人教版数学八年级上册全等三角形综合训练（一）（2份，原卷版+解析版）

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全等三角形综合训练（一）1．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线PQ过点A且PQ//BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线PQ上（不与点A重合）．(1)如图1，DE与AC交于点M，若DF⊥PQ于点D交AB于点F，求证：△BDF≌△MDA；(2)在图2中，DE与CA延长线交于点M，试猜想线段BD、ED、EM的数量关系，并证明你的猜想．(3)在图3中，DE与AC延长线交于点M，（2）中结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)BD＝ED−EM，证明见解析；(3)成立，证明见解析．【解析】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵PQ∥CB，∴∠DAF＝∠ABC＝45°，∴，∵DF⊥PQ，∴△ADF为等腰直角三角形，∴DA＝DF，，，∵∠1＋∠FDE＝90°，∠FDE＋∠2＝90°，  ∴∠1＝∠2，在△BDF与△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA）；（2）解：结论：BD＝ED−EM．证明：如图2，过点D作DF⊥PQ，交AB的延长线于点F，由（1）知∠DAF＝∠ABC＝45°，则△ADF为等腰直角三角形，，∴DA＝DF，，∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2．在△BDF与△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA），∴BD＝DM＝ED−EM；  （3）解：结论成立．证明：如图3，过点D作DF⊥PQ，交AB的延长线于点F，∵PQ∥CB，∴∠FAD＝∠ABC＝45°，∴△ADF为等腰直角三角形，，∴DA＝DF，，  ∵∠BDF＝∠BDA＋∠ADF，∠MDA＝∠BDM＋∠ADB，且∠ADF＝∠BDM＝90°，∴，在△BDF与△MDA中，，∴△BDF≌△MDA（ASA），∴BD＝DM＝ED−EM．2．已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且．(1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明）(2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)仍成立，见解析(3)(4)四边形的面积为32【解析】（1）如图1：由为平分线上一点，于，于，，在中，，，；（2）仍成立点为平分线上一点，又于，于，，又（3）；,又 点为平分线上一点， 即AP平分，，，，（4）四边形的面积为32点为平分线上一点，又于，于，又（已证）又，且3．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析；(3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析．【解析】（1）解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD．证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．4．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为（s）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当=1时，△ACP△BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分别说明理由；(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为cm/s，是否存在实数，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)△ACP≌△BPQ，线段PC与线段PQ垂直，理由见解析(2)存在或，使得△ACP与△BPQ全等【解析】（1）解：当t=1时，AP=BQ=1cm，∵AB=4cm，∴BP=AB-AP=3cm，又AC=3cm，∴BP=AC又∠A=∠B=90°， 在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：由题意，得AC=3cm，AP=tcm，BP=(4-t)cm，BQ=xtcm.①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ， 则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．5．（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7；（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝8；（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6•AE＝12，∴AE＝4，∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD•BF＝6．6．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)，【解析】（1），，证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°，同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证；（2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证；（3）成立，，，证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD，∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD，又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN，∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证．7．在我们的数学课本上有这样一道练习题：已知，如图1所示，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D，E试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明．(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍．(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：已知，如图2，△ABC、△DEC均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，连接BE、AD，过C点作CP⊥BE于P，延长PC交AD于Q，试判断Q点在AD上的位置，并说明理由．【答案】(1)DE=BD+CE，理由见解析(2)点Q为AD的中点，理由见解析【解析】（1）DE=BD+CE，证明：∵由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，∴∠BDA=∠CEA=∠BAC=90°，∴∠DAB+∠EAC=90°，∠ECA+∠EAC=90°，∴∠DAB=∠ECA，在△ABD与△CEA中，，∴△ABD≌△CEA（AAS），∴BD=AE，DA=CE，∵DE=DA+AE，∴DE=BD+CE．（2）点Q为AD的中点．理由如下：作AM垂直CQ的延长线于点M，作DN⊥CQ，垂足为N，∴∠ACB=90，∠BPC=90°，∴∠ACM+∠BCP=90°，∠BCP+∠CBP=90°，∴∠ACM=∠CBP，在△ACM与△BCP中，，∴△ACM≌△CBP（AAS），∴AM=CP，同理可证△DCN≌△CEP，∴DN=CP，∴AM=DN，又∵∠AMQ=∠DNQ，∴∠AQM=∠DQN，在△AMQ与△DNQ中，，∴△AMQ≌△DNQ（AAS），∴AQ=DQ，即Q为AD中点．8．（1）模型的发现：如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．（2）模型的迁移1：位置的改变如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．（3）模型的迁移2：角度的改变如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．【答案】（1）DE＝BD+CE，理由见解析；（2）（1）的结论不成立，BD＝DE+CE，理由见解析；（3）（1）的结论成立，证明见解析．【详解】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠DAB＝∠ECA，在△DAB和△ECA中，∴△DAB≌△ECA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）BD＝DE+CE，证明如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵CE⊥直线l，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，在△BAD和△ACE中，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；（3）（1）的结论成立，理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC＝∠2，∴∠BAD＝∠ACE，在△DAB和△ECA中，∴△DAB≌△ECA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．9．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：．(2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分．(3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】（1）证明：∵，∴∵AD为的中线，∴，在和中，        ∴，∴．（2）证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H．又∵AE平分，∴，∵，∴，∵，∴，，∴在和中，    ∴，∴，∴，∴DE平分；（3）证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H．∵，AE平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，在和中，        ∴，∴，， 又∵，，∴，∵，，∴，在和中，    ∴，∴，，在和中，        ∴，∴，∴，即，∵，∴．10．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，．(1)求证；(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，过G作交直线MN于点H，求证；(3)如图3，点P为直线AB，CD之间一点，EQ，FQ分别平分和，探究与之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【解析】（1）证明：∵∠1+∠2=180°，又∵，∴，∴AB∥CD（2）证明： 由（1）知， AB∥CD∴．又∵与的角平分线交于点P，∴，∴，即，∵，∴．（3），证明如下：如图，∵AB∥CD，FQ平分，∴，∵平分，∴∴，∵，∴．11．在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．(1)如图1，当点在边上时，①若时，则____________°；②若时，则____________°；③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．(2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①140；②100；③，理由见解析(2)，理由见解析【解析】(1)①∵，∴，即．在和中，∴．∴，∴，∴，当时，．故答案为：140．②由①可得：，当时，．故答案为：100．③．方法一：∵，∴，即．在和中，，∴，∴，∴．方法二：∵，∴，即．在和中，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．即．(2)．∵，∴，即．在和中，∴，∴，∵，，∴．12．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．(1)求证：；(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)见解析(2)①；②存在，或【解析】（1）证明：∵BD⊥AC，∴，在Rt△BDA和Rt△BDC中，∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．∵AB平分∠MAN，∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，在△AHB和△ADB中，∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，∵S△ABP＝S△BQC，∴，∴，∴，∴．②存在，理由如下：当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，∵AB＝BC，又由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴，∴；当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴，∴．综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．13．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______；（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）；（2）见详解（3），证明见详解【详解】解：（1）如图1，∵是边上的中线，∴，又∵，，∴，∴，∵，即，∴．故答案为：；（2）如图4，延长ED到H，使得，连接DH、FH，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵在中，，∴；（3）结论：．证明：如图5，延长BC至H，使得，连接DH，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．14．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°．(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析；(3)见解析【解析】（1）证明：如图1中，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠CBD，∵∠AEC=∠BEF，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AF⊥BD．（2）解：成立．理由：如图2，∵∴∴在和中∴∴∵∴∴（3）如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，∴，∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．