沪教版数学七年级下册同步讲练第09讲全等三角形的概念性质和判定（2份，原卷版+解析版）

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第09讲全等三角形的概念性质和判定（核心考点讲与练）一．全等图形（1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．一．全等图形（共3小题）1．（2020秋•恩施市期末）下列说法正确的是（　　）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．2．（2017春•顺德区期末）下列说法正确的是（　　）A．两个等边三角形一定全等 B．腰对应相等的两个等腰三角形全等 C．形状相同的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等【分析】根据全等图形的判定和性质对各个选项进行判断即可．【解答】解：两个等边三角形边长不一定相等，所以不一定全等，A错误；腰对应相等的两个等腰三角形对应角不一定相等，所以不一定全等，B错误；形状相同的两个三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，C错误；全等三角形的面积一定相等，所以D正确，故选：D．【点评】本题考查的是全等图形的判定和性质，对应角相等、对应边相等的两个图形确定，全等形的周长和面积相等．3．（2021•浦东新区校级自主招生）一个小正方形，外面有4个全等的长方形，拼成一个大正方形．问：可以得到什么结论？【分析】根据正方形的面积公式得到大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，利用面积相等推导出（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．【解答】解：∵大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，4个全等的长方形面积和为4ab，∴得到结论：大正方形面积减去四个长方形面积＝小正方形的面积，即：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．【点评】本题考查全等图形，正方形的面积，完全平方公式的几何意义；熟练掌握正方形的面积公式是解题的关键．二．全等三角形的性质（共5小题）4．（2021春•奉贤区期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　）A．50° B．58° C．60° D．72°【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴α＝50°．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．5．（2021春•浦东新区校级期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5【分析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，得出v＝3．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点，∴BD＝6厘米，若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），∵点Q的运动速度为3厘米/秒，∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s），∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，∴v＝3，∴v的值为：2.25或3，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．6．（2020春•虹口区期末）如图，已知△ABC与△DEF全等，且∠A＝72°、∠B＝45°、∠E＝63°、BC＝10，EF＝10，那么∠D＝　72　度．【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠C＝63°，那么∠C＝∠E．根据相等的角是对应角，相等的边是对应边得出△ABC≌△DFE，然后根据全等三角形的对应角相等即可求得∠D．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝72°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝63°，∵∠E＝63°，∴∠C＝∠E．∵△ABC与△DEF全等，BC＝10，EF＝10，∴△ABC≌△DFE，∴∠D＝∠A＝72°，故答案为72．【点评】本题考查了全等三角形的性质；注意：题目条件中△ABC与△DEF全等，但是没有明确对应顶点．得出△ABC≌△DFE是解题的关键．7．（2017秋•浦东新区校级期末）如图，已知△ABE≌△ACD．（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长；（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质，可得出BE＝CD，根据BE＝6，DE＝2，得出CE＝4，从而得出BC的长；（2）根据全等三角形的性质可得出∠BAE＝∠CAD，即可得出∠BAD＝∠CAE，计算∠CAD﹣∠CAE即得出答案．【解答】解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，又∵BE＝6，DE＝2，∴EC＝DC﹣DE＝BE﹣DE＝4，∴BC＝BE+EC＝10；（2）∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．8．（2017春•黄浦区校级月考）如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求（1）DE的长；（2）∠BAC的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，∴AE＝BD＝4cm，∴DE＝AD+AE＝6cm；（2）∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝∠CAE∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．三．全等三角形的判定（共8小题）9．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D．下列条件中，不一定能推得△ABD与△ACD全等的条件是（　　）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠DAC D．∠BAD＝∠CAD【分析】由AD⊥BC，可得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用全等三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可得出答案．【解答】解：A、∵AB＝AC，AD＝AD，根据HL能判定△ABD≌△ACD；B、∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，根据SAS能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠B＝∠DAC，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，不能判定△ABD≌△ACD；D、∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，根据ASA能判定△ABD≌△ACD；故选：C．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．10．（2021春•金山区期末）如图，已知△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，添加下列哪一个条件可以得到△ABC≌△DEF（　　）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠F C．AC∥DF D．AB∥DE【分析】利用AB＝DE，BC＝EF，则根据全等三角形的判定方法只有添加∠B＝∠DEF或AC＝DF时可判断△ABC≌△DEF，由于AB∥DE可得到∠B＝∠DEF，从而可得到正确选项．【解答】解：∵AB＝DE，BC＝EF，∴当∠B＝∠DEF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；当AC＝DF时，根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF；∵由AB∥DE可得到∠B＝∠DEF，∴D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了全等三角形的性质．11．（2020秋•浦东新区期中）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q．（1）求证：MP⊥MQ；（2）求证：△BMP≌△MCQ．【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，则可计算出∠PMQ＝（∠AMB+∠AMC）＝90°，从而得到结论；（2）先证明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，然后根据“AAS”可判断△BMP≌△MCQ．【解答】证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC＝（∠AMB+∠AMC）＝×180°＝90°，∴MP⊥MQ；（2）由（1）知，MP⊥MQ，∵BP⊥MP，∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，∴∠PBM＝∠QMC，∵AM是△ABC的中线，∴BM＝MC，在△BMP和△MCQ中，∴△BMP≌△MCQ（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．12．（2021春•闵行区校级月考）下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（　　）A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；B、∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，不符合题意；C、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，符合题意；D、∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．（2020春•奉贤区期末）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？【分析】根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．【解答】解：△BDO与△CEO全等，∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，∵∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO，在△BDO与△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．（2019春•松江区期末）如图，已知AF与BE相交于点O，C、D分别是AF与BE上的两点，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°．（1）请说明CD∥EF的理由；（2）分别联结CE、DF，若OE＝OF，请说明△ECD≌△FDC的理由．【分析】（1）根据平行线的判定和性质就即可；（2）根据等式的性质和平行线的性质得出CF＝DE，进而利用SAS证明全等即可．【解答】解：（1）∵∠A+∠ACD＝180°，∴CD∥AB，∵EF∥AB（已知），∴CD∥EF．（2）∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵CD//EF，∴∠OEF＝∠ODC，∠OFE＝∠OCD，∴∠ODC＝∠OCD，∴OC＝OD，∴OC+OF＝OD+OE，即CF＝DE，在△ECD和△FDC中，，∴△ECD≌△FDC（SAS）．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定方法解答．15．（2019秋•杨浦区校级月考）求证：有两个内角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等．已知：　如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠ABC＝∠A'B'C'，BD，B'D'分别平分∠ABC和∠A'B'C'，且BD＝B'D'，　求证：　△ABC≌△A'B'C'　作图：　　证明：　∵∠ABC＝∠A'B'C'，且∠ABC、∠A'B′C'的角平分线分别为BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，∵在△ABD和△A′B′D′中∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB＝A′B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）　【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠A′B′D′，然后证明△ABD≌△A′B′D′可得AB＝A′B′，再证明△ABC≌△A′B′C′即可．【解答】解：已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠ABC＝∠A'B'C'，BD，B'D'分别平分∠ABC和∠A'B'C'，且BD＝B'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'证明：∵∠ABC＝∠A'B'C'，且∠ABC、∠A'B′C'的角平分线分别为BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，∵在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB＝A′B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．故答案为：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠ABC＝∠A'B'C'，BD，B'D'分别平分∠ABC和∠A'B'C'，且BD＝B'D'，△ABC≌△A'B'C'∵∠ABC＝∠A'B'C'，且∠ABC、∠A'B′C'的角平分线分别为BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，∵在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB＝A′B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．16．（2021秋•徐汇区校级期中）在下列各组的三个条件中，能判定△ABC和△DEF全等的是（　　）A．AC＝DF，BC＝DE，∠B＝∠D B．∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D C．AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定即可．【解答】解：A、根据AC＝DF，BC＝DE，∠A＝∠D，不符合SAS，不能判断△ABC和△DEF全等，故本选项不符合题意；B、根据∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D，三个角相等不能判断△ABC和△DEF全等，故本选项不符合题意；B、AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，不满足AAS或ASA，不能判定△ABC和△DEF全等，故本选项不符合题意；D、根据AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F，根据ASA能判断△ABC≌△EFD，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共13小题）1．（2020秋•浦东新区期末）下列语句中，正确的有（　　）个．①一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；②两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三角形的外角大于任何一个内角．A．1 B．2 C．3 D．4．【分析】根据全等三角形的判定可判断出①②的说法的正误；根据三角形的内角和可判断出③④的正误．【解答】解：①一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等说法正确，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等；②两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等错误；如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不全等，原说法错误；③三角形的三个内角中至少有两个锐角，说法正确；④三角形的外角大于任何一个内角，错误．故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，以及三角形的内角和，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．三角形的内角和为180°．2．（2021春•闵行区期末）下列条件不能确定两个三角形全等的是（　　）A．三条边对应相等 B．两条边及其中一边所对的角对应相等 C．两边及其夹角对应相等 D．两个角及其中一角所对的边对应相等【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、AAS对以下选项进行一一分析，并作出判断．【解答】解：A、根据“全等三角形的判定定理SSS”可以证得三条边对应相等的两个三角形全等．故本选项不符合题意；B、根据SSA不可以证得两个三角形全等．故本选项符合题意；C、根据“全等三角形的判定定理SAS”可以证得两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．故本选项不符合题意；D、根据“全等三角形的判定定理AAS”可以证得两个角及其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等．故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2020春•浦东新区期末）如图所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于点E，则图中全等三角形共有（　　）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【分析】从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一一进行验证，做到由易到难，不重不漏．【解答】解：在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（SAS）；∴∠A＝∠B，∵OA＝OB，OC＝OD，∴AC＝BD，在△CAE和△DBE中，∴△CAE≌△DBE（AAS）；∴AE＝BE，在△AOE和△BOE中，∴△AOE≌△BOE（SSS）；在△OCE和△ODE中，∴△OCE≌△ODE（SSS）．故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．4．（2020春•奉贤区期末）下列说法中不正确的是（　　）A．各有一个角为130°，且底边相等的两个等腰三角形全等 B．各有一个角为50°，且底边相等的两个等腰三角形全等 C．各有一个角为50°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等 D．各有一个角为50°，且有斜边相等的两个直角三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可．【解答】解：A、各有一个角为130°，且底边相等的两个等腰三角形一定全等；故本选项正确；B、各有一个角为50°，且底边相等的两个等腰三角形不一定全等；故本选项错误；C、各有一个角为50°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；D、各有一个角为50°，且有斜边相等的两个直角三角形，符合“AAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定，一般三角形全等的判定方法都适合直角三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．5．（2019春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么还不能判定△ABE≌△ACD，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB【分析】三角形中∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC，又∠A＝∠A，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：添加A选项中条件可用SAS判定两个三角形全等；添加B选项以后是SSA，无法证明三角形全等；添加C选项中条件首先根据等边对等角得到∠OBC＝∠OCB，再由等式的性质得到∠ABE＝∠ACD，最后运用ASA判定两个三角形全等；添加D选项中条件首先根据等角的补角相等可得∠ADC＝∠AEB，再由AAS判定两个三角形全等；故选：B．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．6．（2020春•普陀区期末）如图，已知AB＝AC，∠DAB＝∠DAC，那么判定△ABD≌△ACD的依据是（　　）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出相应的全等三角形，并写出判定依据．【解答】解：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．7．（2021春•静安区期末）下列说法正确的是（　　）A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等边三角形都全等【分析】根据选项中的说法可以判断两个三角形是否全等，从而可以解答本题．【解答】解：周长相等的锐角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项A错误；周长相等的直角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项B错误；周长相等的钝角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项C错误；周长相等的等边三角形一定全等，因为周长相等，三条边一定对应相等，利用SSS，可以说明两个三角形全等，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判断，解题的关键是明确题意，可以对错误的判断说明理由或反例、正确的判断说明根据．8．（2020春•杨浦区期末）如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，图中全等三角形有（　　）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．【解答】解：∵AO平分∠DAE，∴∠1＝∠2，在△AOD和△AOE中，，∴△AOD≌△AOE（SAS），∴∠D＝∠E，OD＝OE；在△AOC和△AOB中，，△AOC≌△AOB（SAS）；在△COD和△BOE中，，∴△COD≌△BOE（ASA）；在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS）；由上可得，图中全等三角形有4对，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．9．（2020春•虹口区期中）如下，给定三角形的六个元素中的三个元素，画出的三角形的形状和大小完全确定的是（　　）①三边；②两角及其中一角的对边；③两边及其夹角；④两边及其中一边的对角．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．【解答】解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，∴根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故①符合题意，根据AAS定理可知能作出唯一三角形，故②符合题意，根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故③符合题意，根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故④不符合题意，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．10．（2020秋•静安区校级期中）下列各命题中，假命题是（　　）A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等 C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等 D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．【解答】解：A、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；B、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是全等三角形的判定．11．（2020春•闵行区期末）如图，已知∠DOB＝∠COA，补充下列条件后仍不能判定△ABO≌△CDO的是（　　）A．∠D＝∠B，OB＝OD B．∠C＝∠A，OA＝OC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，OB＝OD【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断．【解答】解：∵∠DOB＝∠COA，∴∠DOB﹣∠BOC＝∠COA﹣∠BOC，即∠DOC＝∠BOA，A、根据∠D＝∠B、OB＝OD和∠DOC＝∠BOA能推出△ABO≌△CDO（ASA），故本选项不符合题意；B、根据∠A＝∠C、OA＝OC和∠DOC＝∠BOA能推出△ABO≌△CDO（ASA），故本选项不符合题意；C、根据OA＝OC、∠DOC＝∠BOA和OB＝OD能推出△ABO≌△CDO（SAS），故本选项不符合题意；D、根据CD＝AB、OB＝OD和∠DOC＝∠BOA不能推出△ABO≌△CDO，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．12．（2020春•浦东新区期末）下列说法中错误的是（　　）A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 B．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等，是“ASA”，说法正确；B、两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，是“AAS”，说法正确；C、有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等，是“SAS”，说法正确；D、有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，说法错误；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，是基础题，熟记全等三角形判定方法是解题的关键，要注意“SSA”不能判定三角形全等．13．（2019春•松江区期末）如图，点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF．补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC与△DEF全等的是（　　）A．∠A＝∠E B．BD＝CF C．AC∥DE D．AC＝DE【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，A、添加∠A＝∠E，利用ASA能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；B、添加BD＝CF，得出BC＝FD，利用SAS能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；C、添加AC∥DE，得出∠ACB＝∠EDF，利用AAS能判定△ABC与△DEF全等，不符合题意；D、添加AC＝DE，不能判定△ABC与△DEF全等，符合题意；故选：D．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．二．填空题（共9小题）14．（2021春•金山区期末）如图，已知△ABC≌△ABD，其中AC、BC的对应边分别是AD、BD，∠C＝60°，∠ABC＝80°，那么∠CAD＝　80　度．【分析】根据三角形的内角和定理得到∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝40°，根据全等三角形的性质得到∠DAB＝∠CAB＝40°，于是得到结论．【解答】解：∵∠C＝60°，∠ABC＝80°，∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵△ABC≌△ABD，∴∠DAB＝∠CAB＝40°，∴∠CAD＝∠CAB+∠DAB＝80°，故答案为：80．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．15．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是　　．【分析】根据勾股定理求得AB＝5，由△ACD≌△C1A1D1，所以可以将A1点放在左图的C点上，C1点放在左图的A点上，D1点对应左图的D点，从而得出BC∥B1C1，根据其性质得出＝2，解得求出AD的长．【解答】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以将△C1A1D1与△ACD重合，如图，∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，∴BC∥B1C1，∴＝，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴＝，解得AD＝，∴AD的长为，故答案为．【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，证得＝是解题的关键．16．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是　AB＝DE或∠ACB＝∠DCE　（只需填写一个）．【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案．【解答】解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．【点评】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．17．（2020秋•闵行区期中）如图，已知AC＝DB，要使得三角形ABC≌△DCB，还需添加一个条件，那么这个条件可以是　AB＝DC或∠ACB＝∠DBC　．（只需填写一个条件即可）【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）判断即可．【解答】解：添加AB＝DC，利用SSS可得△ABC≌△DCB；添加∠ACB＝∠DBC，利用SAS可得△ABC≌△DCB；故答案为：AB＝DC或∠ACB＝∠DBC．【点评】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．18．（2020春•嘉定区期末）如图：已知AB＝CD，使△ABO≌△CDO，还需添加一个条件，你添加的条件是　∠A＝∠C　．（只需一个，不添加辅助线）【分析】由图形可知∠AOB＝∠COD，结合条件，根据全等三角形的判定方法填写答案即可．【解答】解：∵AB＝CD，且∠AOB＝∠COD，∴当∠B＝∠D或∠A＝∠C时，满足AAS，可证明△ABO≌△CDO，故答案为：∠A＝∠C（∠B＝∠D）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．19．（2020春•金山区期末）如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，　BC　＝　AD　，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．【分析】因为夹∠ABC的两边分别为AB的BC，所以再加上BC＝AD，得△ABC≌△BAD（SAS）．【解答】解：∵AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，∴再加上BC＝AD，∴△ABC≌△BAD（SAS）．故答案为：BC，AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法是：①SSS②SAS③ASA④AAS．20．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，∠B＝∠E，AD＝CF，使△ABC≌△DEF，请添一个条件可以是 　∠ACB＝∠F　．【分析】由AD＝CF，可得出AC＝DF，又有∠B＝∠E，本题具备了一组边、一组角对应相等，所以根据全等三角形的判定定理添加一组对应角相等即可．【解答】解：添加∠ACB＝∠F．理由如下：∵AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案是：∠ACB＝∠F．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21．（2021春•闵行区期末）如图，已知∠B＝∠C，从下列条件中选择一个，则可以证明△OEB全等于△ODC．①AD＝AE，②OB＝OC，③BD＝CE，④∠BEO＝∠CDO，那么这个条件可以是 　①或②或③　（写出所有符合条件的序号）．【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：选择①和②可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），选择③可与∠B＝∠C一起得出△ABD≌△ACE（AAS），∴AB＝AC，AD＝AE，∴BE＝CD，∴△OEB≌△ODC（AAS）选择④没有已知的边，不能得到△OEB≌△ODC，故答案为：①或②或③．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．22．（2019春•闵行区期末）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 　AC＝A1C1或∠B＝∠B1（答案不为一）　．【分析】根据全等三角形的判定（有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS）可得当∠B＝∠B1时，可得△ABC≌△A1B1C1．根据全等三角形的判定（三边对应相等的两个三角形全等SSS）可得当AC＝A1C1时，可得△ABC≌△A1B1C1．【解答】解：添加AC＝A1C1；∠B＝∠B1后可分别根据SSS、SAS判定ABC≌△A1B1C1，故答案为：AC＝A1C1或∠B＝∠B1．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三．解答题（共5小题）23．（2017秋•浦东新区校级期末）如图，已知△ABE≌△ACD．（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长；（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质，可得出BE＝CD，根据BE＝6，DE＝2，得出CE＝4，从而得出BC的长；（2）根据全等三角形的性质可得出∠BAE＝∠CAD，即可得出∠BAD＝∠CAE，计算∠CAD﹣∠CAE即得出答案．【解答】解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，又∵BE＝6，DE＝2，∴EC＝DC﹣DE＝BE﹣DE＝4，∴BC＝BE+EC＝10；（2）∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°，∴∠BAE＝∠CAD＝45°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．24．（2020春•奉贤区期末）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？【分析】根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可．【解答】解：△BDO与△CEO全等，∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，∵∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO，在△BDO与△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．25．（2020秋•浦东新区期中）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q．（1）求证：MP⊥MQ；（2）求证：△BMP≌△MCQ．【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，则可计算出∠PMQ＝（∠AMB+∠AMC）＝90°，从而得到结论；（2）先证明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，然后根据“AAS”可判断△BMP≌△MCQ．【解答】证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC＝（∠AMB+∠AMC）＝×180°＝90°，∴MP⊥MQ；（2）由（1）知，MP⊥MQ，∵BP⊥MP，∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，∴∠PBM＝∠QMC，∵AM是△ABC的中线，∴BM＝MC，在△BMP和△MCQ中，∴△BMP≌△MCQ（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．26．（2019•禄劝县一模）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC∥DF，AC＝DF，求证：△ABC≌△DEF．【分析】先由CE＝BF，可得BC＝EF，继而利用SAS可证明结论．【解答】解：∵CE＝BF，∴CE+BE＝BF+BE，即BC＝EF，又∵AC∥DF，∴∠C＝∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等．27．（2018春•金山区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，试说明△ACE≌△DCB的理由．【分析】由已知条件可知∠ACE＝∠DCB，则根据SAS可证全等．【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即：∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．题组B 能力提升练一．选择题（共4小题）1．（2017•浦东新区校级自主招生）若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（　　）A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．【解答】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SSS），故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2012春•浦东新区期末）已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一条底边的长等于（　　）A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况，求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况：①当BC是底边时，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′，∵等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，∴△A′B′C′中一定有一条底边B′C′的长是8cm，②BC是腰时，腰是8cm，∵等腰△ABC的周长为18cm，∴△A′B′C′中一定有一条底边的长是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，即底边长是8cm或2cm，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，注意：要进行分类讨论．3．（2021•普陀区二模）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（　　）A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°【分析】根据全等三角形的判定定理进行推理．【解答】解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（2020春•虹口区期末）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（　　）A．三个内角分别对应相等的两个三角形 B．两条边和第三边上的中线对应相等的两个三角形 C．两条边和其中一个角对应相等的两个三角形 D．两条边和第三边上的高对应相等的两个三角形【分析】选项A、C、D画出不符合的图形即可；选项B，画出图形，延长BD到E，使BD＝DE，连接CE，延长B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，连接C′E′，根据全等三角形的判定推出△ABD≌△CED，△A′B′D′≌△C′E′D′，根据全等三角形的性质得出∠ABD＝∠E，CE＝AB，∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′，求出CE＝C′E′，根据全等三角形的判定推出△BCE≌△B′C′E′，根据全等三角形的性质得出∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′，求出∠ABC＝∠A′B′C′，根据全等三角形的判定推出△ABC≌△A′B′C′即可．【解答】解：A．如图所示：在△ADE和△ABC中，∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，但是△ADE和△ABC不全等，故本选项不符合题意；B．如图：延长BD到E，使BD＝DE，连接CE，延长B′D′到E′，使B′D′＝D′E′，连接C′E′，∵BD是△ABC的中线，B′D′是△A′B′C′的中线，∵AD＝CD，A′D′＝C′D′，BE＝B′E′，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴∠ABD＝∠E，CE＝AB，同理∠AB′D′′＝∠E′，C′E′＝A′B′，∵AB＝A′B′，∴CE＝C′E′，在△BCE和△B′C′E′中，∴△BCE≌△B′C′E′（SSS），∴∠E＝∠E′，∠EBC＝∠E′B′C′，∵∠ABD＝∠E′，∠A′B′D′＝∠E′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，即∠ABC＝∠A′B′C′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故本选项符合题意；C．如图所示：在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但是△ABC和△ABD不全等，故本选项不符合题意；D．如图所示：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝高A′D′，此时△ABC和△A′B′C′不全等，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．二．填空题（共5小题）5．（2021春•浦东新区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，则∠E的度数是 　36　°．【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠ABD＝∠ADE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABD＝70°，求出∠DAE和∠ADE，再根据三角形内角和定理求出∠E即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝40°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ADE＝∠ABD＝70°，∵∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝114°﹣40°＝74°，∴∠E＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣70°﹣74°＝36°，故答案为：36．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应角相等是解此题的关键．6．（2021春•奉贤区期末）如图，已知AC＝DC，∠1＝∠2，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC，这个条件可以是　BC＝EC　．【分析】添加BC＝EC，由等式的性质可得∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，进而可得∠ACB＝∠ECD，然后利用SAS判定△ABC≌△DEC即可．【解答】解：添加BC＝EC，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，即∠ACB＝∠ECD，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：BC＝EC．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．（2018春•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点G，请你添加一个适当的条件，使得△AEG≌△CEB，这个条件可以是　GE＝BE　（只需填写一个）．【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEG与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEG中，∠EAG＝90°﹣∠AGE，又∵∠EAG＝∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠AGE，在Rt△AEG和Rt△CDG中，∠CGD＝∠AGE，∴∠EAG＝∠DCG，∴∠EAG＝90°﹣∠CGD＝∠BCE，所以根据AAS添加AG＝CB或EG＝EB；根据ASA添加AE＝CE．可证△AEG≌△CEB．故答案为：GE＝BE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．8．（2017秋•浦东新区校级期末）如图，AB＝AD，∠1＝∠2，请你添加一个适当的条件，使得△ABC≌ADE，则需要添加的条件是　AE＝AC　，三角形全等的理由是　SAS　．（只写一种即可）．【分析】根据SAS可以条件AE＝AC即可．【解答】解：AE＝AC；SAS（答案不唯一）；理由：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）故答案为AE＝AC，SAS；【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．9．（2018春•虹口区期末）如图，点P在∠MON的平分线上，点A、B分别在角的两边，如果要使△AOP≌△BOP，那么需要添加的一个条件是　AO＝BO（或∠OAP＝∠OBP；∠APO＝∠BPO）　（只写一个即可，不添加辅助线）．【分析】判断两个三角形全等的方法有“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”．此题要证△AOP≌△BOP，通过题中已知的OP为∠MON的平分线，可得∠AOP＝∠BOP，还有一条公共边OP＝OP，若添加AO＝BO，则可根据“SAS”来判定，若添加∠OAP＝∠OBP，则可根据“AAS”来判定，若添加∠APO＝∠BPO，则可根据“ASA”来判定．综上可得出此题的答案．【解答】解：可以添加的条件有：AO＝BO，∠OAP＝∠OBP，∠APO＝∠BPO，证明：∵OP为∠MON的平分线，∴∠AOP＝∠BOP，若添加的条件为AO＝BO，在△AOP和△BOP中，OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP．所以添加的条件为AO＝BO，能得到△AOP≌△BOP；若添加的条件为∠OAP＝∠OBP，在△AOP和△BOP中，∠OAP＝∠OBP，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP．所以添加的条件为∠OAP＝∠OBP，能得到△AOP≌△BOP；若添加的条件为∠APO＝∠BPO，在△AOP和△BOP中，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠APO＝∠BPO∴△AOP≌△BOP．所以添加的条件为∠APO＝∠BPO，能得到△AOP≌△BOP；故答案为：AO＝BO或∠OAP＝∠OBP或∠APO＝∠BPO（写出一个即可）．【点评】此题属于条件开放型试题，重在考查学生全等三角形的判定，解答这类试题，需要执果索因，逆向思维，逐步探求使结论成立的条件．解决这类问题还要注意挖掘图形中的隐含条件，如公共边、对顶角相等、公共角等．这类问题的答案往往不唯一，只要合理即可．三．解答题（共6小题）10．（2012春•金山区校级期末）已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由．解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （　已知　）所以∠AED＝90°，∠AFD＝90°（　垂直定义　）所以∠AED＝∠AFD （　等量代换　）因为AD是△ABC的角平分线 （　已知　）所以∠DAE＝∠DAF （　角平分线定义　）在△ADE与△ADF中∠AED＝∠AFD、∠DAE＝∠DAF（　已证　）所以△ADE≌△ADF （　AAS　）．【分析】求出∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF，根据AAS推出两三角形全等即可．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），∴∠AED＝90°，∠AFD＝90°（垂直定义），∴∠AED＝∠AFD（等量代换），∵AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠DAE＝∠DAF（角平分线定义），在△ADE和△ADF中∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF（已证），AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），故答案为：已知，垂直定义，等量代换，已知，角平分线定义，已证，AAS．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，角平分线定义，垂直定义的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．11．（2012春•金山区校级期末）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　AB　＝　A′B′　，所以可以使点B与点B′重合．这是因为 　AC　＝　A′C′　，所以点 　C　与 　C′　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【分析】根据全等三角形的性质，结合题意填空即可．【解答】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．这是因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，AC＝A'C'，C，C'．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．12．（2011春•闵行区期末）阅读：如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′．那么△ABC≌△A′B′C′．说明过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使∠A的顶点与∠A′的顶点重合；由于∠A＝∠A′，因此可以使射线AB、AC分别落在射线A′B′、A′C′上．因为AB＝A′B′，AC＝A′C′，所以点B、C分别与点B′、C′重合，这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．于是，得全等三角形判定方法1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为SAS）．请完成下面问题的填空：如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′．那么△ABC≌△A′B′C′．说明过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，因为AB＝A′B′，可以使　AB　与　A′B′　重合，并使点C与C′在AB（A′B′）的同一侧，这时点A与点A′重合，点　C　与点　C′　重合．由于∠A＝∠A′，因此射线　AC　与射线　A′C′　叠合；由于∠B＝∠B′，因此射线　BC　与射线　B′C′　叠合．于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合．这样　△ABC　与　△A′B′C′　重合，即△ABC≌△A′B′C′．于是，得全等三角形判定方法2：在两个三角形中，　如果两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为ASA）　．【分析】根据题目提供的信息，结合图形找准对应边与对应角，然后填空即可．【解答】解：把△ABC放到△A′B′C′上，因为AB＝A′B′，可以使AB与A′B′重合，并使点C与C′在AB（A′B′）的同一侧，这时点A与点A′重合，点B与点B′重合．由于∠A＝∠A′，因此射线AC与射线A′C′叠合；由于∠B＝∠B′，因此射线BC与射线B′C′叠合．于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合．这样△ABC与△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．于是，得全等三角形判定方法2：在两个三角形中，如果两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为ASA）．故答案为：AB；A′B′；C；C′；AC；A′C′；BC；B′C′；△ABC；△A′B′C′；如果两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，读懂题目信息，理清证明方法是解题的关键．13．（2019春•浦东新区期末）公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M是BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上．（提示：可通过证明∠EMF＝180°）【分析】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出∠BME＝∠CMF．通过角之间的转换可得到E，M，F在一条直线上．【解答】证明：连接ME，MF．∵AB∥CD，（已知）∴∠B＝∠C（两线平行内错角相等）．在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS）．∴∠BME＝∠CMF，∴∠EMF＝∠BME+∠BMF＝∠CMF+∠BMF＝∠BMC＝180°，∴E，M，F在一条直线上．【点评】此题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，注意共线的证明方法．14．（2017春•浦东新区期末）已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD，线段AC交线段OB于点M，线段BD交线段OC于点N．（1）请说明△AOC≌△BOD的理由；（2）请说明OM＝ON的理由．【分析】（1）根据已知条件得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD；（2）∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B，在△AOM与△BON中，，∴△AOM≌△BON，∴OM＝ON．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（2016春•杨浦区期末）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′，试把下面运用“叠合法”说明△ABC和△A′B′C′全等的过程补充完整：说理过程：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，因为 　AB＝A′B′　，所以可以使 　AB与A′B′重合　，并使点C和C′在AB（A′B′）同一侧，这时点A与A′重合，点B与B′重合，由于 　∠A＝∠A′　，因此，　射线AC与射线A′C′叠合　；由于 　∠B＝∠B′　，因此，　射线BC与射线B′C′叠合　；于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合．这样 　△ABC与△A′B′C′重合，即△ABC与△A′B′C′全等　．【分析】将运用“叠合法”说明△ABC和△A′B′C′全等的过程补充完整，即可得出结论．【解答】解：说理过程：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，因为AB＝A′B′，所以可以使AB与A′B′重合，并使点C和C′在AB（A′B′）同一侧，这时点A与A′重合，点B与B′重合，由于∠A＝∠A′，因此，射线AC与射线A′C′叠合；由于∠B＝∠B′，因此，射线BC与射线B′C′叠合；于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合．这样△ABC与△A′B′C′重合，即△ABC与△A′B′C′全等．故答案为：AB＝A′B′；AB与A′B′重合；∠A＝∠A′；射线AC与射线A′C′叠合；∠B＝∠B′；射线BC与射线B′C′叠合；△ABC与△A′B′C′重合，即△ABC与△A′B′C′全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是将运用“叠合法”说明△ABC和△A′B′C′全等的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．