七年级下册13.5 平行线的性质课时练习

这是一份七年级下册13.5 平行线的性质课时练习，文件包含沪教版数学七年级下册同步讲练第06讲平行线的性质原卷版doc、沪教版数学七年级下册同步讲练第06讲平行线的性质解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
一．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
二．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
三．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
一．平行线的性质（共10小题）
1．（2021春•浦东新区期末）如图，由AB∥CD可以得到（ ）
A．∠BAC＝∠DACB．∠DAC＝∠ACB
C．∠BAC＝∠DCAD．∠D+∠DCB＝180°
【分析】根据平行线的性质判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
2．（2021春•黄浦区期中）如图，AB∥EG∥DC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有（ ）个．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】运用两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等得到∠1的等角，由对顶角相等可得∠1的等角，利用等量代换也可得到∠1的等角，综上，结论可得．
【解答】解：∵AB∥EG，
∴∠1＝∠BAC．
∵EG∥CD，
∴∠1＝∠ACD．
∵AC∥EF，
∴∠1＝∠FEH，∠FEH＝∠EFD．
∴∠1＝∠EFD．
∵对顶角相等，
∴∠1＝∠GHC．
综上，与∠1相等的角有：∠BAC，∠ACD，∠FEH，∠EFD，∠GHC．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，准确找出与∠1相等的同位角，内错角是解题的关键．
3．（2021春•松江区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，DA＝DB，过点D作DE∥AB交边BC于点E，请说明∠BDE＝∠CDE的理由．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠DBA，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBA，∠CDE＝∠DAB，等量代换证明结论．
【解答】证明：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠DBA，∠CDE＝∠DAB，
∴∠BDE＝∠CDE．
【点评】本题考查的是平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（2021春•奉贤区期中）下列说法中，错误的的个数有（ ）
①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
③如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
④经过点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的性质，对顶角的定义以及垂线段最短进行判断即可．
【解答】解：①如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，原来的说法错误；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
③如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角不一定互补，原来的说法错误；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的概念以及垂线段的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；对顶角相等．
5．（2021春•普陀区期中）下列说法中，正确的有（ ）
①如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等；
②在同一平面内，经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质分别进行判断，即可求出答案．
【解答】解：①如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角不一定相等，应强调是两直线平行，故本选项错误；
②在同一平面内，经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
③联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确；
④如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，故本选项错误；
所以正确的有2个．
故选：C．
【点评】此题考查了平行公理及推论，用到的知识点是对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，是一道基础题．
6．（2021春•上海期中）已知AB∥CD，∠1＝95°，则∠2的度数是（ ）
A．85°B．75°C．65°D．55°
【分析】根据平行线的性质计算即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝95°，
∴∠2＝180°﹣95°＝85°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．
7．（2021秋•普陀区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．
求证：
（1）AE⊥BE；
（2）E是线段CD的中点．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD＝180°，再利用角平分线的定义可得：∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAD，从而可求解；
（2）过点E作EF∥AD，由平行线的性质可得EF∥BC，∠DAE＝∠AEF，结合角平分线的定义得∠DAE＝∠BAE，从而有∠BAE＝∠AEF，则有AF＝EF，同理可求得BF＝EF，故有AF＝BF，可得点F是AB的中点，即可得解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAD，
∵∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝90°，
∴AE⊥BE；
（2）过点E作EF∥AD，如图所示：
∴∠DAE＝∠AEF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
同理可证得：BF＝EF，
∴AF＝BF，
∴点F是AB的中点，
∴点E是CD的中点．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适应的辅助线，并熟记平行线的性质．
8．（2021春•浦东新区校级期中）（1）如图a所示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由；
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）如图a，过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）如图b，过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．
【解答】解：（1）如图a，过点E作EF∥AB；
∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知），
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）；
（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，
理由如下：如图b，过点E作EF∥AB，
∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠CEA+∠AEF＝∠2，
∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质），
∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换），
即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．
【点评】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
9．（2021秋•玉门市期末）如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分．
当动点P落在第（1）部分时，可得：∠APB＝∠PAC+∠PBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由
解：过点P作EF∥AC，如图2
因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD （平行线的传递性） ．
所以∠BPE＝∠PBD （两直线平行，内错角相等） ．
同理∠APE＝∠PAC．
因此∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD （等量代换） ，
即∠APB＝∠PAC+∠PBD．
（1）当动点P落在第（2）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式，不必说明理由．
（2）当动点P在第（3）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．
（3）当动点P在第（4）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．
【分析】根据平行线的传递性、平行线的性质填空；
（1）过点P作EF∥AC，如图3，根据平行线的性质、传递性和等式的基本性质可得出∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°；
（2）过点P作EF∥AC，如图4，根据平行线的性质、传递性可得出∠PAC＝∠APB+∠PBD；
（3）过点P作EF∥AC，如图5，根据平行线的性质、传递性可得出∠PAC+∠APB＝∠PBD．
【解答】解：过点P作EF∥AC，如图2
因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD （平行线的传递性）．
所以∠BPE＝∠PBD （两直线平行，内错角相等）．
同理∠APE＝∠PAC．
因此∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD（等式性质），
即∠APB＝∠PAC+∠PBD．
（1）过点P作EF∥AC，如图3，
因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD （平行线的传递性）．
所以∠BPF+∠PBD＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
同理∠APF+∠PAC＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
因此∠APF+∠BPF+∠PAC+∠PBD＝360°（等式的基本性质），
即∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°．
（2）过点P作EF∥AC，如图4，
∠PAC＝∠APB+∠PBD；
（3）过点P作EF∥AC，如图5，
∠PAC+∠APB＝∠PBD．
故答案为：平行线的传递性，两直线平行，内错角相等，等量代换）．
【点评】本题考查了平行线的性质以及数形结合思想的应用，是基础知识比较简单．
10．（2021春•青浦区期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．
【解答】（1）过点G作GE∥AB，
因为AB∥GE，
所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，
因为AB∥GE，AB∥CD，
所以GE∥CD（平行的传递性），
所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，
所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．
（2）过点G作GF∥AB，
因为AB∥GF，
所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），
因为AB∥GF，AB∥CD，
所以GF∥CD（平行的传递性），
所以∠C＝∠CGF，
所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，
因为∠A＝x°，∠C＝y°
所以∠AGC＝（x+y）°，
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），
∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），
∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），
∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），
∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，
∠FGC＝∠NFG+GCD，
而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．
【点评】本题考查平行线的性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．
二．平行线之间的距离（共3小题）
11．（2018春•虹口区期中）两条平行线间的距离是指（ ）
A．其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线
B．其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线的长
C．其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线段
D．其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线段的长
【分析】根据平行线之间的距离的定义，即可得出结论．
【解答】解：平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，牢记平行线之间的距离的定义是解题的关键．
12．（2011春•松江区期中）如图：直线a∥b，则图中与△BAD面积相等的三角形是 △CAD ．
【分析】分别过点B、C作c⊥a、d⊥a．根据平行线间的距离相等的性质知c＝d，所以与△BAD面积相等的三角形是与△BAD是同底AD的三角形△ACD．
【解答】解：如图，分别过点B、C作c⊥a、d⊥a．
∵a∥b，
∴c＝d（平行线间的距离相等）；
∴△BAD与△ACD是同底等高，
∴S△BAD＝S△CAD．
故答案是：△CAD．
【点评】考查的是两平行线之间的距离．即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离，两平行线间的距离都相等．
13．（2007春•浦东新区期末）如图，已知点E、F分别在长方形ABCD的边AB、CD上，且AF∥CE，AB＝3，AD＝5，那么AE与CF的距离是 5 ．
【分析】先判定四边形AECF是平行四边形，再根据平行线间的距离的定义，以及长方形的性质，AE与CF的距离等于点A到CD的距离，也就是AD的长度．
【解答】解：长方形ABCD中，AB∥CD，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE与CF的距离为AD的长度，
∵AD＝5，
∴AE与CF的距离是5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了平行线间的距离的定义，平行线间的距离等于一条平行线上任意一点到另一条平行线的垂线段的长度．
三．平行线的判定与性质（共8小题）
14．（2021春•闵行区期末）下列说法错误的是（ ）
A．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】A：应用平行公理进行判定即可得出答案；
B：根据平行公理的推论进行判定即可得出答案；
C：根据平行线的性质进行判定即可得出答案；
D：根据平行线的判定进行判定即可得出答案．
【解答】解：C项中应只有平行直线被第三条直线所载，同位角才相等，A、B、D项正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，熟练掌握平行线的判定与性质及平行公理及推论进行判定是解决本题的关键．
15．（2021春•青浦区期中）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的角平分线互相垂直
B．同一平面内，两条不重合的直线不平行就相交
C．两条直线的夹角α满足0°＜α＜90°
D．两直线相交所形成的角中，若有三个角相等，则两条直线垂直
【分析】利用平行线的判定与定理及有关定义、定理逐一判断即可．
【解答】解：A，如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的角平分线互相垂直，此说法正确；
B，同一平面内，两条不重合的直线不平行就相交，此说法正确；
C，两条直线的夹角α满足0°＜α＜90°，应该是0°＜α≤90°，故此说法错误；
D，两直线相交所形成的角中，若有三个角相等，则两条直线垂直，此说法正确．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟记有关定义、定理是解题的关键．
16．（2021春•杨浦区期中）下列说法中，正确的有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②从直线外一点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；
③两平行线间距离处处相等；
④平行于同一直线的两直线互相平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平行线公理及推论逐一判定．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
②从直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误；
③两平行线间距离处处相等，原说法正确；
④平行于同一直线的两直线互相平行，原说法正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定、点到直线的距离、平行线公理及推论．
17．（2021秋•普陀区期末）如图，已知∠ABC与∠DCB互补，AC⊥BD，如果∠A＝40°，那么∠D的度数是 50° ．
【分析】由平行线的判定与性质可求得∠ACD＝40°，结合垂线的定义可求解．
【解答】解：∵∠ABC与∠DCB互补，
∴AB∥CD，
∵∠A＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∵AC⊥BD，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∴∠D＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，垂线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
18．（2021春•闵行区期末）如图，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（ 邻补角的意义 ），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（ 等量代换 ）．
所以AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】第一空∠AHF与∠AHE互为邻补角，这里利用邻补角互补的性质，所以填““邻补角的意义““，第二空∠CGE与∠AHE都等于50°，所以填““等量代换““，第三空∠CGE与∠AHE为相等的同位角，由此得AB//CD，所以填“同位角相等，两直线平行“．
【解答】解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（邻补角的意义），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（等量代换）．
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：邻补角的意义；等量代换，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
19．（2021春•杨浦区期末）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1+∠2＝180°，CD⊥AB，请填写理由，说明GF⊥AB．
解：因为∠ADE＝∠B（已知），所以DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
得∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等 ）．
又因为∠1+∠2＝180°（已知），所以∠2+∠3＝180°（ 等量代换 ）．
所以 CD ∥ FG （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
所以∠FGB＝∠CDB（ 两直线平行，同位角相等 ）．
因为CD⊥AB（已知），所以∠CDB＝90°（垂直的意义）．
得∠FGB＝90°，
所以GF⊥AB（垂直的意义）．
【分析】利用平行线的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：∵∠ADE＝∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2+∠3＝180°（等量代换），
∴CD∥FG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠FGB＝∠CDB（两直线平行，同位角相等），
∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝90°（垂直的定义），
∴∠FGB＝90°，
∴GF⊥AB（垂直的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；FG；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
20．（2021春•浦东新区校级期中）如图，AF、BD、CE是直线，点B在直线AC上，点E在直线DF上．∠A＝∠F，∠C＝∠D．
说明∠1与∠2互补的理由．
解：因为∠A＝∠F（已知），
所以AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
所以 ∠D＝∠DBA （ 两直线平行，内错角相等 ）．
因为∠C＝∠D（已知），
所以∠C＝∠DBA（等量代换），
所以DB∥CE（ 同位角相等，两直线平行 ），
所以∠2+∠3＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
因为∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），
所以∠2+∠1＝180°（等量代换）．
【分析】利用平行线的性质和判定，填上推理依据即可．
【解答】解：因为∠A＝∠F（已知），
所以AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行）．
所以∠D＝∠DBA（两直线平行，内错角相等）．
因为∠C＝∠D（已知），
所以∠C＝∠DBA（等量代换），
所以DB∥CE（同位角相等，两直线平行），
所以∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠1＝∠3（对顶角相等），
所以∠2+∠1＝180°（等量代换）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；∠D＝∠DBA，两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，记住并熟练运用平行线性质和判定是解决此类问题的关键．
21．（2021春•黄浦区期中）如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°，请补充完成∠CGD＝∠CAB的推理过程．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°．
∴∠ADC＝∠EFC．
【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°，
∴∠ADC＝∠EFC，
∴AD∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AB，
∴∠CGD＝∠CAB．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2021春•松江区期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离
【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行公理定理逐一判断即可．
【解答】解：A，平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，A说法正确；
B，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，这一点必须在直线外，故B说法不正确；
C，平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，C说法正确；
D，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，D说法正确．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行公理，熟练掌握有关定理是解题的关键．
2．（2020春•金山区期末）如图，若l1∥l2，则下列结论错误的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠4＝∠2C．∠1+∠3＝180°D．∠5+∠3＝180°
【分析】根据平行线的性质及邻补角的定义求解判断即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠4＝∠2，正确，故B不符合题意；
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°，正确，故C不符合题意；
∵∠3和∠5是邻补角，
∴∠5+∠3＝180°，正确，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
3．（2020•邹城市一模）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32°B．68°C．60°D．58°
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
【解答】解：根据题意可知，∠2＝∠3，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝58°．
故选：D．
【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
4．（2020•周村区二模）若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（ ）
A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2
C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°
【分析】由折叠可得，∠2＝∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ABD＝2∠2．
【解答】解：如图，由折叠可得，∠2＝∠ABC，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ABD＝2∠2，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
5．（2020春•嘉定区期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝70°，那么∠2的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
6．（2020春•浦东新区校级期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝110°，∠2＝120°，那么∠3的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】先利用平行线的性质求出∠4，再利用三角形的外角与内角关系求出∠3．
【解答】解：如图所示：∵l1∥l2，
∴∠1+∠4＝180°．
∵∠1＝110°，
∴∠4＝70°．
∵∠2＝∠3+∠4，
∴∠3＝∠2﹣∠4
＝120°﹣70°
＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理的推论．解决本题亦可在∠3的顶点处作直线l1的平行线l，利用平行线的性质和平角求出∠3．
7．（2020春•普陀区期末）如图，已知直线a、b被直线c所截，a∥b，下列结论中错误的（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠2+∠3＝180°D．∠1+∠4＝180°
【分析】利用平行线的性质、对顶角相等求解判断即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，故A正确，不符合题意；
∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3，故，B正确，不符合题意；
∵a∥b，
∴∠1+∠4＝180°，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质、对顶角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共9小题）
8．（2021•嘉定区三模）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，如果被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝37°，那么∠2的度数为 74° ．
【分析】根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠4＝37°，再利用平角的定义得∠3＝106°，然后利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠2＝74°．
【解答】解：
∵∠1＝∠4＝37°，
∴∠3＝180°﹣37°﹣37°＝106°，
∵m∥n，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝74°，
故答案为：74°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
9．（2021春•松江区期中）如图，如果AD∥BC，下列结论正确的是 ② ．（将正确的编号填写在横线上）
①∠B＝∠D；②∠DAC＝∠ACB；③∠BAC＝∠ACD；④∠B+∠DCB＝180°．
【分析】根据AD∥BC，利用平行线的性质逐一推理即可找出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB（两直线平行，内错角相等），
故②正确，
①、③、④由AD∥BC无法求证，故①、③、④错误，
故答案为：②．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线形成角的关系是解题关键．
10．（2021春•西吉县期末）如图，∠ABC与∠DEF的边BC与DE相交于点G，且BA∥DE，BC∥EF，如果∠B＝54°，那么∠E＝ 126° ．
【分析】根据平行线的性质得∠B＝∠CGE＝54°，∠CGE+∠E＝180°，即可求解．
【解答】解：∵BA∥DE，∠B＝54°，
∴∠B＝∠CGE＝54°．
∵BC∥EF，
∴∠CGE+∠E＝180°，
∴∠E＝126°，
故答案为：126°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
11．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，已知a∥b，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝ 75 度．
【分析】根据平行线的性质和∠1的度数得到∠4，再利用平角的性质可得∠3的度数．
【解答】解：如图：
∵a∥b，∠1＝70°，
∴∠4＝∠1＝70°．
∵∠2＝35°，
∴∠3＝180°﹣70°﹣35°＝75°．
故答案为：75．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
12．（2021春•浦东新区期中）如图，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，则∠BCE＝ 93 °．
【分析】由AB∥CD得∠DCB＝∠ABC，∠1＝27°，求出∠BCE．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCB＝∠ABC＝120°，
又∵∠1＝27°，
∴∠BCE＝93°，
故答案为93．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是求出∠DCB．
13．（2021春•杨浦区期中）如图，已知AB∥CD，如果∠1＝100°，∠2＝120°，那么∠3＝ 40 度．
【分析】过F作FG平行于AB，由AB与CD平行，得到FG与CD平行，利用两直线平行同位角相等，同旁内角互补，得到∠1＝∠EFG＝100°，∠2+∠GFC＝180°，即可确定出∠3的度数．
【解答】解：如图：过F作FG平行于AB，
解：过F作FG∥AB，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠1＝∠EFG＝100°，
∠2+∠GFC＝180°，即∠GFC＝60°，
∴∠3＝∠EFG﹣∠GFC＝100°﹣60°＝40°．
故答案为：40．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
14．（2021春•普陀区期中）如图，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，∠DEF＝52°，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，则下列结论中，正确的序号是 ①③④ ．
①∠BFE＝52°；②∠BMG＝52°；③∠AEG＝76°；④∠BFH＝76°．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可判断①，根据平行线的性质，折叠性质，利用角的和差判断④，根据平角定义及折叠性质可判断②，根据平角定义可判断③．
【解答】解：四边形ABCD是长方形，
∴∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，
∵∠DEF＝52°，
∴∠BFE＝∠DEF＝52°，①正确；
∵AD∥BC，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝128°，
由折叠得，∠DEF＝∠GEF，∠EFC＝∠EFH，∠G＝∠D＝90°，∠C＝∠H＝90°，
∴∠BFH＝∠EFH﹣∠EFB＝128°﹣52°＝76°，④正确；
∵∠H+∠BFH+∠HBC＝180°，
∴∠HMC＝180°﹣90°﹣76°＝14°，
∵∠BMG＝∠HMC，
∴∠BMG＝14°，②错误；
∵∠AEG+∠GEF+∠DEF＝180°，
∴∠AEG＝180°﹣52°﹣52°＝76°，③正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
15．（2021春•普陀区期中）如图，直线a、b被直线c、d所截，如果∠1＝∠2，∠3＝105°，那么∠4度数为 75° ．
【分析】求出∠5，根据平行线的判定得出直线a∥直线b，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：
∵∠3＝105°，
∴∠5＝180°﹣∠3＝75°，
∵∠1＝∠2，
∴直线a∥直线b，
∴∠4＝∠5＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，能求出直线a∥直线b是解此题的关键．
16．（2021春•青浦区期中）已知∠A＝30°，∠A的两边与∠B的两边分别平行，∠B＝ 30°或150° ．
【分析】根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能可能相等也可能互补，即可得出答案．
【解答】解：当∠A的两边与∠B的两边如图1所示时，∠B＝∠A＝30°；
当∠A的两边与∠B的两边如图1所示时，∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
三．解答题（共11小题）
17．（2021春•静安区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请说明AD∥BC的理由．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠4＝∠BAE（ 两直线平行，同位角相等 ），
因为∠3＝∠4（已知），
所以∠3＝∠BAE（ 等量代换 ），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝ ∠DAC ．
所以∠3＝ ∠DAC ．（等量代换）
因此AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】首先由平行线的性质可得∠4＝∠BAE，然后结合已知，通过等量代换推出∠3＝∠DAC，最后由内错角相等，两直线平行可得AD∥BC．
【解答】证明：因为AB∥CD（已知），
所以∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），
因为∠3＝∠4（已知）
所以∠3＝∠BAE（等量代换），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2，
即∠BAE＝∠DAC，
所以∠3＝∠DAC，
因此AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；∠DAC；∠DAC；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
18．（2021春•浦东新区期末）如图，∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分线，且BF∥CD，求∠C的度数．
【分析】根据∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分线，可以得到∠ABF＝∠FBE＝40°，再根据BF∥CD，可以得到∠ABF＝∠C，从而可以求得∠C的度数．
【解答】解：∵BF是∠ABE的平分线，
∴∠ABF＝∠ABE，
∵∠ABE＝80°，
∴∠ABF＝40°，
∵BF∥CD，
∴∠C＝∠ABF，
∴∠C＝40°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟记角平分线的定义及“两直线平行，同位角相等”是解答本题的关键．
19．（2021春•松江区期末）阅读并填空：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
请说明∠GDB＝∠C的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
所以∠ADC＝∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ）．
所以EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
所以∠1+∠2＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
又因为∠2+∠3＝180°（已知），
所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．
所以 AC ∥ DG （内错角相等，两直线平行）．
所以∠GDB＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等，两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AC∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠GDC＝∠BC（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；AC；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，同位角相等”．
20．（2021春•青浦区期中）如图，已知AB∥CD，∠DAE＝∠CAB，∠ACB＝∠EFC，请说明AD∥BC．
【分析】由已知和平行线的性质可得到∠ACD＝∠DAE，再有三角形的外角定理得到∠ACD＝∠E，最后等量代换即可求解．
【解答】解：∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB，
又∵∠BCD＝∠E+∠EFC，
∴∠ACD+∠ACB＝∠E+∠EFC，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴∠ACD＝∠E，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴∠E＝∠DAE，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握有关的定理是解题的关键．
21．（2021春•金山区期末）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
【分析】由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD＝180°可得到∠CEF＝∠COD，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定方法是解决本题的关键．
22．（2021春•上海期中）如图，已知直线AB∥EF，AB∥CD，∠ABE＝50°，EC平分∠BEF，求∠DCE的度数．
【分析】根据AB||EF可求∠BEF，根据EC平分∠BEF可求∠CEF，根据平行公理的推论可知CD||EF，从而∠DCE可求．
【解答】解：∵AB∥EF，∠ABE＝50°，
∴∠ABE＝∠BEF＝50°，
∵EC平分∠BEF，
∴∠CEF＝∠BEF＝25°，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠CEF+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣25°＝155°．
【点评】本题考查了平行线的性质、平行公理及角平分线的定义，根据题目条件推出CD||EF是解决本题的关键．
23．（2021春•浦东新区月考）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，试说明FG与BC的位置关系．
【分析】易得DE∥CF，推出∠1＝∠2＝∠BCF，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：FG∥BC，
理由是：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥CF，
∴∠1＝∠BCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
24．（2021春•浦东新区期中）如图：∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D，则∠A＝∠F吗？请说明理由．答：
解：
【分析】由已知可得BD∥CE，从而可得∠C＝∠ABD，可推出DF∥AC，即可得到∠A＝∠F．
【解答】解：∠A＝∠F，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠AGC，
∴∠1+∠AGC＝180°，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠ABD，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F．
【点评】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是根据已知推导BD∥CE和DF∥AC．
25．（2021春•浦东新区期中）如图，AB∥CD，∠B＝55°，∠D＝125°，试说明：BC∥DE．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠C＝∠B（ 两直线平行，内错角相等 ），
又∵∠B＝55°（已知），
∴∠C＝ 55 °（ 等量代换 ），
∵∠D＝125° （ 已知 ），
∴ ∠C+∠D＝180° ，
∴BC∥DE（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质与判定即可补充说理过程．
【解答】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠C＝∠B（两直线平行，内错角相等），
又∵∠B＝55°（已知），
∴∠C＝55°（等量代换），
∵∠D＝125° （已知），
∴∠C+∠D＝180°，
∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；55；等量代换；已知；∠C+∠D＝180°；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
26．（2021春•奉贤区期中）已知，如图，已知AB∥CD，BE⊥DE，那么∠B+∠D是多少度？为什么？
解：过点E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
因为AB∥CD（已知），EF∥AB（已作），
所以EF∥CD（ 平行于同一直线的两条直线平行 ）．
得 ∠D+∠DEF＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（ 等式的性质 ）．
即∠B+∠BED+∠D＝360°．
因为BE⊥DE，
所以∠BED＝90°（ 垂直的定义 ）．
所以∠B+∠D＝ 270° °（等式性质）．
【分析】根据平行线的性质定理、判定定理等即可得到答案．
【解答】解：过点E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
因为AB∥CD（已知），EF∥AB（已作），
所以EF∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）．
得∠D+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（等式的性质）．
即∠B+∠BED+∠D＝360°．
因为BE⊥DE，
所以∠BED＝90°（垂直的定义）．
所以∠B+∠D＝270°°（等式性质）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，平行于同一直线的两条直线平行，∠D+∠DEF＝180°，等式的性质，垂直的定义，270°．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质定理、判定定理是解题的关键．
27．（2021春•松江区期中）如图所示，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°．请填写∠CGD＝∠CAB的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（ 已知 ）
所以∠ADC＝90°，∠EFD＝90°（ 垂直定义 ）
得∠ADC＝∠EFD（等量代换），
所以AD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ）
得∠2+∠3＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
由∠1+∠2＝180°（ 已知 ）
得∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ）
所以DG∥AB（ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠CGD＝∠CAB（ 两直线平行，同位角相等 ）
【分析】求出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠3＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定义），
∴∠ADC＝∠EFD，
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（同角的补角相等），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：已知，垂直定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，已知，同角的补角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
题组B 能力提升练
一．选择题（共2小题）
1．（2021春•罗湖区校级期中）如图，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，则图中与∠CBD相等的角除了∠CDB外还有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】如图，设MN交BD于点O．首先证明四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质，平行线的性质即可判断．
【解答】解：如图，设MN交BD于点O．
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠CBD＝∠CDB，
∴CD＝CB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC，∠ABD＝∠CBD，∠CDB＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB，
∵CD∥MN，
∴∠CDB＝∠MOD，
∵∠MOD＝∠BON，
∴∠MOD＝∠BON＝∠CDB，
∴与∠CDB相等的角有4个（除了∠CDB外）．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2020春•虹口区期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝65°，那么∠4的度数是（ ）
A．65 B．95 C．105 D．115
【分析】根据平行线的判定得出a∥b，根据平行线的性质得出∠4+∠5＝180°，求出∠5即可．
【解答】解：
∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4+∠5＝180°，
∵∠3＝65°，
∴∠5＝∠3＝65°，
∴∠4＝180°﹣65°＝115°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
二．填空题（共4小题）
3．（2021春•青浦区期中）如图，直线a、b被直线l所截，且a∥b，∠1＝（5x﹣20）°，∠2＝（3x+20）°，那么∠1＝ 80 °．
【分析】根据两直线平行，同位角相等即可知∠1＝∠2，求出x即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2（两直线相等，同位角相等），
∴（5x﹣20）°＝（3x+20）°，
∴x＝20°，
∴∠1＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等的性质是解题关键．
4．（2021春•浦东新区期中）如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是 60° ．
【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．
【解答】
解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，
∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，
∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，
过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥FN∥BM∥CE，
∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，
∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，
∵∠F的余角等于2∠B的补角，
∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），
解得：x＝30，
∴∠BAH＝60°，
故答案为：60°
【点评】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
5．（2020春•闵行区期末）如图，已知直线a∥b∥c，△ABC的顶点B、C分别在直线b、c上，如果∠ABC＝60°，边BC与直线b的夹角∠1＝25°，那么边AB与直线a的夹角∠2＝ 35 度．
【分析】证明∠ABC＝∠1+∠2即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵a∥b∥c，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，
∴∠ABC＝∠2+∠1．
∵ABC＝60°，∠1＝25°，
∴∠2＝60°﹣25°＝35°，
故答案为35．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2020春•浦东新区期末）如图，直线a∥b且直线c与a、b相交，若∠1＝70°，则∠2＝ 110 °．
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝70°，
∴∠3＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝110°，
故答案为110．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题）
7．（2021春•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且DF∥AB，∠1＝∠A，试说明DE∥AC的理由．
解：因为DF∥AB （ 已知 ），
所以∠1+ ∠DEA ＝180° （ 两直线平行同旁内角互补 ）．
因为∠1＝∠A（已知），
所以∠A+ ∠DEA ＝180° （ 等量代换 ）．
所以DE∥AC （ 同旁内角互补两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定、等量代换及平行线的判定逐一求解即可．
【解答】解：因为DF∥AB （已知），
所以∠1+∠DEA＝180° （两直线平行同旁内角互补）．
因为∠1＝∠A（已知），
所以∠A+∠DEA＝180° （等量代换）．
所以DE∥AC （同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：已知，∠DEA，两直线平行同旁内角互补，∠DEA，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的性质及平行线的判定、等量代换．
8．（2021春•杨浦区期中）如图，已知AB∥CD，直线MN分别交直线AB、CD于点E、F，射线EG、FH分别平分∠AEF、∠DFE，试说明EG∥FH的理由．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠AEF＝∠DFE（ 两直线平行内错角相等 ），
因为射线EG、FH分别平分∠AEF、∠DFE（已知），
所以∠ GEF ＝∠AEF，
∠ EFH ＝∠EFD （ 角平分线的定义 ）．
所以 ∠GEF＝∠EFH （等式性质）．
所以EG∥FH（ 内错角相等两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义及平行线的判定逐一求解即可．
【解答】解：因为AB∥CD（已知），
所以∠AEF＝∠DFE（两直线平行内错角相等），
因为射线EG、FH分别平分∠AEF、∠DFE（已知），
所以∠GEF＝∠AEF，
∠EFH＝∠EFD （角平分线的定义）．
所以∠GEF＝∠EFH（等式性质）．
所以EG∥FH（内错角相等两直线平行）．
故答案为：两直线平行内错角相等；GEF；EFH；角平分线的定义；∠GEF＝∠EFH；内错角相等两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的性质、角平分线的定义及平行线的判定．
9．（2021春•杨浦区期中）已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图①，点E在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数；
（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为 （直接写出答案）．
【分析】（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；
（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解；
（3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．
【解答】解：（1）∵+（β﹣60）2＝0，
∴α＝30，β＝60，
∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝60°，
∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，
∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；
（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．
理由如下：过点E作直线EH∥AB，
∵DF平分∠CDE，
∴设∠CDF＝∠EDF＝x°；
∵EH∥AB，
∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，
∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；
∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，
即∠DEF+2∠CDF＝150°；
（3）如图3，设MQ与CD交于点E，
∵MQ平分∠BMT，QC平分∠DCP，
∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ，
∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND，
∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ，
∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ，
∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD，
∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB，
∴∠CPM＝2∠Q，
∴∠Q与∠CPM的比值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．（2021春•普陀区期中）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
（1）当点M在如图①的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系．
解： 过点M作MN∥AB ．（根据如图填射线MN的画法）
因为AB∥CD，
所以 MN ∥ AB ∥ CD （ 如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行 ）．
所以∠D＝∠NMD（两直线平行，内错角相等）；
（请继续完成接下去的说理过程）
（2）当点M在如图②的位置时，∠MAB与∠D的数量关系是 ∠MAB﹣∠D＝90° （直接写出答案）；
（3）在（2）的条件下，如图③，过点M作ME⊥AB，垂足为点E，∠EMA与∠EMD的平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）；
图中与∠MAB相等的角是 ∠EMD ，∠FMG＝ 45 度．
【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；
（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；
（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图①，过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
∴∠D＝∠NMD．
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠NMA＝180°．
∴∠MAB+∠AMB+∠DMN＝180°．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB+∠DMN＝90°．
∴∠MAB+∠D＝90°．
故答案为：过点M作MN∥AB；MN，AB，CD；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行．
（2）如图②，过点M作MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠AMN＝180°．
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD．
∴∠D＝∠NMD．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．
∴∠AMN＝90°﹣∠D．
∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．
∴∠MAB﹣∠D＝90°．
即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．
故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．
（3）如图③，
∵ME⊥AB，
∴∠E＝90°．
∴∠MAE+∠AME＝90°
∵∠MAB+∠MAE＝180°，
∴∠MAB﹣∠AME＝90°．
即∠MAB＝90°+∠AME．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．
故答案为：∠MAB＝∠EMD．
∵MF平分∠EMA，
∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．
∵MG平分∠EMD，
∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．
∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，
∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．
∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，
∴∠FMG＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．
11．（2021春•上海期中）如图，已知∠A＝∠C，EF∥DB．说明∠AEF＝∠D的理由．
解：因为∠A＝∠C（已知），
所以AB∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
所以∠D＝∠B （ 两直线平行，内错角相等 ）．
又因为EF∥DB（已知），
所以∠AEF＝∠B （ 两直线平行，同位角相等 ）．
又因为∠D＝∠B（已证），
所以∠AEF＝∠D （ 等量代换 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质即可说明理由．
【解答】解：因为∠A＝∠C（已知），
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
所以∠D＝∠B （两直线平行，内错角相等）．
又因为EF∥DB（已知），
所以∠AEF＝∠B （两直线平行，同位角相等）．
又因为∠D＝∠B（已证），
所以∠AEF＝∠D （等量代换）．
故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
12．（2021春•济宁期末）如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°．请填写∠CGD＝∠CAB的理由．
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90° （ 垂直定义 ），
∴∠ADC＝∠EFC，
∴AD∥ EF （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠ 3 +∠2＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠ 1 ＝∠ 3 （ 同角的补角相等 ），
∴DG∥ AB （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠CGD＝∠CAB．
【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可．
【解答】解：∠CGD＝∠CAB，理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定义），
∴∠ADC＝∠EFD，
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CGD＝∠CAB．
故答案为：垂直定义；EF；同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同旁内角互补；1；3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
13．（2021春•宣化区期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；
（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC的度数．
【解答】解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角相等⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
14．（2017春•浦东新区期中）已知，OB∥AC，∠B＝∠A＝110°，试回答下列问题：
（1）如图①，说明BC∥OA的理由．
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC等于 35 度；（在横线上填上答案即可）．
（3）在（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
（4）在（2）的条件下，如果平行移动AC的过程中，如图③，若使∠OEB＝∠OCA，此时∠OCA等于 52.5 度．（在横线上填上答案即可）．
【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明．
（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA，算出结果．
（3）先得出结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化，理由为：由BC与AO平行，得到一对内错角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证；
（4）由（2）（3）的结论可得．
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝110°，
∴∠BOA＝70°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF，又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝35°；
故答案为：35；
（3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为：
∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2；
（4）由（1）知：OB∥AC，
则∠OCA＝∠BOC，
由（2）可以设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
则∠OCA＝∠BOC＝2α+β，
∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴2α+β＝α+2β，
∴α＝β，
∵∠AOB＝70°，
∴α＝β＝17.5°，
∴∠OCA＝2α+β＝35°+17.5°＝52.5°．
故答案为：52.5．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
15．（2017春•普陀区期中）如图，已知∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G，为什么？
解：因为∠BAE+∠AED＝180°（已知），
所以AB∥CD （ 已知 ）
所以∠BAE＝∠AEC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
因为∠1＝∠2（ 已知 ）
而∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2，
所以∠FAE＝∠GEA （ 等式的性质 ）
所以AF∥EG （ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠F＝∠G（ 两直线平行，内错角相等 ）
【分析】先根据题意得出AB∥CD，故可得出∠BAE＝∠AEC，再由∠1＝∠2得出∠FAE＝∠GEA，进而可得出AF∥EG，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠BAE+∠AED＝180°（ 已知 ），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAE＝∠AEC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2，
∴∠FAE＝∠GEA （等式的性质），
∴AF∥EG（内错角相等，两直线平行），
∴∠F＝∠G（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平；已知；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．