沪教版数学七年级下册同步讲练第13章 相交线 平行线（压轴30题专练）（2份，原卷版+解析版）

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第13章 相交线 平行线（压轴30题专练）一．选择题（共5小题）1．（2020春•固安县期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”他们四人中，有（　　）个人的说法是正确的．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案；【解答】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，（1）若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB．（2）若∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BFE．（3）由题意知，EF∥DC，∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，如下图，①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，即∠AGD一定大于∠BFE；②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，如图，设DG∥BC，当点G′在点G的上方时，∵∠AG′D＞AGD，由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；当点G″在点G的下方时，见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，综上，∠AGD不一定大于∠BFE；（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；综上知：正确的说法有两个．故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定．2．（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，题目难度较大．3．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度数．【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，∴∠EFC+∠EFC'＝200°，∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A．【点评】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．4．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（　　）A．30° B．42° C．45° D．50°【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质得到AP⊥BC，进而得到∠PAD＝90°；设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，用x的代数式表示出∠PAC的度数，设∠BDP＝∠CDP＝y，在等腰三角形ADC中用x，y的代数式表示出∠DAC，利用∠PAD＝90°列出等式，求得x+y的值，则∠ADP＝45°，在Rt△APD中，结论可求．【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB．∴AB＝AD．同理：AC＝AD．∴AB＝AC．∵AP平分∠BAC，∴AP⊥BC．∵AD∥BC，∴AP⊥AD．∴∠PAD＝90°．设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，∴∠ABC＝2x．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝2x．∴∠PAC＝90°﹣2x．∵DP平分∠BDC，∴设∠BDP＝∠CDP＝y，∴∠BDC＝2y．∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y．∵AC＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y．∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）．∵∠PAD＝90°，∴∠PAC+∠DAC＝90°．∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°．整理得：x+y＝45°，∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y，∴∠ADP＝45°．∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用等腰三角形的性质得到∠PAD＝90°是解题的关键．5．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．二．填空题（共9小题）6．（2018秋•嵩县期末）如图，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是　∠2+∠4＝∠1+∠3　．【分析】分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，由平行线的性质可知，∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，所以∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．【解答】解：分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，∵m∥n，∴P1C∥P2D∥m∥n，∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，∴∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．故答案为：∠2+∠4＝∠1+∠3．【点评】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等．7．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝　105°或75°　时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．【分析】可分两种情况：当AB⊥直线CD时，AB，BO分别交DC的延长线于M，N点；当AB⊥CD时，AB，AO分别交CD于点E，F，结合三角板的特征计算可求解．【解答】解：当AB⊥直线CD时，AB，BO分别交DC的延长线于M，N点，如图，∴∠BMN＝90°，∵∠B＝45°，∴∠CNO＝∠BNM＝45°，∵∠DCO＝60°，∠DCO＝∠CNO+∠BOC，∴∠BOC＝60°﹣45°＝15°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+15°＝105°；当AB⊥CD时，AB，AO分别交CD于点E，F，∴∠AEC＝90°，∵∠A＝45°，∴∠CFO＝∠AFE＝90°﹣45°＝45°，∵∠CFO＝∠AOD+∠D，∠D＝30°，∴∠AOD＝45°﹣30°＝15°，∵∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝90°﹣15°＝75°．综上，∠AOC的度数为105°或75°．【点评】本题主要考查垂线，角的计算，正确掌握三角形的特征是解题的关键．8．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝　88°　．【分析】先求出∠CAB＝120°，在求出∠CAF的度数，在△ACE中求出∠ACE度数，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，进而表示出∠ACF，再表示出∠ACE，求出x，进一步可求得结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，∵∠BAE：∠CAE＝2：3，∴∠CAE＝120×＝72°，∵∠AEC＝78°，∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE＝180°﹣78°﹣72°＝30°，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，∴60°﹣3x＝30°，∴x＝10°，∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE＝180°﹣20°﹣72°＝88°，故答案是：88°．【点评】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，角的和差关系等知识，解决问题的关键是弄清角与角的数量关系．9．（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有 　3　个．【分析】根据平行线的性质由AC′∥BD′，得到∠C′EF＝∠EFB＝32°；根据折叠的性质得∠C′EF＝∠FEC，则∠C′EC＝2×32°＝64°，利用平角的定义得到∠AEC＝180°﹣64°＝116°；再根据折叠性质有∠BFD＝∠EFD′，利用平角的定义得到∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°；根据平行线性质可得∠BGE＝∠C′EC＝2×32°．【解答】解：∵AC′∥BD′，∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确；∵∠C′EF＝∠FEC，∴∠C′EC＝2×32°＝64°，∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°＝6960′，所以②错误；∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确；∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确．故答案为3．【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．10．（2021春•遵义期末）同一平面内有n条不重合直线，其中任何两条都不平行，则它们相交所成的角中最小角的度数不超过 　　．【分析】运用特殊到一般的思想进行分析．【解答】解：当同一平面内有2条不重合的直线，若使得它们相交所成的角中最小角最大，当这2条直线相交形成的夹角均相等，则这2条直线相交所成的角中最小角最大为；当同一平面内有3条不重合的直线，若使得它们相交所成的角中最小角最大，当这3条直线相交形成的夹角均相等，则这3条直线相交所成的角中最小角最大为；当同一平面内有4条不重合的直线，若使得它们相交所成的角中最小角最大，当这4条直线相交形成的夹角均相等，则这4条直线相交所成的角中最小角最大为；…以此类推，当同一平面内有n条不重合的直线，若使得它们相交所成的角中最小角最大，当这n条直线相交形成的夹角均相等，则这n条直线相交所成的角中最小角最大为．故答案为：．【点评】本题主要考查角的定义，熟练运用从特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．11．（2021春•长葛市期末）将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　①②③④　（填写序号）．【分析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，故①正确；②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，∴∠CAD+∠2＝180°，故②正确；③∵∠2＝30°，∴∠1＝∠E＝60°，∴AC∥DE，故③正确；④∵∠2＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∴BC∥AD，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．12．（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　度．【分析】本题的关键是作过P1的辅助线MN∥AB，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题．【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴＝．．以此类推：，，...，．故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．【点评】主要考查平行线的性质及角平分线的定义，利用归纳推理的思想解决．13．（2021春•襄城县月考）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为　40°或140°　．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．14．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 　30或120　．【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，①DE在MN上方时，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，∴t＝30，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDP＝∠MPA，∵MN∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合题意，舍去），（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴AI∥DF，∴∠FDN+∠MIA＝90°，∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，∴t＝120，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，∴AC∥DE，∴∠AIM＝∠MDE，∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合题意，舍去），综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．故答案为：30或120．【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．三．解答题（共16小题）15．（2021春•乌海期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥　BC　（　内错角相等，两直线平行　）∴∠EDC＝∠5（　两直线平行，内错角相等　）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝　∠A　 （　等量代换　）∴DC∥AB（　同位角相等，两直线平行　）∴∠5+∠ABC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（　等量代换　）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（　同旁内角互补，两直线平行　）．【分析】可先证明BC∥AF，可得到∠A+∠ABC＝180°，结合条件可得∠2+∠3+∠5＝180°，可得到∠1+∠3+∠5＝180°，可证明BE∥CF．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝∠A （等量代换）∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行）∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）；故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．16．（2020秋•雁江区期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．（1）按照小明的思路，求∠APC的度数；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可；（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（2）∠APC＝∠α+∠β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA＝∠α﹣∠β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA＝∠β﹣∠α．【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．17．（2021春•上海期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，如图2，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　110°　；请说明理由；问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．故答案为110°．（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．18．（2021春•黄浦区期中）如图，已知∠A＝∠C，EF∥DB．说明∠AEF＝∠D的理由．解：因为∠A＝∠C（已知） 所以　AB　∥　CD　（　内错角相等，两直线平行　）所以∠D＝∠B （　两直线平行，内错角相等　）又因为EF∥DB （已知）所以∠AEF＝∠B （　两直线平行，同位角相等　）又因为∠D＝∠B （已证）所以∠AEF＝∠D （　等量代换　）【分析】根据∠A＝∠C可得到AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠D，首先根据EF∥BD可得到∠AEF＝∠B，再由（1）中证出的∠B＝∠D可利用等量代换得到∠AEF＝∠D．【解答】解：因为∠A＝∠C，（已知）所以 AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）所以∠D＝∠B，（两直线平行，内错角相等）又因为EF∥DB，（已知）所以∠AEF＝∠B（两直线平行，同位角相等）又因为∠D＝∠B （已证）所以∠AEF＝∠D （ 等量代换）故答案为：AB，CD，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，等量代换．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定定理与性质定理．19．（2020春•崇明区期中）如图a，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠BFE＝70°，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b．（1）图a中，∠AEG＝　40　°；（2）图a中，∠BMG＝　50　°；（3）图b中，∠EFN＝　30　°．【分析】（1）先根据∠BFE＝70°求出∠HFM的度数，进可得出∠EFC的度数，根据平行线的性质求出∠DEF的度数，由平角的定义即可得出结论；（2）由（1）知，∠HFM＝40°，再由翻折变换的性质得出∠H＝∠C＝90°，由三角形内角和定理得出∠HMF的度数，根据对顶角相等即可得出结论；（3）先根据图形翻折变换的性质得出∠MFN＝∠HFM＝40°，再由∠BFE＝70°即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠BFE＝70°，∴∠HFM＝180°﹣140°＝40°．∴∠EFC＝70°+40°＝110°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝180°﹣110°＝70°，∴∠GEF＝∠DEF＝70°，∴∠AEG＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：40；（2）∵由（1）知，∠HFM＝40°，∠H＝∠C＝90°，∴∠HMF＝90°﹣40°＝50°．∵∠HMF与∠BMG是对顶角，∴∠BMG＝∠HMF＝50°．故答案为：50；（3）∵△MNF由△MHF翻折而成，∴∠MFN＝∠HFM＝40°，∵∠BFE＝70°，∴∠EFN＝∠BFE﹣∠MFN＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．20．（2019春•静安区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．②请说明理由．【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．【解答】解：（1）过点E作EF∥AB；∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行的传递性），∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知）∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）；（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，说理如下：过点E作EF∥AB∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行的传递性），∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），即∠CEA+∠AEF＝∠2∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质）∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换），即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°【点评】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．21．（2019春•闵行区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）若OC恰好是∠AOE的平分线，则OA是∠COF的平分线吗？请说明理由；（2）若∠EOF＝5∠BOD，求∠COE的度数．【分析】（1）利用角平分线的性质和垂直的定义易得∠AOC＝＝45°，再由OF⊥CD，可得∠COF＝90°，易得∠AOF，由垂直的定义可得结论；（2）设∠AOC＝x，易得∠BOD＝x，可得∠COE＝90°﹣x，∠EOF＝180°﹣x，利用∠EOF＝5∠BOD，解得x，可得∠COE．【解答】解：（1）OA是∠COF的平分线．∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵OC恰好是∠AOE的平分线，∴∠AOC＝＝45°，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，∴OA是∠COF的平分线；（2）设∠AOC＝x，∴∠BOD＝x，∵∠AOE＝90°，∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣x，∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝90°﹣x+90°＝180°﹣x，∵∠EOF＝5∠BOD，∴180°﹣x＝5x，解得x＝30，∴∠COE＝90°﹣30°＝60°．【点评】本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，设∠AOC＝x，利用方程是解答此题的关键．22．（2018春•浦东新区期末）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，已知：∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．找出图中所有的平行线，并说明理由．【分析】根据平行线的判定方法即可解决问题；【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴BF∥CE，∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2+∠3＝180°，∴BC∥EF．【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型．23．（2018春•闵行区期末）如图，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，请说明BF∥EG的理由．（请写出每一步的依据）【分析】直接利用平行线的判定与性质得出∠FBE＝∠BEG，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABE+∠CEB＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠ABE＝∠BED（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（等式的基本性质），∴∠FBE＝∠BEG（等量代换），∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，得出∠ABE＝∠BED是解题关键．24．（2017秋•市南区期末）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE的延长线交CD于点F，∠1+∠2＝90°，求证：（1）AB∥CD；（2）∠2+∠3＝90°．【分析】（1）根据角平分线定义得出∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠ABD+∠BDC＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．【解答】证明：（1）∵∠ABD和∠BDC的平分线交于E，∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴AB∥CD；（2）∵BF平分∠ABD，∴∠ABF＝∠1，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2+∠3＝90°．【点评】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能根据平行线的判定得出AB∥CD是解此题的关键．25．（2018春•浦东新区期中）作图并写出结论：如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N，线段　PN　的长表示点P到直线BO的距离；线段　PM　的长表示点M到直线AO的距离； 线段ON的长表示点O到直线　PN　的距离；点P到直线OA的距离为　0　．【分析】先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．【解答】解：如图所示：线段PN的长表示点P到直线BO的距离；线段PM的长表示点M到直线AO的距离； 线段ON的长表示点O到直线PN的距离；点P到直线OA的距离为0，故答案为：PN，PM，PN，0．【点评】本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键．26．（2018春•浦东新区期中）已知AB∥DE，CD⊥BF，∠ABC＝128°，求∠CDF的度数．解：过点C作CG∥AB∴∠1+∠ABC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）∵AB∥DE（已知）∴CG∥DE（　平行的传递性　）∴∠CDF＝∠2 （　两直线平行，内错角相等　）∵∠ABC＝128°（已知）∴∠1＝180°﹣　128°　＝　52　°∵CD⊥DF（已知）∴∠DCB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝38°∴∠CDF＝38°（　等量代换　）【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．【解答】解：过点C作CG∥AB∴∠1+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥DE（已知）∴CG∥DE（平行的传递性）∴∠CDF＝∠2 （两直线平行，内错角相等 ）∵∠ABC＝128°（已知）∴∠1＝180°﹣128°＝52° ∵CD⊥DF（已知）∴∠DCB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝38°∴∠CDF＝38°（等量代换）故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行的传递性；两直线平行，内错角相等；128°（或∠ABC），52；等量代换．【点评】本题考查了平行线的判定和性质、熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键．27．（2018春•浦东新区期中）如图，已知∠1＝∠B，∠2＝∠E，请你说明AB∥DE的理由．【分析】先根据∠1＝∠B得出AB∥CF，再由∠2＝∠E可知CF∥DE，最后根据两条直线同时平行第三条直线，那么这两条直线平行即可解答．【解答】证明：∵∠1＝∠B（已知）∴AB∥CF （内错角相等，两直线平行）∵∠2＝∠E（已知）∴CF∥DE（内错角相等，两直线平行） ）∴AB∥DE（平行同一条直线的两条直线平行）．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．28．（2018春•浦东新区期中）已知：AD⊥BC，垂足为D，EG⊥BC，垂足为点G，EG交AB于点F，且AD平分∠BAC，试说明∠E＝∠AFE的理由．【分析】根据平行线的性质求出EG∥AD，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠E，∠DAB＝∠AFE，即可得出答案．【解答】解：理由是：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠ADC＝∠EGD＝90°（垂直的意义），∴EG∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠E＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），∠AFE＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∵AD平分∠BAC（已知），∴∠BAD＝∠CAD（角平分线定义），∴∠E＝∠AFE（等量代换）．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能根据平行线的判定推出AD∥EG是解此题的关键．29．（2018春•青浦区期中）推理填空：已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求证：BE∥CF．证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余又∵∠1＝∠2 （　已知　），∴　∠3　＝　∠4　（　等角的余角相等　）∴BE∥CF （　内错角相等，两直线平行　）．【分析】先根据垂直的定义得出∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再由∠1＝∠2可得出∠3＝∠4，由此可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余又∵∠1＝∠2 （已知），∴∠3＝∠4（等角的余角相等），∴BE∥CF （内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知；∠3＝∠4，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．30．（2017春•浦东新区期中）已知，OB∥AC，∠B＝∠A＝110°，试回答下列问题：（1）如图①，说明BC∥OA的理由．（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC等于　35　度；（在横线上填上答案即可）．（3）在（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．（4）在（2）的条件下，如果平行移动AC的过程中，如图③，若使∠OEB＝∠OCA，此时∠OCA等于　52.5　度．（在横线上填上答案即可）．【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明．（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA，算出结果．（3）先得出结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化，理由为：由BC与AO平行，得到一对内错角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证；（4）由（2）（3）的结论可得．【解答】解：（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，∴∠A+∠O＝180°，∴OB∥AC；（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝110°，∴∠BOA＝70°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠EOF，又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝35°；故答案为：35；（3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为：∵BC∥OA，∴∠FCO＝∠COA，又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠FCO，∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB＝1：2；（4）由（1）知：OB∥AC，则∠OCA＝∠BOC，由（2）可以设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，则∠OCA＝∠BOC＝2α+β，∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，∵∠OEB＝∠OCA，∴2α+β＝α+2β，∴α＝β，∵∠AOB＝70°，∴α＝β＝17.5°，∴∠OCA＝2α+β＝35°+17.5°＝52.5°．故答案为：52.5．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．