沪教版数学七年级下册同步讲练第14章三角形（单元基础卷）（2份，原卷版+解析版）

这是一份沪教版数学七年级下册同步讲练第14章三角形（单元基础卷）（2份，原卷版+解析版），文件包含沪教版数学七年级下册同步讲练第14章三角形单元基础卷原卷版doc、沪教版数学七年级下册同步讲练第14章三角形单元基础卷解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
第14章三角形（单元基础卷）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）1．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）A．∠B+∠A＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．∠A＝2∠B＝3∠C D．一个外角等于和它相邻的一个内角【分析】①由∠A+∠B+∠C＝180°，得∠A+∠B＝∠C＝90°；②∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝×180°＝90°；③∠B＝∠A，∠C＝∠A，则∠A≠90°；④一个外角和它相邻的内角互为补角，则每一个角等于90°【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A≠90°，∴△ABC不是直角三角形；D、∵一个外角等于和它相邻的内角，∴每一个角等于90°，∴△ABC是直角三角形；故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．考查下列命题（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；（2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案．【解答】解：（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等，故选项正确；（2）两边和其中一边上的中线对应相等易证两个三角形全等，两边和第三边上的中线对应相等，可以先证明两边的夹角相等，再证明两个三角形全等，故选项正确；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等，可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等，故选项正确；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等时，如图BC＝BC′，CD＝C′D′，△ABC与△ABC′不全等，故选项错误．正确的有3个，故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，要根据选项提供的已知条件逐个分析，看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判定两三角形全等的．3．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（　　）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．4．如图，在等边△ABC中，∠BAD＝20°，AE＝AD，则∠CDE的度数是（　　）A．10° B．12.5° C．15° D．20°【分析】先求出∠DAE，根据等腰三角形性质求出∠ADE＝∠AED，可求出∠ADE，再根据三角形的外角性质求出∠ADC，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∵∠BAD＝20°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠ADE＝∠AED＝×（180°﹣40°）＝70°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，∴∠CDE＝∠CDA﹣∠ADE＝80°﹣70°＝10°．故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．5．已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（　　）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【分析】解此题的关键是三角形全等的判定定理的准确应用．三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°；∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（AAS）．∴AD＝AE，∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO，∴△ADC≌△AEB（ASA）．∴AB＝AC，∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AOB≌△AOC（SAS）．∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，AB＝AC，∴DB＝EC；∵∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS）．故选：A．【点评】此题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是要注意正确识图．6．已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一条底边的长等于（　　）A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况，求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况：①当BC是底边时，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′，∵等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，∴△A′B′C′中一定有一条底边B′C′的长是8cm，②BC是腰时，腰是8cm，∵等腰△ABC的周长为18cm，∴△A′B′C′中一定有一条底边的长是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，即底边长是8cm或2cm，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，注意：要进行分类讨论．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　AC＝DF　．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】求出BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AC＝DF，理由是：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC＝DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．8．在△ABC中，若∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC的外角中最小的角是　直角　（填“锐角”“直角”或“钝角”）【分析】根据三角形的内角和定理可得∠C的度数，进而得到△ABC的外角中最小的角度数．【解答】解：∵∠C﹣∠B＝∠A，∴∠C＝∠A+∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角，故答案为：直角．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是计算出三角形内角的最大度数．9．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝　30　°．【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC＝60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键．10．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝　　．【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，∵BD为中线，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB，∴∠E＝30°＝∠DBC，∴BD＝DE，∵BD是AC中线，CD＝1，∴AD＝DC＝1，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝＝，即DE＝BD＝，故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE＝BD和求出BD的长．11．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为　30°　．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝100°，则β＝50°，180°﹣100°﹣50°＝30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．12．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝　15　°．【分析】由AB＝AC，∠A＝50°，根据等边对等角及三角形内角和定理，可求得∠ABC的度数，又由折叠的性质，求得∠ABE的度数，继而求得∠CBE的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15．【点评】此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．13．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数分别为　100°，60°，20°　．【分析】先根据三个外角之比为2：3：4求出三个外角的度数，再根据平角的性质求出与之对应的三个内角的度数，再求出其比值即可．【解答】解：∵三角形的三个外角之比为2：3：4，∴设三个内角的度数分别为2x，3x，4x．∴2x+3x+4x＝360°，∴x＝40°，2x＝80°，3x＝120°，4x＝160°．∴与之相对应的三个内角的度数分别为：100°，60°，20°．【点评】此题比较简单，考查的是三角形的外角和为360°及平角的性质．14．现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为　3　个．【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去．【解答】解：共有4种方案：①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能构成三角形；②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能构成三角形；③取4cm，6cm，10cm；由于6＝10﹣4，不能构成三角形，此种情况不成立；④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能构成三角形．所以有3种方案符合要求．故答案为：3【点评】此题考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．15．如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAF＝　20　度．【分析】根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答．【解答】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣36°＝68°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝68°×＝34°，在Rt△AFC中，∠FAC＝90﹣∠C＝90°﹣76°＝14°，于是∠DAF＝34°﹣14°＝20°．【点评】主要考查了角平分线、三角形高的定义和三角形的内角和定理．16．如图所示，将等腰△ABC（AB＝AC）绕点B顺时针旋转，使A点落在B边上的点A1处，点C落在点C1处，如果A，A1，C1三点在一直线上，那么，∠BAC＝　108°　．【分析】由旋转的性质可得 AB＝A1B＝A1C，由等腰三角形的性质可得∠C1＝∠A1BC1，∠BAA1＝∠BA1A，由三角形内角和定理列出方程，即可求解．【解答】解：由旋转性质可知 AB＝A1B＝A1C，∴∠C1＝∠A1BC1，∠BAA1＝∠BA1A，设∠ABC＝x，则∠BAA1＝∠AA1B＝2x，在△ABA1 中，∠ABA1+∠BAA1+∠AA1B＝180°，即 x+2x+2x＝180°，解得 x＝36°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，故答案为108°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17．边长为2的正三角形的面积是　　．【分析】求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积．【解答】解：过A作AD⊥BC，∵AB＝AB＝BC＝2，∴BD＝CD＝BC＝1，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝，则S△ABC＝BC•AD＝，故答案为：．【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．18．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角度数为　40°或140°　；已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底边BC的长为　11cm或7cm　．【分析】（1）分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．（2）分两种情况讨论：当AB+AD＝12，BC+DC＝15或AB+AD＝15，BC+DC＝12，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为8，8，11或10，10，7．所以BC的长为7cm或11cm．【解答】解：（1）当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴三角形的顶角为40°；当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°∴三角形的顶角为140°；综上，三角形的顶角为40°或140°；（2）如图3，设AD＝xcm，则当2x+x＝12时，x＝4，即AB＝AC＝8cm，∵周长是12+15＝27cm，∴BC＝11cm；当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10cm，∵周长是12+15＝27cm，∴BC＝7cm，综上可知，底边BC的长为7cm或11cm．故答案为40°或140°；7cm或11cm．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．三、解答题（58分）19．如图∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数．【分析】先根据三角形的外角性质求出∠ADB，再根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝40°，∴∠ADB＝40°+45°＝85°，∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°，∴∠DFE＝85°+20°＝105°．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．20．如图，已知D、E分别是AB、AC的中点，AB＝AC，求证：∠B＝∠C．【分析】根据已知条件可以证出AD＝AE，再加上条件∠A＝∠A．AB＝AC，可利用SAS证明△ADC≌△AEB，再根据全等三角形对应角相等可得结论．【解答】证明：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点（已知），∴，（线段中点的意义）．∵AB＝AC（已知），∴AD＝AE（等量代换）．在△ADC 和△AEB 中，，∴△ADC≌△AEB（SAS）．∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【分析】根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c 是三角形的三边，∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）＝a+3b．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．22．画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°．【分析】根据要求作出图形即可．【解答】解：如图，△ABC即为所求作．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得：CD＝CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由题意：∠DCE＝90°，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC的度数．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由题意：∠DCE＝90°，∵EF∥CD，∴∠E＝180°﹣∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD＝2cm，求DF的长．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2（cm），∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4（cm）．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．25．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD＝2，求DF、EF的长．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝DE＝2．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟记30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．