沪教版（五四制）（2024）七年级下册第十四章 三角形第1节 三角形的有关概念与性质14.2 三角形的内角和课后测评

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一．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
二．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
一．三角形内角和定理（共9小题）
1．（2021春•上海期中）如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定
【分析】由三角形内角和是180°，即∠A+∠B+C＝180°代入即可．
【解答】解：因为∠A+∠B+C＝180°，
且∠A＝∠B﹣∠C，
所以∠B﹣∠C+∠B+C＝180°，
所以∠B＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，属于容易题．
2．（2021春•金山区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（ ）
A．90°﹣n°B．90°+n°C．45°+n°D．180°﹣n°
【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝＝90°﹣n°，
∴∠BOE＝∠OBC+∠OCB＝90°﹣n°，
故选：A．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键．
3．（2021春•浦东新区期末）若一个三角形的两个内角的度数分别为60°，50°，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【分析】根据三角形内角和等于180°求出第三个角的度数即可作出判断．
【解答】解：∵三角形的两个内角度数分别为60°、50°，
∴这个三角形的第三个角为180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵最大的角70°是锐角，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出第三个角的度数然后确定出最大的角是锐角是解题的关键．
4．（2021春•浦东新区校级期末）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为 27 度．
【分析】先根据对顶角的定义得出∠3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出∠A的度数．
【解答】解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1，
∵∠1＝56°，
∴∠3＝56°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°，
∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°．
故答案为：27．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
5．（2021春•奉贤区期末）已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝90°
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A+∠B＝2∠C
【分析】根据各个选项给出的条件结合三角形内角和定理，即三角形内角和等于180°，推导出三角形中是否存在90°的内角．若存在，则△ABC是直角三角形．若不存在，则△ABC不是直角三角形．
【解答】解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项B：∵∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°．
∴∠C＝60°．
∴∠A+∠B＝120°．
∴无法确定△ABC是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及直角三角形的判定，熟练运用三角形内角和等于180°以及直角三角形的判断是本题的解题关键．
6．（2021春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，故本选项错误；
B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误；
D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握这些知识点是解题的关键．
7．（2021春•上海期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，∠1+∠2的度数是（ ）
A．180°B．270°C．360°D．无法确定
【分析】结合三角形内角和定理和平角的定义来解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，
所以∠ACB+∠ABC＝90°，
又因为∠1+∠ACB＝180°，
∠2+∠ABC＝180°，
所以∠1+∠2＝270°，
故选：B．
【点评】本题综合运用三角形内角和定理和平角的定义，属于中档题．
8．（2020秋•虹口区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于 9或6 ．
【分析】分∠A＝90°或∠A≠90°，分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题．
【解答】解：如图，若∠A＝90°，
∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AC＝AB＝＝3，
∴S＝9；
如图，若∠A≠90°，
∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即AC2+62＝4AC2，
∴AC＝±2（负值舍去），
∴S
＝6，
故答案为：9或6．
【点评】本题是新定义题，主要考查了学生的阅读理解能力，以及三角形内角和定理，勾股定理，特殊角三角形的计算等知识，运用分类思想是解题的关键．
9．（2021春•奉贤区期中）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 3 倍角三角形；
（2）如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F；
①说明∠ABO＝2∠E的理由；
②若△AEF为4倍角三角形，直接写出∠ABO的度数．
【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．
（2）①根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．
②首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．
【解答】解：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，
∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，
∴∠D＝3∠F，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）①∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，
∴∠BAO＝2∠EAQ，∠BOG＝2∠EOQ，
由外角的性质可得：∠BOQ＝∠BAO+∠ABO，∠EOQ＝∠EAQ+∠E，
∴∠ABO＝2∠E．
②∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，
∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，
∵△EAF是4倍角三角形，
∴∠E＝×90°＝22.5°或×90°＝18°，
∵∠ABO＝2∠E，
∴∠ABO＝45°或36°．
【点评】考查三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
二．三角形的外角性质（共5小题）
10．（2021春•浦东新区期中）如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ 34° ．
【分析】先求∠DAC，再在△ADF可得答案．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，
∵∠EFC＝70°，
∴∠AFD＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，
故答案为：34°．
【点评】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
11．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度数等于 110° ．
【分析】由三角形的内角和可求得∠BAC＝60°，再由角平分线的定义得∠BAD＝30°，利用三角形的外角性质即可求∠ADC的度数．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握．
12．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
13．（2020春•杨浦区期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
解：因为DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（ 三角形内角和是180° ），
又∠D＝42°，
所以∠B＝ 48 °（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（ 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ），
又∠A＝35°，∠B＝ 48 °，
所以∠ACD＝ 83 °（等式性质）．
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：因为DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（三角形内角和是180°），
又∠D＝42°，
所以∠B＝48°（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
又∠A＝35°，∠B＝48°，
所以∠ACD＝83°（等式性质）．
故答案为：三角形内角和是180°，48，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，48，83．
【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系，三角形内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
14．（2019春•闵行区期中）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质求出∠PAE即可解决问题．
（2）利用三角形的内角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根据角平分线的定义求出∠BAC+∠BCA即可解决问题．
（3）利用基本结论：∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AF，CE是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，
∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．
（2）如图2中，
∴∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，
∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．
（3）如图3中，
∵∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝70°．
【点评】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共2小题）
1．（2018春•闵行区期末）如果三角形三个内角的比为1：2：3，那么它是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，
∴设三个内角分别为k、2k、3k，
∴k+2k+3k＝180°，
解得k＝30°，
∴该三角形的最大角的度数为90°，即该三角形为直角三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”求解更加简单．
2．（2018春•普陀区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）
A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°
【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BDC＝90°，再根据三角形内角和定理得∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝90°﹣n°，然后根据三角形的外角性质有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，计算即可得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
又∵∠BAC＝n°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，
∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质：三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了垂直的定义以及三角形内角和定理．
二．填空题（共17小题）
3．（2021春•静安区期末）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝126°，∠2＝80°，则∠3＝ 46 度．
【分析】根据平行线的性质及可得到答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2+∠3，
∵∠1＝126°，∠2＝80°，
∴∠3＝∠1﹣∠2＝46°，
故答案为：46．
【点评】本题考查平行线的性质及应用、角的和差等知识，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
4．（2021春•普陀区期中）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，那么△ABC是 钝角 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”）
【分析】根据三角形按角的分类可得结论．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，
∵∠C＝100°＞90°，
∴△ABC是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【点评】本题考查三角形的分类，熟知三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形是解题关键．
5．（2021春•黄浦区期末）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：1：2，那么△ABC的形状是 等腰直角 三角形．
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．
【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，k°，2k°．
则k°+k°+2k°＝180°，
解得k°＝45°．
∴2k°＝90°，
所以这个三角形是等腰直角三角形．
故应填：等腰直角．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理．此类题利用列方程求解可简化计算．
6．（2021春•奉贤区期末）将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝ 75 度．
【分析】根据三角形的内角和为180°，即可得出∠α的度数．
【解答】解：∵∠1＝45°，∠2＝60°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为75．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．
7．（2020春•宝山区期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD＝ 1厘米 ．
【分析】先根据题意找出题目中线段的等量关系，再根据等量关系求出BD值即可．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ABC＝72°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴△BCD是等腰三角形，
∴BD＝BC，
∵△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，
∴AB+AD+BD﹣BC﹣BD﹣CD＝AB﹣DC＝1cm，
∴AB﹣DC＝AD﹣DC＝AD＝BD＝1cm，
故答案为1厘米．
【点评】本题主要考查等腰三角形的知识，要牢记等腰三角形的性质：等角对等边，等边对等角以及三线合一，这都是中考必考内容．
8．（2020春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，联结DE，如果DE∥AB，那么∠CAD的度数是 40 度．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由折叠的性质可得出∠CAD＝∠EAD，∠E＝30°，由DE∥AB，利用平行线的性质可得出∠BAE＝30°，再结合∠BAC＝∠BAE+∠CAD+∠EAD，即可求出∠CAD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
由折叠的性质可知：∠CAD＝∠EAD，∠E＝∠C＝30°．
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAD+∠EAD，即110°＝30°+2∠CAD，
∴∠CAD＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据三角形内角和定理及平行线的性质，找出110°＝30°+2∠CAD是解题的关键．
9．（2020春•松江区期末）如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B＝70°，则∠D＝ 125 度．
【分析】根据三角形内角和以及∠B的度数，先求出（∠BAC+∠BCA），然后根据角平分线的性质求出（∠DAC+∠ACD），从而再次利用三角形内角和求出∠ADC．
【解答】解：∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）
＝180°﹣（180°﹣∠B）
＝90°+∠B＝125°，
故答案为：125．
【点评】主要考查了三角形的内角和是180°．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
10．（2019秋•浦东新区期中）在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于 90 °．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：90．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．
11．（2018秋•宝山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝ 23.5 °．
【分析】首先作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O，利用角平分线的性质得出BE为∠ABC的角平分线，求得答案解决问题．
【解答】解：如图：
作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O，
∵AE、CE是∠DAC和∠ACF的平分线，
∴EM＝EO，EO＝EN，
∴EM＝EN，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABC＝23.5°．
【点评】此题考查角平分线的性质：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，反之也是成立的．
12．（2018春•金山区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝ 120° ．
【分析】根据角平分线的定义可得出∠CBF＝∠ABC、∠BCF＝∠ACB，再根据内角和定理结合∠A＝60°即可求出∠BFC的度数．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，
∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
13．（2020春•杨浦区期中）如图所示，∠DBA＝140°，∠A与∠C的度数之比为2：5，则∠A＝ 40 度．
【分析】依据三角形外角性质进行计算，即可得到∠A的度数．
【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD＝∠A+∠C，
又∵∠DBA＝140°，∠A与∠C的度数之比为2：5，
∴∠A＝140°×＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查了三角形外角性质的运用，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．（2020秋•长宁区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A＝ 33 度．
【分析】已知∠A比∠B小24°，先设∠A为x，根据三角形内角和定理列出方程，然后再求解即可．
【解答】解：设∠A为x．
则90°+x+x+24°＝180°，
解得x＝33°．
即∠A＝33°．
故答案是：33．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理．解答的关键是设未知数∠A为x，列方程求解即可．
15．（2020•松江区二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 22.5 度．
【分析】设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．
【解答】解：设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，
由题意得，，
解得：，
答：该三角形的最小内角等于22.5°，
故答案为：22.5．
【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
16．（2019秋•嘉定区期末）如图，将三角形ABC沿射线AC向右平移后得到三角形CDE，如果∠BAC＝36°，∠BCA＝72°，那么∠BCD的度数是 72° ．
【分析】根据平移的性质得出△ACB≌△CED，进而得出∠BAC＝40°，∠BCA＝60°，进而得出∠DCE的度数，再利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移到达△CDE的位置，
∴△ACB≌△CED，
∵∠BAC＝36°，∠BCA＝72°，
∴∠DCE＝36°，
则∠BCD＝180°﹣36°﹣72°＝72°．
故答案为：72°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和，平移的性质，根据平移的性质得出∠DCE的度数是解题关键．
17．（2019秋•浦东新区校级月考）已知任意一个三角形三个内角的和为180°，如果有一个三角形三个内角的度数比是1：3：5，这个三角形中最大的内角是 100 度．
【分析】根据三角形的内角和定理求出最大的内角即可．
【解答】解：由题意三角形的最大的内角＝×180°＝100°，
故答案为100．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2018春•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE＝ 10 度．
【分析】由三角形内角和定理得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，由角平分线定义和垂线的性质得出∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，∠ADB＝90°，由直角三角形的性质求出∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，即可得出结果．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AE平分∠BAC，AD⊥BC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°；
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、直角三角形的性质；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
19．（2020春•虹口区期中）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，则∠C的一个外角等于 116 度．
【分析】根据三角形外角性质得出∠C的一个外角＝∠A+∠B
【解答】解：
∵∠A＝80°，∠B＝36°，
∴∠C的一个外角＝∠A+∠B＝80°+36°＝116°，
故答案为：116．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
三．解答题（共8小题）
20．（2019春•青浦区期末）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝3：4：5，求三角形各内角度数．
【分析】根据三角度数的比和三角形内角和定理，列出方程，再分别进行计算即可．
【解答】解：∵△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，
∴设三角的度数分别为：3x°4x°5x°，
∴3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
∴三个内角的度数分别为：45°60°75°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题时可以用设未知数列方程的方法分别求出三内角的度数是本题的关键．
21．（2019春•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC
（1）若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝ 70 度（直接写出答案）；
（2）请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．
【分析】（1）利用三角形的外角性质可求出∠BDC的度数，结合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度数，再在△BCD中，利用三角形内角和定理可求出∠B的度数；
（2）在△ABE中，利用三角形内角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形内角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，进而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，
∴∠BCD＝∠BDC＝55°．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故答案为：70；
（2）理由如下：
在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，
∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，
∴2∠BDC＝180°﹣∠B，
∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用三角形的外角性质，求出∠BDC的度数；（2）利用三角形内角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．
22．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
23．（2020春•浦东新区期末）已知△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝58°，求∠B的度数．
【分析】由三角形内角和定理得出∠B+∠C＝120°①，由∠B﹣∠C＝58°②，①+②得：2∠B＝178°，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°①，
∵∠B﹣∠C＝58°②，
①+②得：2∠B＝178°，
∴∠B＝89°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
24．（2021春•浦东新区校级期中）如图，已知∠AGH＝∠B，∠CGH＝∠BEF，EF⊥AB于F，试说明CG⊥AB．
【分析】利用垂直和三角形内角和定理，说明∠FEB+∠B＝90°，再由已知说明∠AGC＝90°即可．
【解答】解：CG⊥AB．
理由：∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°．
∴∠FEB+∠B＝90°．
∵∠AGH＝∠B，∠CGH＝∠BEF，
∴∠AGH+∠CGH＝∠B+∠BEF＝90°．
即∠AGC＝90°．
∴CG⊥AB．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理及垂直的性质和判定，掌握垂直的性质和判定是解决本题的关键．
25．（2019秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，如果BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线且他们相交于点P，设∠A＝n°．
（1）求∠BPC的度数（用含n的代数式表示），写出推理过程．
（2）当∠BPC＝125°时，∠A＝ 70° ．
（3）当n＝60°时，EB＝7，BC＝12，DC的长为 5 ．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．根据三角形的内角和得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．根据三角形的内角和得到结论；
（3）在CB上取点G使得CG＝CD，可证△BFE≌△BFG，得BE＝BG，可证△CDF≌△CGF，得CD＝CG，可以求得BE+CD＝BC．
【解答】解：（1）∵DB、CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．
∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），
∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），
∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，
∴2∠BPC＝180°+∠A，
∴∠BPC＝90°+∠A，
∴∠BPC＝90°+n；
（2）∵DB、CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．
∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），
∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），
∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，
∴2∠BPC＝180°+∠A，
∴∠BPC＝90°+∠A，
∴∠BPC＝90°+n＝125°，
∴n＝70，
∴∠A＝70°；
（3）在BC上取点G使得CG＝CD，
∵∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，
∴∠BPE＝∠CPD＝60°，
∵在△CPD和△CPG中，，
∴△CPD≌△CPG（SAS），
∴∠CPG＝∠CPD＝60°，
∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPE，
∵在△BPE和△BPG中，，
∴△BPE≌△BPG（ASA），
∴BE＝BG，
∴BE+CD＝BG+CG＝BC，
∵EB＝7，BC＝12，
∴CD＝BC﹣BE＝12﹣7＝5．
故答案为：70°，5．
【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD＝CG和BE＝BG是解题的关键．
26．（2020春•杨浦区期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
解：因为DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（ 三角形内角和是180° ），
又∠D＝42°，
所以∠B＝ 48 °（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（ 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ），
又∠A＝35°，∠B＝ 48 °，
所以∠ACD＝ 83 °（等式性质）．
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：因为DF⊥AB（已知），
所以∠DFB＝90°（垂直的意义）．
因为∠DFB+∠B+∠D＝180°（三角形内角和是180°），
又∠D＝42°，
所以∠B＝48°（等式性质）．
因为∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
又∠A＝35°，∠B＝48°，
所以∠ACD＝83°（等式性质）．
故答案为：三角形内角和是180°，48，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，48，83．
【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系，三角形内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
27．（2019春•黄浦区期末）（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线．当点P在斜边AB上移动时，∠DCE＝ 45 °；
（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上：
①点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝ 90° ；
②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ∠BCN﹣∠ACM＝90° ；
③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是 ∠ACM+∠BCN＝270° ．
【分析】（1）根据角平分线定义得出∠DCP＝∠ACP，∠PCE＝∠BCP，那么，∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝∠ACP+∠BCP＝∠ACB＝45°；
（2）①当点A和点B在直线MN的上方时，根据平角的定义易得∠ACM+∠BCN＝90；
②当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时，由∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，可得∠BCN﹣∠ACM＝90°；
③当点A和点B都在直线MN的下方时，由∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，可得∠ACM+∠BCN＝270°．
【解答】解：（1）如图1，∠DCE的大小不会发生变化，理由如下：
∵CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线，
∴∠DCP＝∠ACP，∠PCE＝∠BCP，
∴∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝∠ACP+∠BCP＝∠ACB＝45°；
（2）①当点A和点B在直线MN的上方时（如图2），∠ACM+∠BCN＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°；
②当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），
∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，
∴∠BCN﹣∠ACM＝（180°﹣∠BCM）﹣（90°﹣∠BCM）＝90°；
③当点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），
∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，
∴∠ACM+∠BCN＝（180°﹣∠BCM）+（90°+∠BCM）＝270°．
故答案为：45；90°，∠BCN﹣∠ACM＝90°，∠ACM+∠BCN＝270°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，平角的定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共2小题）
1．（2019秋•浦东新区校级月考）BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则∠BPC为（ ）
A．B．90°+C．90°﹣D．∠A
【分析】根据题意得∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系，从而计算出∠P的度数．
【解答】解：如图，∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（180+∠A）
＝90°﹣∠A，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理．解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2．（2020春•黄浦区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（ ）
A．（45+n）°B．（180﹣n）°C．（90+n）°D．（90+n）°
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°，
∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，要注意整体思想的利用．
二．填空题（共13小题）
3．（2020春•奉贤区期末）在△ABC中，∠C＝40°，把△ABC沿BC边上的高AH所在直线翻折，点C落在射线CB上的点C'处，如果∠BAC'＝20°，那么∠BAC＝ 80或120 度．
【分析】利用翻折变换的性质求出∠C′＝40°，再利用三角形内角和定理求出∠ABC′，再求出∠ABC，可得结论．
【解答】解：如图，当点B在线段CC′上时．
由翻折的旋转可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠ABC′＝180°﹣∠C′﹣∠BAC′＝180°﹣40°﹣20°＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
当点B在CC′的延长线上时，可得∠CAB＝100°+20°＝120°
故答案为：80或120．
【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是求出∠ABC的度数，属于中考常考题型．
4．（2020春•普陀区期末）如图，点D是△ABC两条角平分线AP、CE的交点，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝ 110 °．
【分析】根据CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，得∠CAP＝∠BAC，∠ACE＝∠BCA，再根据三角形内角和定理，求出∠ADC即可．
【解答】解：∵CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAC，
∠ACE＝∠BCA，
∵∠BAC+∠BCA＝140°，
∴∠CAP+∠ACE＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠CAP+∠ACE）＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握了角平分线的性质是解题的关键．
5．（2020春•嘉定区期末）△ABC的三个内角的度数之比是1：3：5，如果按角分类，那么△ABC是 钝角 三角形．
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．
【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，3k°，5k°．
则k°+3k°+5k°＝180°，
解得k＝20，
∴5k°＝100°，
所以这个三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【点评】此题主要考查三角形的按边分类，直接根据三角形三个内角的度数比来判断是解题的关键．
6．（2020春•金山区期末）在△ABC中，∠A＝50°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC＝ 115° ．
【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB＝65°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝65°，
∴∠BDC＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．
7．（2019春•奉贤区期末）如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，那么∠AOD+∠BOC＝ 180° ．
【分析】利用角的和差定义解决问题即可．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOA+∠AOC＝∠BOD+∠AOC＝180°，
故答案为180°．
【点评】本题考查角的和差定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（2019春•青浦区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的高．如果∠1＝54°，那么∠C＝ 54 度．
【分析】利用等角的余角相等证明∠C＝∠1即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠CBA＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，∠1+∠CBD＝90°，
∴∠C＝∠1＝54°，
故答案为54．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2019春•奉贤区期末）如图，在△BDE中，∠E＝90°，AB∥CD，∠ABE＝20°，则∠EDC＝ 70° ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠EBD+∠EDB＝90°，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠E＝90°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EDC＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
故答案为70°．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10．（2019秋•虹口区校级月考）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．∠E＝ 22.5° ．
【分析】先根据外角定理和∠A＝45°，得出∠ACD﹣∠ABC＝45°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC＝20°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝22.5°．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠A＝45°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝45°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝22.5°．
故答案为22.5°
【点评】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，所以本题对初学几何的学生来说有难度，关键是从∠ACD这个外角看到∠ECD，根据等量代换解决此题．
11．（2019春•浦东新区期末）如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，则∠A的度数为 2n°﹣m° ．（用m，n表示）
【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数．
【解答】解：连接BC．
∵∠BDC＝m°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣m°，
∵∠BGC＝n°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣n°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD＝∠ABD+∠ACD＝180°﹣n°﹣180°+m°＝m°﹣n°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°+2（m°﹣n°）＝180°+m°﹣2n°，
∴∠A＝180°﹣（180°+m°﹣2n°）＝2n°﹣m°．
故答案为：2n°﹣m°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
12．（2019春•虹口区期末）△ABC中，∠A＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝ 125 °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝70，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+ACB）＝125°，
故答案为：125．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
13．（2017春•浦东新区期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上使三角板的两条直角边分别经过B、C，直角顶点D落在△ABC的内部，那么∠ABD+∠ACD＝ 50 度．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故答案是：50．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
14．（2020秋•青山区期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝ 34 度．
【分析】如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．首先证明∠1+∠2＝2∠AC′B，求出∠AC′B即可解决问题．
【解答】解：如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．
在△ABC′中，∠AC′B＝180°﹣72°﹣75°＝33°，
∵∠ECF＝∠AC′B＝33°，∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠FCC′+∠FC′C，
∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝2∠AC′B＝66°，
∵∠1＝32°，
∴∠2＝34°，
故答案为：34．
【点评】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住基本结论∠1+∠2＝2∠AC′B解决问题．
15．（2018春•闵行区期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ 126° ．
【分析】利用平行线的性质求出∠DEN＝27°，再利用翻折不变性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根据平角的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEN＝∠A′NM＝27°，
由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，
∴∠CEN＝180°﹣2×27°＝126°，
故答案为126°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换，平行线的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三．解答题（共10小题）
16．（2019春•浦东新区期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝（2x+10）°，∠B＝（3x）°，∠ACD是△ABC的一个外角，且∠ACD＝（6x﹣10）°，求∠A的度数．
【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程，求出x，从而求出∠A的度数．
【解答】解：因为∠ACD是△ABC的一个外角（已知），
所以∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．（2分）
所以6x﹣10＝2x+10+3x．（2分）
解得x＝20．（1分）
所以∠A＝50°．（1分）
【点评】此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质列一元一次方程，求出x．
17．（2019春•闵行区期中）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质求出∠PAE即可解决问题．
（2）利用三角形的内角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根据角平分线的定义求出∠BAC+∠BCA即可解决问题．
（3）利用基本结论：∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AF，CE是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，
∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．
（2）如图2中，
∴∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，
∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．
（3）如图3中，
∵∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝70°．
【点评】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2018秋•浦东新区期末）如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的下方，其中∠OBA＝30°
（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；
（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
【分析】（1）如图②中，延长CO到C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；
（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图②中，延长CO到C′．
∵三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，
∴∠A′OC′＝∠AOC′＝∠CON＝60°，
∴∠A′ON＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．
由题意10t＝150或10t＝330，
解得t＝15或33s，
答：第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；
（3）①当OB，OA在OC的两旁时，∵∠AOB＝90°，
∴120°﹣∠MOB+∠AOC＝90°，
∴∠MOB﹣∠AOC＝30°．
②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC＝120°﹣90°＝30°．
【点评】本题考查翻折变换，旋转变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．（2019春•虹口区期末）如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．（1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，
若∠BAC＝3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC＝∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由；
（2）如小明研究结果可以总结为：
有一个内角是另一个内角的3倍时 ，该三角形是一个“活三角形”．请通过自己操作研究，并根据上述结论，总结“活三角形”的其他特征；（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）
（3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为 36或90或108或 度．（直接写出结果即可）
【分析】（1）根据“活三角形”的定义判断即可．
（2）当一个三角形的应该内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”，当一个三角形的应该内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”．
（3）根据“活三角形”的定义解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵∠DAC＝∠C，∠BAC＝3∠C，
∴∠BAD＝2∠C，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△ADB，△ADC是等腰三角形，
∴△ABC是“活三角形”，直线AD称为该“活三角形”的“生命线”．
（2）解：如小明研究结果可以总结为：当一个三角形的应该内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”．
当一个三角形的应该内角是另一个内角的2倍时，该三角形是一个“活三角形”．
比如：∠B＝2∠C，
∵∠ADC＝2∠C，
∴∠B＝∠ADC，
∴△ADB，△ADC是等腰三角形，
∴△ABC是“活三角形“．
（3）解：如图1，
当过顶角∠C的顶点的直线CD把△ABC分成了两个等腰三角形，则AC＝BC，AD＝CD＝BD，
设∠A＝x°，
则∠ACD＝∠A＝x°，∠B＝∠A＝x°，
∴∠BCD＝∠B＝x°，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°
∴x+x+x+x＝180，
解得x＝45，
则顶角是90°；
∴△ABC是等腰直角三角形，
即等腰直角三角形是“活三角形”．
（2）如图2，
AC＝CD＝AB，BD＝AD，
设∠B＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x°，
∵BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝x°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，
∵AC＝DC，
∴∠ADC＝∠CAD＝2x°，
∴∠BAC＝3x°，
∴x+x+3x＝180，
x＝36°，
则顶角∠BAC＝108°．
（3）如图3，
当过底角∠CAB的角平分线AD把△ABC分成了两个等腰三角形，则有AC＝BC，AB＝AD＝CD，
设∠C＝x°，
∵AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝x°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝2x°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
x＝36°，
则顶角是36°．
当∠BAD＝∠ADB，∠C＝∠CAD时，也是有一种情况的，3x+3x+x＝180°，
x＝（）°
则∠A＝（）°．
综上所述，满足条件的顶角的度数为90°，108°，36°，（）°．
故答案为36或90或108或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．
20．（2018春•浦东新区期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？
解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝ ∠CAG ， ∠PFG＝∠QFG （角平分线定义）
又因为∠FPQ＝ ∠CAG +∠AED， ∠FQG ＝ ∠BAG +∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝ ∠FQG （等式性质）
（请完成以下说理过程）
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG，根据三角形的外角的性质得到∠FPQ＝∠FQG得到FP＝FQ，根据等腰三角形的三线合一证明．
【解答】解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分线定义）
又因为∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝∠FQG（等式性质）
所以FP＝FQ（等角对等边）
又因为∠PFG＝∠QFG
所以AG⊥FG（等腰三角形三线合一）．
故答案为：∠CAG；∠PFG＝∠QFG；∠CAG；∠FQG；∠BAG；∠FQG．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
21．（2018春•普陀区期中）如图，已知△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝30°，点F是AB上一点，且∠BCF＝25°，点D在边CA的延长线上，AE平分∠BAD，说明CF∥AE的理由．
解：因为点D在边CA的延长线上（已知），
所以∠BAC+∠BAD＝180°（ 邻补角定义 ）．
因为∠BAC＝70°（已知），
所以∠BAD＝180°﹣∠BAC＝110°（等式性质）．
因为AE平分∠BAD（已知），
所以∠EAB＝∠BAD＝55°（ 角平分线定义 ）．
因为∠AFC＝ ∠B + ∠BCF ＝55°（ 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ），
所以 ∠AFC ＝ ∠EAB （等量代换）．
所以CF∥AE（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】求出∠BAD和∠EAB的度数，求出∠AFC的度数，推出∠AFC＝∠EAB，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：∵点D在边CA的延长线上（已知），
∴∠BAC+∠BAD＝180（邻补角定义），
∵∠BAC＝70°（已知），
∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝110°（等式性质）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠EAB＝∠EAB＝∠BAD＝55°（角平分线定义），
∵∠AFC＝∠B+∠BCF＝55°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴∠AFC＝∠EAB（等量代换），
∴CF∥AE（内错角相等，两直线平行），
故答案为：邻补角定义，角平分线定义，∠B，∠BCF，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AFC，∠EAB，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能求出∠AFC＝∠EAB是解此题的关键．
22．（2018春•普陀区期中）如图，已知∠A＝∠C，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC．说明∠1＝∠2的理由．
解：因为∠A＝∠C（已知），
所以AB∥DC（ 内错角相等两直线平行 ）．
所以∠ABD＝∠CDB（ 两直线平行内错角相等 ）．
因为BE平分∠ABD（已知），
所以（ 角平分线的定义 ）．
同理．
所以∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质即可解决问题；
【解答】解：因为∠A＝∠C（已知），
所以AB∥DC（内错角相等两直线平行），
所以∠ABD＝∠CDB（两直线平行内错角相等），
因为BE平分∠ABD（已知），
所以（角平分线的定义），
同理．
所以∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等，角平分线的定义，等量代换；
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（2017春•普陀区期中）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，
（1）如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；
（2）如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；
（3）如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）
解：（1）结论：∠A2＝ 34 度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），
所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（ 角平分线的定义 ）．
因为∠A1CM＝∠A1BC+∠ ∠A1 ，∠2＝∠1+∠ A2 （ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ），
（完成以下说理过程）
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据（1）的解法即可直接求解；
（3）利用（1）的结论求解．
【解答】解：（1）结论：∠A2＝34度．
说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），
所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（ 角平分线的意义 ）．
因为∠A1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
所以∠A2＝∠A1，
因为∠A1＝68°，
所以∠A2＝34°，
故答案为：34；角平分线的定义；A1；A2；
（2）∠A3＝17°．
（3）∠An＝．
【点评】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键．
24．（2016春•闵行区期中）在△ABC中，
（1）如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；
（2）如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由；
（3）如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则：
①∠1+∠2+∠3＝ 90° ；
②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的外角性质，求得∠BGC＝∠BGP+∠CGP，据此进行计算即可；
（2）根据BE，CF分别是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，进而得出∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，据此可得∠1＝∠2；
（3）根据∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，可得∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC），据此进行计算即可；②根据∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝90°﹣∠ACB，再根据CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，进而得到∠BGD＝∠CGH．
【解答】解：（1）∵如图1，连接AG并延长至P，
∵∠BGP是△ABG的外角，
∴∠BGP＝∠1+∠BAP，
同理可得，∠CGP＝∠2+∠CAP，
∴∠BGC＝∠BGP+∠CGP＝∠1+∠BAP+∠2+∠CAP＝∠1+∠A+∠2；
（2）∵如图2，BE，CF分别是AC，AB上的高，
∴△ABE和△ACF是直角三角形，
∴∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，
∴∠1＝∠2；
（3）①如图3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∠3＝∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝×180°＝90°，
故答案为：90°；
②∵∠BGD是△ABG的外角，
∴∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC
＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠GCH＝∠ACB，
∵GH⊥BC，
∴Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，
∴∠BGD＝∠CGH．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于180°．解决第（3）问的难点在于将∠BGD和∠CGH都用90°﹣∠ACB表示出来．
25．（2016春•闵行区期末）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．
试说明∠D＝90°+∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝ ∠ABC （角平分线定义）．
同理：∠2＝ ∠ACB ．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（ 三角形的内角和等于180° ），
所以 ∠D＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） （等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：
（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D＝90°﹣∠A ．
（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D＝∠A ．
（3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由．
【分析】（1）、（2）、（3）关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于180°”及等式的性质分析求解．
（4）利用前三个小题的结论，证明∠D＝∠DFC即可．
【解答】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝∠ABC （角平分线定义）．
同理：∠2＝∠ACB．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°），
所以∠D＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A（等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A+2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣
（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝∠DBC+∠D，
∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D
∴∠A＝2∠D
即：∠D＝
（3）解：因为 BD平分∠ABC（已知），
所以∠DBC＝∠ABC（角平分线定义）．
同理：∠ACF＝∠ACB，∠DCA＝∠DCE＝∠ACE．
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D（三角形的一个外角
等于两个不相邻的内角和），
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A．
又∵∠A＝90°（已知），
∴∠D＝45°（等式性质）．
∵∠ACB+∠ACE＝180°（平角的定义），
∴∠FCD＝∠FCA+∠ACD＝（∠BCA+∠ACE）＝90°．
∵∠D+∠DFC+∠FCD＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠DFC＝45°（等式性质）．
∴∠D＝∠DFC（等量代换）．
∴DC＝FC．（等角对等边）．
【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．