沪教版数学七年级下册同步讲练第11讲等腰三角形性质与判定（2份，原卷版+解析版）

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第11讲等腰三角形性质与判定（核心考点讲与练）一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．一．等腰三角形的性质（共5小题）1．（2021春•普陀区校级月考）△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（　　）A．∠B＝36° B．∠ADB＝108° C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B【分析】设∠CAD＝x°，由条件可推得∠BDE＝∠BCA＝∠BAC＝2x°，∠ADE＝x°，即可推导出结论．【解答】解：设∠CAD＝x°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，即∠ADB＝3∠EDA，故选：C．【点评】此题考查了几何推理能力，关键是将等腰三角形、平行线、角平分线等方面知识综合运用推理．2．（2021春•闵行区期末）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．【分析】首先根据等边对等角得到∠B＝∠C，然后利用∠B＝2∠A得到∠B＝∠C＝2∠A，从而利用三角形内角和定理求得答案．【解答】解：∵等腰△ABC中AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝2∠A，∴∠B＝∠C＝2∠A，设∠A＝x°，则∠B＝∠C＝2x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180，解得：x＝36，∴∠B＝2x＝2×36°＝72°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形等边对等角的性质，难度不大．3．（2021春•奉贤区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠ADE的度数．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，∵AD＝AB，∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形的底角相等和三线合一的性质．4．（2021春•松江区期末）如图，已知直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G．（1）说明AC＝AF的理由；（2）若∠FCD＝32°，求∠G的大小．【分析】（1）由题意可得∠ACF＝∠DCF，∠AFC＝∠DCF，则∠ACF＝∠AFC，结论得证；（2）可求出∠GAF＝60°，∠AFC＝30°，可求出∠GFA＝75°，则∠G可求出．【解答】（1）证明：∵∠ACD的平分线CE交AB于点F，∴∠ACF＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∴∠ACF＝∠AFC，∴AC＝AF；（2）解：∵∠FCD＝32°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠GAF＝64°，∠AFC＝32°，∵∠AFE的平分线交CA延长线于点G．∴∠AFG＝∠GFE＝AFE＝，∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣64°﹣74°＝42°．【点评】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理．5．（2021春•杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．【分析】（1）由∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，∠B＝∠ACE，可得∠A＝∠ECD．再结合已知用ASA可证明△ABC≌△CDE，从而AC＝CE；（2）连接GC并延长至点K．因为AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，由三角形外角关系可得∠ACK＝a+∠AGC，∠ECK＝b+∠EGC，所以∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝α＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+β，即a+b＝α﹣β．又由（1）中结论可知∠ECD＝∠BAC＝2a，根据三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，即2a+2b+α＝180°，可得3α﹣2β＝180°；（3）当AH∥EI时，过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．易证∠ACE＝∠ACM+∠ECM，即α＝a+b．在△CED中，根据三角形内角和定理有2a+2b+α＝180°，解得α＝60°，故∠B＝60°．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，又∠B＝∠ACE，∴∠A＝∠ECD．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）．∴AC＝CE．（2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下：如图1所示，连接GC并延长至点K．∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，∵∠ACK为△ACG的外角，∴∠ACK＝a+∠AGC，同理可得∠ECK＝b+∠EGC，∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β，即α＝a+b+β，∴a+b＝α﹣β．又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，即2a+2b+α＝180°，∴2（a+b）+α＝180°，∴3α﹣2β＝180°．（3）当AH∥EI时，如图2所示，过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b，∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b．由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，即2a+2b+α＝180°，即2（a+b）＝180°﹣α，即3α＝180°，解得：α＝60°．故∠B＝60°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接GC并延长，利用三角形外角性质证得a+b＝α﹣β是解题的关键．二．等腰三角形的判定（共4小题）6．（2021春•普陀区校级期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．7．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC＝90°，∠BAD＝2∠C．求证：AD＝AB．【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠C＝90°；然后由已知条件∠BAD＝2∠C求得∠BAD+∠DAC＝2∠C+∠DAC＝∠B+∠C，即∠B＝∠C+∠DAC；最后根据△ADC的外角性质以及等量代换证得∠ABD＝∠ADB，即可得AD＝AB．【解答】证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°（直角三角形的两个锐角互余）；又∠BAD＝2∠C（已知），∴∠BAD+∠DAC＝2∠C+∠DAC＝∠B+∠C，即∠B＝∠C+∠DAC，∵∠ADB＝∠C+∠DAC（三角形外角性质），∴∠ABD＝∠ADB（等量代换），∴AD＝AB．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形外角性质、直角三角形的性质．直角三角形的两个锐角互余，熟记性质是解题的关键．8．（2021春•松江区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠BDA，结合三角形的内角和定理可得∠AED＝∠BAD，利用等腰三角形的判定可求解．【解答】解：∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠ADE＝∠B，∠ADE+∠BAD+∠AED＝180°，∠B+∠BDA+∠BAD＝180°，∴∠AED＝∠BAD，∴ED＝AD，∴△ADE为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，求解ED＝AD是解题的关键．9．（2021春•浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　5　个等腰三角形．【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论．（2）根据等腰三角形的定义，判断即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△EBC和△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴∠E＝∠D．（2）图中共有5个等腰三角形．∵∠BAC＝108°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝36°，∵∠D＝∠E＝36°，∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，∴∠DAB＝∠EAC＝72°，∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，∴DB＝DA，EA＝EC，∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．故答案为：5．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．等腰三角形的判定与性质（共5小题）10．（2021春•松江区期末）下列判断错误的是（　　）A．等腰三角形是轴对称图形 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合【分析】根据如果一个图形，沿着一条直线对折，两边的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形和等腰三角形的判定与性质分别对每一项进行分析即可．【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确；B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是轴对称图形、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握有关性质与定义是本题的关键．11．（2021春•普陀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由BD是△ABC的角平分线，可得∠ABC＝2∠ABD＝72°，又可求∠ABC＝∠C＝72°，所以△ABC是等腰三角形；又∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，故∠A＝∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；由∠DBC＝∠ABD＝36°，得∠C＝72°，可求∠BDC＝72°，故∠BDC＝∠C，所以△BDC是等腰三角形．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴△ABC是等腰三角形…①．∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴△ABD是等腰三角形…②．∵∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC是等腰三角形…③．故图中的等腰三角形有3个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．12．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长．【分析】在线段DC上截取DE＝BD，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，求得∠B＝∠AEB，根据三角形外角的性质得到∠AEB＝∠CAE+∠C，求得AE＝CE，于是得到结论．【解答】解：如图：在线段DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C，∵∠AEB＝∠CAE+∠C，∴∠C＝∠CAE，∴AE＝CE，∵BD＝5，BC＝25，∴DE＝BD＝5，∴AB＝AE＝CE＝BC﹣BD﹣DE＝15．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，作出辅助线正确构建出等腰三角形是解答此题的关键．13．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．（1）找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明；（2）如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？【分析】（1）根据角平分线的定义得∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，再根据平行线的性质得∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，则∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据平行线的判定得DB＝DF，EF＝EC，即可证得△BDF和△CEF是等腰三角形；（2）根据三角形的定义得△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AE．【解答】解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF和△CEF是等腰三角形；（2）∵DB＝DF，EF＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝3+2＝5，△ADE的周长是5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．14．（2019春•浦东新区期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线．（1）如图1，求∠P的度数；（2）过点P作EF∥BC与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，可得∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，然后由三角形外角的性质求得∠P＝∠A；（2）由BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线与EF∥BC，易证得△PEB与△PFC是等腰三角形，继而得到线段BE、EF、CF之间的数量关系．【解答】解：（1）∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBD＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝×70°＝35°；（2）BE＝EF+CF．理由：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCD，∵EF∥BC，∴∠EPB＝∠PBD，∠EPC＝∠PCD，∴∠ABP＝∠EPB，∠ACP＝∠EPC，∴BE＝PE，CF＝PF，∵PE＝EF+PF，∴BE＝EF+CF．【点评】此题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共7小题）1．（2020春•宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　）A．30° B．60° C．45° D．90°【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠ABC＝∠ACB，再用三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，又∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴∠DBC＝2（90°﹣∠BDC）＝2×（90°﹣75°）＝30°，又∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABD＝75°﹣30°＝45°，故选：C．【点评】此题是等腰三角形的性质，主要考查了三角形的内角和公式，三角形的外角的性质，解本题的关键是根据作图得到结论．2．（2012春•金山区校级期末）在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN过点O，且MN∥BC，交AB与点M，交AC于点N．设AB＝6，BC＝10，AC＝8，则△AMN的周长是（　　）A．14 B．16 C．18 D．24【分析】由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC，易得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC，则可求得答案．【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠BOM＝∠OBC，∠CON＝∠OCB，∴∠ABO＝∠BOM，∠ACO＝∠CON，∴BM＝OM，CN＝ON，∵AB＝6，BC＝10，AC＝8，∴AM+MN+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝14．故选：A．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2012春•金山区校级期末）若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么△ABC的形状是（　　）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形【分析】通过解关系式得出a，b，c的关系，然后再判断三角形的形状即可．【解答】解：∵（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，∴（a﹣b）＝0或（b﹣c）＝0或（c﹣a）＝0，即a＝b或b＝c或c＝a，因而三角形一定是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的概念．了解各类三角形的定义是解题关键．4．（2020春•普陀区期末）如图，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AB＝AC，∠C＝∠B，有3个结论：（1）∠AEB＝∠ADC；（2）∠A+∠EFD＝180°；（3）CE＝BD，其中一定正确的（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】（1）通过证得△AEB≌△ADC，即可证得结论；（2）根据题意，只有在在CD⊥AB，BE⊥AC时，∠A+∠EFD＝180°才成立；（3）根据全等三角形的性质即可证得AD＝AE，进而即可证得结论．【解答】解：（1）在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（ASA），∴∠AEB＝∠ADC；（2）∵∠EFD＝∠CEF+∠C，∴∠A+∠EFD＝∠CEF+∠A+∠C＝∠CEF+∠BDF，∵∠AEB＝∠ADC，∴∠CEF＝∠BDF，若∠A+∠EFD＝180°，则∠CEF＝∠BDF＝90°，故只有在CD⊥AB，BE⊥AC时，∠A+∠EFD＝180°才成立；（3）∵△AEB≌△ADC，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴CE＝BD，综上，3个结论中一定正确的是（1）（2）两个，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．5．（2020秋•杨浦区校级期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝α，则∠EDF等于（　　）A．90°﹣α B．45°+α C．90°﹣α D．45°+α【分析】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵BD＝CF，BE＝CD∴△BDE≌△CFD（AAS），∴∠BDE＝∠CFD，∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°．∴∠A+2∠EDF＝180°，∴∠EDF＝90°﹣α．故选：A．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．6．（2020春•浦东新区期末）等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（　　）A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定【分析】根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm，根据周长是20cm，求出x的值即可；【解答】解：根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm．x+2x+2x＝20，解得 x＝4故底边长为4cm，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；验证是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．7．（2019•奉贤区二模）如图，已知△ABC，点D、E分别在边AC、AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）A．AE＝AD B．BD＝CE C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB【分析】添加AE＝AD、BD＝CE、∠ECB＝∠DBC可利用AAS判定△ABD≌△ACE，进而可得AB＝AC，从而可得△ABC是等腰三角形；添加∠BEC＝∠CDB不能判定△ABD≌△ACE，因此也不能证明AB＝AC，进而不能证明△ABC是等腰三角形．【解答】解：A、添加AE＝AD，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；B、添加BD＝CE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；C、添加∠ECB＝∠DBC，又∵∠ABD＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；D、添加∠BEC＝∠CDB，不能证明△ABD≌△ACE，因此也不能证明AB＝AC，进而得不到△ABC为等腰三角形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．二．填空题（共7小题）8．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足为点D，若∠BCD＝36°，则∠A＝　72°　．【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠B，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及三角形的内角和是180°求出∠A．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∵∠BCD＝36°，∴∠B＝54°，在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝54°，∴∠A＝180°﹣2×54°＝72°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；由等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠B＝54°是正确解答本题的关键．9．（2021秋•虹口区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，交AC于D，BD＝BE，则∠DEC＝　100°　．【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣100°）＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝×（180°﹣∠DBE）＝80°，∴∠DEC＝180°﹣∠BED＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．10．（2021春•普陀区校级期中）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于　10　．【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，同理FE＝EC，∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，故答案为：10．【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键．11．（2020春•杨浦区期末）已知BD是△ABC的角平分线，E是边AB上一点，DE∥BC，如果DE＝6，那么BE＝　6　．【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，由等量代换得到∠EDB＝∠EBD，根据等腰三角形的判定得到DE＝BE，即可得到BE的值．【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∵DE＝6，∴BE＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠EDB＝∠EBD是解题的关键．12．（2020春•普陀区期末）如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC交AB于点D，如果AB＝10，AE＝3，那么△ADE的周长等于 　13　．【分析】由角平分线的定义得到ABE＝∠CBE，由平行线的性质得到∠BED＝∠CBE，进而得到ABE＝∠BED，根据等腰三角形的性质BD＝DE，可得△ADE的周长＝AB+AE，即可求得结果．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴ABE＝∠CBE，∵ED∥BC，∴∠BED＝∠CBE，∴ABE＝∠BED，∴BD＝DE，∵AB＝10，AE＝3，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝（AD+BD）+AE＝AB+AE＝10+3＝13，故答案为：13．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义和平行线的性质推出ABE＝∠BED是解决问题的关键．13．（2020春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是　15　．【分析】由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴BM＝OM，CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案为：15．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．14．（2020春•虹口区期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周长为　9　．【分析】根据角平分线的性质，可得∠EBO与∠OBC的关系，∠FCO与∠OCB的关系，根据平行线的性质，可得∠DOB与∠BOC的关系，∠FOC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得OE与BE的关系，OE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．【解答】解：由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB．由EF∥BC，得∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴EO＝BE，OF＝FC．C△AEF＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质是解题关键，又利用了角平分线的性质，平行线的性质．三．解答题（共4小题）15．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．（1）找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明；（2）如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？【分析】（1）根据角平分线的定义得∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，再根据平行线的性质得∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，则∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据平行线的判定得DB＝DF，EF＝EC，即可证得△BDF和△CEF是等腰三角形；（2）根据三角形的定义得△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AE．【解答】解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF和△CEF是等腰三角形；（2）∵DB＝DF，EF＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝3+2＝5，△ADE的周长是5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．16．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长．【分析】在线段DC上截取DE＝BD，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，求得∠B＝∠AEB，根据三角形外角的性质得到∠AEB＝∠CAE+∠C，求得AE＝CE，于是得到结论．【解答】解：如图：在线段DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C，∵∠AEB＝∠CAE+∠C，∴∠C＝∠CAE，∴AE＝CE，∵BD＝5，BC＝25，∴DE＝BD＝5，∴AB＝AE＝CE＝BC﹣BD﹣DE＝15．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，作出辅助线正确构建出等腰三角形是解答此题的关键．17．（2019春•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD与BE交于点O，且满足BD＝CE，∠1＝∠2．试说明△ABC是等腰三角形的理由．【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵BD＝CE，∠1＝∠2，∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS），∴∠DBO＝∠ECO，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DBO+∠OBC＝∠ECO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BCE≌△CBD是解题的关键．18．（2020春•浦东新区期末）如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，∵AD＝AB，∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形的底角相等和三线合一的性质．题组B 能力提升练一．选择题（共4小题）1．（2020春•杨浦区期末）下列说法中错误的是（　　）A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两个底角的平分线相等 D．等腰三角形的对称轴是底边上的中线【分析】利用等腰三角形的性质一一判断即可．【解答】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，正确，本选项不符合题意．B、等腰三角形两腰上的中线相等，正确，本选项不符合题意．C、等腰三角形两个底角的平分线相等，正确，本选项不符合题意．D、等腰三角形的对称轴是底边上的中线，错误，应该是底边中线所在的直线，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，属于中考常考题型．2．（2020春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：①、∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确；②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确；④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．3．（2019春•静安区期末）用下列长度的三条线段首尾顺次联结，能构成等腰三角形（　　）A．2、2、1 B．3、3、6 C．4、4、10 D．8、8、18【分析】根据等腰三角形的判定定理和三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．【解答】解：A、1+2＝3＞2，故能构成等腰三角形，故此选项正确；B、3+3＝6，故不能构成三角形，故此选项错误；C、4+4＝8＜10，故不能构成三角形，故此选项错误；D、8+8＝16＜18，故不能构成三角形，故此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系定理是解题关键．4．（2019春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，那么图中的等腰三角形有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．【解答】解：共有5个．（1）∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：D．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．二．填空题（共8小题）5．（2021秋•徐汇区期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线中，较短的那条长为 　　（只需写出一种情况即可）．【分析】根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；根据∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，得出方程组，解方程组即可．【解答】解：如图2所示，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y＝2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x＝（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即较短的那条长为．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解方程组等知识；解决本题的关键是作出图形．6．（2021春•黄浦区期末）在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝　90°或108°　．【分析】根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论．【解答】解：①当BD＝CD，CD＝AD时，如图①所示，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x，∵BD＝CD，CD＝AD，∴∠BAD＝∠B＝x，∠CAD＝∠C＝x，∴4x＝180°，∴x＝45°，∴∠BAC＝2x＝45°×2＝90°；②当AD＝BD，AC＝CD时，如图②所示，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C设∠B＝∠C＝x，∵AD＝BD，AC＝CD，∴∠BAD＝∠B＝x，∠CAD＝，∴＝180°﹣2x，解得：x＝36°，∴∠BAC＝180°﹣2x＝180°﹣2×36°＝108°，故答案为：90°或108°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键．7．（2021春•静安区期末）已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是　17　cm．【分析】根据题意分两种情况：第一种是底边长为7时构不成三角形要排除，第二种情况是底边长为3，然后再将三边长相加即可求得答案．【解答】解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，∴此等腰三角形的周长＝7+7+3＝17cm，故答案为：17．【点评】此题是等腰三角形的性质，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解本题的关键是用三角形的三边关系判断能否构成三角形．8．（2020秋•杨浦区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的一点，∠ACD＝35°，若△ACD为等腰三角形，那么∠B的度数为　55°或17.5°　．【分析】分两种情况：DA＝DC；CA＝CD；进行讨论，再根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图1，当DA＝DC时，∵∠ACD＝35°，∴∠A＝35°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝55°；如图2，当CA＝CD时，∵∠ACD＝35°，∴∠A＝（180°﹣35°）÷2＝72.5°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝17.5°．综上所述，∠B的度数为55°或17.5°．故答案为：55°或17.5°．【点评】考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是分类思想的运用．9．（2020春•金山区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，联结AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为　12　．【分析】根据AB＝AC，OB＝OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D，BD＝6，从而可以得到BC的长，本题得以解决．【解答】解：∵AB＝AC，OB＝OC，∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上，∴直线AO是线段BC的垂直平分线，∵AO与BC交于点D，∴BD＝CD，∵BD＝6，∴BC＝2BD＝12，故答案为：12．【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的性质解答问题．10．（2019春•松江区期末）用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 　22.5°或18°或36°或45°　．（至少写出两种情况）【分析】根据题意，画出每一种“闪亮分割”下的图形，共分为4类情况，①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD；当这个三角形如图4所示时，且∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC．【解答】解：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，设∠B＝x且为Rt△ABD最小内角，则由题意得∠ACD＝∠CAD＝2x，∠BAD＝90°﹣x，由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即x+2x+2x+90°﹣x＝180°，解得：x＝22.5°，则△ABC中最小内角为22.5°；②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，设∠BAD＝y且为Rt△ABD中最小内角，则由题意得∠B＝90°﹣y，∠C＝∠CAD＝2y，由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即90°﹣y+y+2y+2y＝180°，解得：y＝22.5°，则△ABC中最小内角为∠C＝2×22.5°＝45°；③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD，设∠C＝z且为Rt△ADC中最小内角，则由题意可得∠B＝∠BAD＝2z，由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即2z+2z+90°+z＝180°，解得：z＝18°，则△ABC中最小内角为18°；④当这个三角形如图4所示时，且∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC，设∠ACD＝m且为Rt△ADC中最小内角，则由题意可得∠B＝∠DCB＝2m，由直角三角形两锐角互余可得∠B+∠BCA＝90°，即2m+3m＝90°，解得：m＝18°，则△ABC中最小内角为∠B＝2×18°＝36°．综上所述，可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是22.5°或18°或36°或45°．故答案为：22.5°或18°或36°或45°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论做到不漏解是关键．11．（2019春•普陀区期末）已知一个等腰三角形的三边长都是整数，如果周长是10，那么底边长等于　2或4　．【分析】设等腰三角形的腰是x，底边是y，然后判断着1至4种情况哪几种可以构成三角形．【解答】解：设等腰三角形的腰是x，底边是y∴2x+y＝10当x取正整数时，x的值可以是：从1到4共4个数，相应y的对应值是：8，6，4，2．经判断能构成三角形的有：当x取1，2，3，4时．因而这样的三角形共有2个．即3，3，4或4，4，2．故答案为：2或4【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．12．（2018春•闵行区期末）有下列三个等式①AB＝DC；②BE＝CE；③∠B＝∠C．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt△AED是等腰三角形，你认为这两个条件可以是　①②（或①③或②③）　（写出一种即可）【分析】依据条件判定△ABE≌△DCE，即可得到AE＝DE，进而得出Rt△AED是等腰三角形．【解答】解：当AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC时，Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形；当AB＝DC，∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC时，△ABE≌△DCE（AAS），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形；当BE＝CE，∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC时，△ABE≌△DCE（ASA），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．三．解答题（共9小题）13．（2019春•浦东新区期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．（1）若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；（3）设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可；（2），（3）同（1）．【解答】解：（1）∵BE＝BA，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．∵∠BAC＝90°，∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，∴∠DAE＝45°；（2）由（1）知，∠DAE＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°；（3）由（1）知，β＝（180°﹣α），∴α+2β＝180°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出2∠DAE＝180°﹣∠BAC．14．（2018秋•杨浦区期中）已知△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBM和∠BCN的平分线，BD⊥AP，用含α 的代数式表示∠BPC的度数，用含β 的代数式表示∠PBD的度数，并说明理由．（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．∠BPC＝　90°+α　∠PBD＝　　【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠CBA+∠ACB，根据邻补角的性质可求出∠MBC+∠NGB，再根据角平分线的性质∠PBC+∠PCB，根据三角形内角和定理算出结果．【解答】解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB＝180°，∠BAC＝α，∴∠CBA+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NCB+∠ACB＝180°，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣α）＝180°+α，∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，∴∠PBC＝∠MBC，∠PCB＝∠NCB，∴∠PBC+∠PCB＝∠MBC+∠NCB＝（180°+α）＝90°+α，∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∵∠MBC是△ABC的外角，∴∠MBC＝α+β，∵BP平分∠MBC，∴∠MBP＝∠MBC＝（α+β），∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC，∴∠BAP＝α，∠MBP＝∠BAP+∠APB，∴∠PBD＝90°﹣∠APB＝90°﹣（∠MBP﹣∠BAP）＝90°﹣∠MBP+∠BAP＝90°﹣（α+β）+α＝90°﹣β；（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论已发生变化，∠BPC＝90°+α；∠PBD＝．故答案为：90°+α；．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，外角的性质．注意知识的灵活运用．15．（2018春•杨浦区期末）（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D．请说明△BDC是等腰三角形；（2）在（1）的条件下请设计四个不同的方案，将△ABC分割成三个等腰三角形，请直接画出示意图并标出每个等腰三角形顶角度数；（3）若有一个内角为36°的三角形被分割成两个等腰三角形，则原三角形中最大内角的所有可能值为 　72°，90°，108°，132°，126°　．【分析】（1）由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论；（3）分为以下情况：①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况；④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形；（2）如图方案1，做∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDC得角平分线DE交BC于点E，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，∴∠EDG＝∠BDE＝36°，∴△ABD，△BDE，△DEC为等腰三角形；如图方案2，做∠B的角平分线BF交AC于点F，作∠C得角平分线CM交BF于点M，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠FBC＝∠ABF＝36°，∠FCM＝∠MCB＝72°，∴∠CFM＝∠CMF＝72°，∴△ABF，△BMC，△CMF为等腰三角形；如图方案3，做∠C的角平分线CN交AB于点N，作∠BNC得角平分线NP交BC于点P，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BCN＝∠ACN＝36°，∠BNC＝∠B＝72°，∴∠BNP＝∠PNC＝36°，∠NPB＝72°，∴△ANC，△NPC，△BNP为等腰三角形；如图方案4，作∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDE＝∠BDC交AB于点E，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BCD＝∠BDE＝∠BED＝72°，∠AED＝108°，∴∠A＝∠ADE＝36°，∴△AED，△BDE，△BCD为等腰三角形； （3）①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，AD＝BD＝BC；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：∠ABC＝90°，∠A＝36°，AD＝CD＝BD；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：∠ABC＝126°，∠C＝36°，AD＝BD＝BC；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：∠C＝132°，∠ABC＝36°，AD＝BD，CD＝CB．综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．故答案为：72°，90°，108°，132°，126°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分情况讨论是解决本题的关键，本题有一定的难度．16．（2019春•浦东新区期末）如图在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数．【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小．【解答】解：设∠A＝x°．∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，在△ABC中x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠A＝36°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等于三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键．17．（2017秋•黄浦区期中）求证：等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等．（1）在所给图形的基础上，根据题意画出图形．（2）根据所画图形写出已知、求证．（3）写出证明过程．【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠BAD＝∠CAD，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：（1）如图，（2）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的中线，点P是AD上任意一点，PE⊥AB垂足为点E，PF⊥AC垂足为点F．求证：PE＝PF．（3）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的中线∴∠BAD＝∠CAD，∵PE⊥AB垂足为点E，PF⊥AC垂足为点F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°．在△APE和△APF中，∴△AEP≌△AFP（AAS），∴PE＝PF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠CAD是解题关键，又利用了全等三角形的判定与性质．18．（2017秋•浦东新区期中）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．（1）求证：∠AFB＝90°；（2）求证：△ADC≌△AEC；（3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明．【分析】（1）由BA＝BC，F是AC的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得BF⊥AC，即可证得∠AFB＝90°；（2）易证DC∥AB，又由BA＝BC，根据等边对等角，证得∠ECA＝∠CAB，即可根据AAS证得△ADC≌△AEC；（3）首先设DE交AC于点H，由△ADC≌△AEC，即可得AD＝AE，∠DAH＝∠EAH，根据等腰三角形的三线合一，则可证得BH⊥DE，则可得∠AFB＝∠AHE，又由同位角相等，两直线平行，证得DE∥BF．【解答】（1）证明：∵BA＝BC，F是AC的中点（已知），∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）．（1分）∴∠AFB＝90°（垂直的定义）．（1分）（2）证明：∵AE⊥BC（已知），∴∠AEC＝90°（垂直的定义）．∵∠ADC＝90°（已知），∴∠ADC＝∠AEC（等量代换）．（1分）∵DC∥AB（已知），∴∠DCA＝∠CAB（两直线平行，内错角相等）．∵BA＝BC（已知），∴∠ECA＝∠CAB（等边对等角）．∴∠DCA＝∠ECA（等量代换）．（1分）在△ADC和△AEC中，∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分）（3）DE与BF平行．（1分）证明：设DE交AC于点H，∵△ADC≌△AEC（已证），∴AD＝AE，∠DAH＝∠EAH（全等三角形对应边相等、对应角相等）．（1分）∴AH⊥DE（等腰三角形的三线合一）．（1分）∴∠AHE＝90°（垂直的定义）∵∠AFB＝90°（已证），∴∠AFB＝∠AHE（等量代换）．（1分）∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．19．（2015春•徐汇区期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．【分析】先根据AB＝AC，∠A＝108°，求得∠C＝36°，再过点A作∠DAC＝36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形．【解答】解：如图2所示，由AB＝AC，∠A＝108°，可知∠C＝36°，过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC＝36°，则△ABD中，∠BAD＝72°，∠ADB＝72°，△ACD中，∠DAC＝∠C＝36°，故△ACD和△ABD均为等腰三角形，故射线AD即为所求．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．简称：等边对等角．20．（2017春•浦东新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD和CE相交于点F，试说明△BFC是等腰三角形的理由．【分析】首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB＝∠DBC，从而得证．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠BEC＝∠CDB＝90°，BC＝CB，在△BEC与△CDB中，，∴△BEC≌△CDB （AAS），∴∠DBC＝∠ECB，∴FB＝FC，∴△BFC是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，关键是根据AAS证明三角形全等和判定解答．21．（2016春•虹口区校级期中）如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．【分析】由角平分线的定义得到∠ABF＝∠DBF，再利用互为余角的关系和三角形内外角的关系，可以得到∠AEF＝∠AFE，由此可判定△AEF是等腰三角形．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，又∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠AFE＝90°﹣∠ABF，∠DEB＝90°﹣∠DBF，∴∠AFE＝∠DEB，又∵∠DEB＝∠AEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴△AEF是等腰三角形．【点评】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质及三角形的内外角的关系，充分利用这些性质得到一组角相等，然后利用等腰三角形的判定即可证明结论．