沪教版数学七年级下册同步讲练第14章三角形（典型30题专练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份沪教版数学七年级下册同步讲练第14章三角形（典型30题专练）（2份，原卷版+解析版），文件包含沪教版数学七年级下册同步讲练第14章三角形典型30题专练原卷版doc、沪教版数学七年级下册同步讲练第14章三角形典型30题专练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
第14章三角形（典型30题专练）一．选择题（共7小题）1．（2020春•黄浦区期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，从①AB＝AE，②BC＝ED，③∠B＝∠E，④∠C＝∠D．这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由∠1＝∠2，可得∠BAC＝∠EAD，又由于AC＝AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1＝∠2，AC＝AD，由∠1＝∠2可知∠BAC＝∠EAD，加①AB＝AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠B＝∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加④∠C＝∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加②BC＝ED只是具备SSA，不能判定三角形全等，其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2021•松江区二模）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（　　）A．4 B．5 C．10 D．15【分析】已知三角形的两边长分别为4和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，只有10符合不等式，故选：C．【点评】考查了三角形的三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．3．（2021春•静安区期末）下列说法正确的是（　　）A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等边三角形都全等【分析】根据选项中的说法可以判断两个三角形是否全等，从而可以解答本题．【解答】解：周长相等的锐角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项A错误；周长相等的直角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项B错误；周长相等的钝角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项C错误；周长相等的等边三角形一定全等，因为周长相等，三条边一定对应相等，利用SSS，可以说明两个三角形全等，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判断，解题的关键是明确题意，可以对错误的判断说明理由或反例、正确的判断说明根据．4．（2021春•浦东新区校级期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5【分析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，得出v＝3．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点，∴BD＝6厘米，若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），∵点Q的运动速度为3厘米/秒，∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s），∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，∴v＝3，∴v的值为：2.25或3，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．5．（2021秋•韶关期末）已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中，能作为第三边长的是（　　）A．2 B．3 C．4 D．9【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：设这个三角形的第三边为x．根据三角形的三边关系定理，得：9﹣4＜x＜9+4，解得5＜x＜13．故选：D．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理．掌握构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边是解决问题的关键．6．（2021春•松江区期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）A．AB＝DE B．BC＝EF C．∠B＝∠E D．AD＝CF【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；B、添加BC＝EF可用AAS进行判定，故本选项错误；C、添加∠B＝∠E不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；D、添加AD＝CF，得出AC＝DF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．7．（2021•金山区二模）已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围即可求解．【解答】解：依题意有4﹣2＜a＜4+2，解得：2＜a＜6．只有选项C在范围内．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系的知识，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．二．填空题（共6小题）8．（2021春•毕节市期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝4：5：9，若按角分类，△ABC是　直角　三角形．【分析】计算出△ABC中的最大角∠C即可得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝4：5：9，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝90°，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．【点评】本题考查三角形的分类，解题关键是计算出最大角（∠C）的度数．9．（2021春•绿园区期末）如图，∠1＝115°，∠2＝50°，那么∠3＝　65°　．【分析】三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和即可得出答案．【解答】解：∵∠1＝115°，∠2＝50°，∴∠3＝∠1﹣∠2＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，题目较容易．10．（2021秋•双峰县期末）如果等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，那么这个等腰三角形的周长为　15cm　．【分析】分3cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．【解答】解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、6cm，∵3+3＝6，∴不能组成三角形，②3cm是底边时，三角形的三边分别为3cm、6cm、6cm，能组成三角形，周长＝3+6+6＝15cm．综上所述，这个等腰三角形的周长为15cm．故答案为：15cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．11．（2021秋•滨海县期中）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 　4　cm．【分析】等边三角形的三条边相等，用12除以3就得这个三角形的边长，由此可得答案．【解答】解：12÷3＝4（cm）．答：这个等边三角形的边长为4cm．故答案为：4．【点评】此题考查了等边三角形的性质，掌握其性质是解决此题关键．12．（2021秋•梅里斯区期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　2　块．【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．13．（2021秋•临邑县期末）如图，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是　CD＝BD　（只添一个条件即可）．【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加DB＝DC，利用SAS判定其全等．【解答】解：需添加的一个条件是：CD＝BD，理由：∵∠1＝∠2，∴∠ADC＝∠ADB，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．故答案为：CD＝BD．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．三．解答题（共17小题）14．（2019秋•陆川县期末）求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠A′B′D′＝∠B，然后证明△ABD≌△A′B′D′可得AB＝A′B′，再证明△ABC≌△A′B′C′即可．【解答】已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B′，∠B、∠B′的角平分线BD＝B′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′．证明：∵∠B＝∠B'且∠B、∠B′的角平分线分别为BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′＝∠B，∵在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB＝A′B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．15．（2021春•贺兰县期中）如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．【分析】根据三角形的内角和可得∠A的度数，再利用外角的性质可得∠FBC的度数．【解答】解：在△AEC 中，FA⊥EC，∴∠AEC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．【点评】本题考查三角形的内角和与外角的性质，求出∠A的度数是解题关键．16．（2020•江阴市模拟）如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．【分析】由“SAS”可证△AFB≌△CED，可得∠A＝∠C，可证AB∥CD．【解答】证明：∵DE∥BF∴∠DEF＝∠BFE∵AE＝CF∴AF＝CE，且DE＝BF，∠DEF＝∠BFE∴△AFB≌△CED（SAS）∴∠A＝∠C∴AB∥CD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．17．（2021•沂源县一模）如图，∠1＝∠2，AD＝AE，∠B＝∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上．（1）试说明△ABD与△ACE全等的理由．（2）如果∠B＝60°，试说明线段AC、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据AAS证明明△ABD与△ACE全等即可；（2）利用全等三角形的性质和等边三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：（1）理由：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）由（1）△ABD≌△ACE可得：BD＝CE，AB＝AC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴BD＝CE＝BC+CD＝AC+CD，即CE＝AC+CD．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．18．（2021秋•临湘市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B即可得出结论，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C，在△BDE与△CEF中，∴△BDE≌△CEF（SAS）．∴DE＝EF，即△DEF是等腰三角形．（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF∵∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B∴∠DEF＝∠B∵AB＝AC，∠A＝40°∴∠DEF＝∠B＝70°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．19．（2021秋•庄浪县期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．在△BAD与△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．20．（2021春•邗江区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为　30　°，△AOB　是　．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC　是　（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）求出∠OAC即可解决问题．（3）分三种情形分别求出即可．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”．故答案为：是．（3）①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（2020秋•秦都区期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．【分析】（1）利用三角形的外角的性质求解即可．（2）求出∠ECD，∠D，利用三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，∴∠ACD＝25°+31°＝56°．（2）∵AD⊥BD，∴∠D＝90°，∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝28°，∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（2020秋•饶平县校级期末）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA．求证：FD⊥BC．【分析】根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B＝∠D，从而不难求得DF⊥BC．【解答】证明：∵BE⊥CD∴∠CEB＝∠AED＝90°，在Rt△BEC和Rt△DEA中∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）； ∴∠CBE＝∠ADC．∵∠CBE+∠C＝90°∴∠ADC+∠C＝90°，∴DF⊥BC．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．23．（2021秋•娄底期中）如图，△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，∠BED＝∠CEF，（1）试说明△ABC是等腰三角形，（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系．【分析】（1）由平行线的性质可得∠EAD＝∠F，∠BAF＝∠E，进而再通过角之间的转化得出结论；（2）由平行线的性质可得∠EAD＝∠F，∠BAF＝∠E，由于∠BED＝∠CEF，得到∠C＝∠CEF＝∠BED＝∠B，于是得到EF＝CF，DE＝DB，即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE∥AC∴∠BED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∵∠BED＝∠CEF，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；（2）AB+AC＝四边形ADEF的周长，理由：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∵∠BED＝∠CEF，∴∠C＝∠CEF＝∠BED＝∠B，∴EF＝CF，DE＝DB，∴AC+AB＝CF+AF+AD+BD＝EF+AF+AD+DE＝四边形EFAD的周长．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各定理是解题的关键．24．（2021春•浦东新区期末）已知：点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：CF＝CH；（3）判断△CFH的形状并说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由SAS就可以得出△BCE≌△ACD；（2）由△BCE≌△ACD可以得出∠CAD＝∠CBE，再求出∠ACE＝∠BCF就可以得出△ACH≌△BCF，就有CH＝CF；（3）连接FH，由CH＝CF，∠ACE＝60°就可以得出△CFH是等边三角形．【解答】解：（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠BCE＝ACD．在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBE＝∠CAD．∵∠ACB+∠ACE+∠DCE＝180°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠ACB．在△ACH和△BCF中，，∴△ACH≌△BCF（ASA），∴CH＝CF；（3）△CFH是等边三角形．理由：连接FH．∵∠ACE＝60°，CH＝CF，∴△CFH是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据条件和结论灵活证明三角形全等是关键．25．（2020春•松江区期末）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数．【分析】设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝5x，再根据三角形的内角和是180°列出关于x的方程，求出x的值，即可得出各角的度数．【解答】解：∵在△ABC中∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，∴∠A＝2×18°＝36°，∠B＝3×18°＝54°，∠C＝5×18°＝90°．答：∠A、∠B、∠C的度数分别为：36°，54°，90°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．26．（2020春•黄浦区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE．试说明BD＝CE的理由．【分析】法1：由AB＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD＝AE得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换可得出一对角相等，利用ASA得出三角形ABD与三角形AEC全等，利用全等三角形的对应边相等可得证；法2：过A作AH垂直于BC于H点，由AB＝AC，利用三线合一得到H为BC中点，同理得到H为DE中点，利用等式的性质变换后可得证．【解答】证明：法1：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），又∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）；法2：过点A作AH⊥BC，垂足为点H， ∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），同理可证，DH＝EH，∴BH﹣DH＝CH﹣EH，∴BD＝CE．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用了等量代换的思想，做题时注意一题多解．27．（2021春•玉田县期末）如图，已知AB∥CD，∠1+∠3＝90°，BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE，试说明AB∥EF的理由．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（ 　等量代换　）．即∠BCF＝90°．∵　∠BCF+∠4+∠5　＝180°（三角形内角和等于180°），∴　∠4+∠5　＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴　∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4　（ 　角平分线的定义　）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（ 　等式的性质　）．∴AB∥FE（ 　同旁内角互补，两直线平行　）．【分析】根据平行线的性质结合三角形的内角和定理可求解∠4+∠5＝90°，由角平分线的定义可求得∠ABF+∠BFE＝180°，进而可证明结论．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（等量代换）．即∠BCF＝90°．∵∠BCF+∠4+∠5＝180°（三角形内角和等于180°），∴∠4+∠5＝90°（等式性质）．∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），∴∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4（角平分线的定义）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（等式的性质）．∴AB∥FE（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF+∠4+∠5；∠4+∠5；∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质与判定，角平分线的定义，结合平行线的性质及三角形的内角和定理求解∠4+∠5＝90°是解题的关键．28．（2020秋•东台市期末）如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：（1）△ABC≌△AED；（2）OB＝OE．【分析】（1）利用SAS定理证明△ABC≌△AED；（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠AED，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，得到∠OBE＝∠OEB，根据等腰三角形的判定定理证明．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC和△EAD中，，∴△BAC和≌EAD；（2）∵△BAC≌△EAD，∴∠ABC＝∠AED，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．29．（2021春•静安区期末）如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD是∠BAC的平分线．【分析】根据BD＝DC得出∠DBC＝∠DCB，进而利用全等三角形的判定和性质证明即可．【解答】证明：∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据BD＝DC得出∠DBC＝∠DCB．30．（2021春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和　，即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．又因为∠FDE＝∠B（已知），所以∠　DFB　＝∠　EDC　．在△DFB和△EDC中，所以△DFB≌△EDC　（SAS）　．因此∠B＝∠C．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠B+∠DFB，再根据∠FDE＝∠B，证明∠DFB＝∠EDC，然后根据边角边定理证明△DFB与△EDC全等，根据此思路写出相关的理由与步骤即可．【解答】解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（2分）即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB．又因为∠FDE＝∠B（已知），所以∠DFB＝∠EDC．（2分），在△DFB和△EDC中，（2分）所以△DFB≌△EDC（SAS）．（1分）因此∠B＝∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．