，
所以.
解答下列问题:
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)已知，试比较x与y的大小．
【答案】＞ （1）C （2）
【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可；
（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．
【详解】， 所以，
所以a>b，故答案为 >;
(1)上述求解过程中，逆用了幕的乘方，故选C;
(2) ，
，
.
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．
【变式3-2】（2022·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级期末）阅读探究题：．
【阅读材料】
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，
如：，
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，
解：，∵，∴
[类比解答]比较，的大小．
[拓展拔高]比较，，的大小．
【答案】【类比解答】；【拓展拔高】．
【分析】【类比解答】可以将底数都化为5，利用幂的乘方的逆运算法则变形后再进行比较；
【拓展拔高】观察三个式子的特点，可以利用幂的乘方逆运算法则将指数都变形为111，再进行比较．
【详解】【类比解答】解：，，
∵，
∴，即；
【拓展拔高】解：∵，，，
又∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键．
【变式3-3】（2022·河北石家庄·七年级期末）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和 ，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“，