初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册15.1 平面直角坐标系课后练习题

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一．选择题（共6小题）
1．（2021春•嘉定区期末）如果点A（a，b）在第四象限，那么a、b的符号是（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0
【分析】根据第四象限的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得a、b的取值范围．
【解答】解：由点A（a，b）在第四象限，得
a＞0，b＜0，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（2021春•奉贤区期末）如果点A（a，b）在x轴上，那么点B（b﹣1，b+3）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由题意b＝0，从而得到点B的坐标，再根据各象限内点的坐标的符号特征判断即可．
【解答】解：因为点A（a，b）在x轴上，
所以b＝0，
则点B为（﹣1，3），
所以点B在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（2020春•黄浦区期末）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由点A在x轴上求出a的值，从而得出点B的坐标，继而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，a﹣1）在x轴上，
∴a﹣1＝0，即a＝1，
则点B坐标为（2，﹣1），
∴点B在第四象限，
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点．
4．（2019春•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在第三象限，且点A到x轴、y轴的距离分别为4和7，那么点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，7）B．（﹣7，﹣4）C．（4，﹣7）D．（7，﹣4）
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：因为点A在第三象限，且点A到x轴的距离是4，到y轴的距离是7，
所以点A的坐标为（﹣7，﹣4），
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（2019•杨浦区三模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），将点A向右平移4个单位，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，2）
【分析】直接利用平移规律得出点A'坐标，再根据关于y轴对称点的性质得出点A“坐标即可．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），
∴将点A向右平移4个单位，得到点A′（3，2），
∵作点A'关于y轴的对称点，得到点A“，
∴点A″的坐标是：（﹣3，2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．
6．（2021春•饶平县校级期末）线段AB经过平移得到线段CD，其中点A、B的对应点分别为点C、D，这四个点都在如图所示的格点上，那么线段AB上的一点P（a，b）经过平移后，在线段CD上的对应点Q的坐标是（ ）
A．（a﹣1，b+3）B．（a﹣1，b﹣3）C．（a+1，b+3）D．（a+1，b﹣3）
【分析】依据B（1，3），D（2，0），可得线段AB向右平移1个单位，向下平移3个单位得到线段CD，再根据P（a，b），即可得到对应点Q（a+1，b﹣3）．
【解答】解：由图可得，点A、B的对应点分别为点C、D，而B（1，3），D（2，0），
∴线段AB向右平移1个单位，向下平移3个单位得到线段CD，
又∵P（a，b），
∴Q（a+1，b﹣3），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
二．填空题（共19小题）
7．（2021春•静安区校级期末）如果点A（2，t）在x轴上，那么点B（t﹣2，t+1）在第 二 象限．
【分析】由题意t＝0，从而得到点B的坐标，再根据各象限内点的坐标的符号特征判断即可．
【解答】解：因为点A（2，t）在x轴上，
所以t＝0，
则点B为（﹣2，1），
所以点B在第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
8．（2021春•静安区校级期末）点A（﹣1，2）在第 二 象限．
【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征判断即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，2）的横坐标小于零，纵坐标大于零，
∴点A（﹣1，2）在第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
9．（2020春•普陀区期末）直角坐标平面内，点P（3，﹣4）到y轴的距离等于 3 ．
【分析】根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：点P（3，﹣4）到y轴的距离是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．
10．（2021春•奉贤区期末）在平面直角坐标系中，经过点M（2，5）且垂直y轴的直线可以表示为直线 y＝5 ．
【分析】根据垂直于y轴的直线的纵坐标与点M的纵坐标相同解答．
【解答】解：∵经过点M（2，5）且垂直于y轴，
∴直线可以表示为y＝5．
故答案为：y＝5．
【点评】此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相等．
11．（2021春•静安区期末）在平面直角坐标系中，如果点Q（a+1，2﹣a）在x轴上，那么a＝ 2 ．
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出2﹣a＝0，进而求出a的值．
【解答】解：∵点Q（a+1，2﹣a）在x轴上，
∴2﹣a＝0，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了x轴上点的坐标特点，熟知x轴上的点的纵坐标为零是解答本题的关键．
12．（2021春•杨浦区期末）如果点P（x，y）在第四象限，那么点Q（2﹣y，x+1）在第 一 象限．
【分析】根据第四象限的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得x、y的取值范围，再确定2﹣y与x+1的取值范围即可解答．
【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∴2﹣y＞0，x+1＞0，
∴Q（2﹣y，x+1）在第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
13．（2021春•浦东新区期末）如果点M（a，b）在第二象限，那么点N（﹣a，b+1）在第 一 象限．
【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．
【解答】解：∵点M（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0；
∴﹣a＞0，b+1＞1，
∴点N（﹣a，b+1）在第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题主要考查了点在各象限内坐标的符号，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正、正，第二象限负、正，第三象限负、负，第四象限正、负．
14．（2020春•奉贤区期末）在平面直角坐标系中，经过点P（﹣4，3）并垂直于y轴的直线可以表示为直线 y＝3 ．
【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等为3，所以为直线：y＝3．
【解答】解：由题意得：经过点P（﹣4，3）并垂直于y轴的直线可以表示为直线：y＝3，
故答案为：y＝3．
【点评】此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相等．
15．（2021春•奉贤区期末）已知点P位于第四象限内，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，则点P的坐标为 （4，﹣2） ．
【分析】已知点P在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断具体坐标．
【解答】解：因为点P在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点P到x轴和y轴的距离分别是2和4，
所以点P的坐标为（4，﹣2）．
故答案为（4，﹣2）．
【点评】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号，点到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为这点横坐标的绝对值．
16．（2020春•宝山区期末）经过点A（1，﹣5）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 y＝﹣5 ．
【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等，为﹣5，所以为直线：y＝﹣5．
【解答】解：由题意得：经过点Q（1，﹣5）且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y＝﹣5，
故答案为：y＝﹣5．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相等．
17．（2021春•松江区期末）若点P（3，m﹣2）在x轴上，则点Q（m﹣3，m+1）在第 二 象限．
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，列出方程求出m的值，即可确定点Q（m﹣3，m+1）所在象限．
【解答】解：由题意，得m﹣2＝0，
∴m＝2．
∴m﹣3＝﹣1＜0，m+1＝3＞0，
∴点Q（m﹣3，m+1）在二象限，
故答案为：二．
【点评】本题考查了点的坐标．明确各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
18．（2021春•松江区期末）已知点A在直线x＝﹣3上，到x轴的距离为5，且点A在第三象限，则点A的坐标为 （﹣3，﹣5） ．
【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．
【解答】解：∵点A在第三象限内，点A到x轴的距离是5，点A在直线x＝﹣3上，
∴点A的横坐标为﹣3，纵坐标为﹣5，
∴点A的坐标为（﹣3，﹣5）．
故答案为：（﹣3，﹣5）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
19．（2020春•浦东新区期末）直角坐标平面内，经过点A（2，﹣3）并且垂直于y轴的直线可以表示为直线 y＝﹣3 ．
【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等，都为﹣3，所以为直线：y＝﹣3．
【解答】解：由题意得：经过点A（2，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y＝﹣3，
故答案为：y＝﹣3．
【点评】此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相等．
20．（2019春•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，n）在第二象限，那么点B（1﹣m，﹣n）在第 四 象限．
【分析】在第二象限中，横坐标小于0，纵坐标大于0，所以m＜0，n＞0，再根据每个象限的特点，得出点B在第四象限，即可解答．
【解答】解：∵点A（m，n）在第二象限，
∴m＜0，n＞0，
∴1﹣m＞0，﹣n＜0，
∵点B（1﹣m，﹣n）在第四象限，
故答案为：四．
【点评】本题考查了每个象限中横纵坐标的特点．解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
21．（2019春•浦东新区期末）经过点P（2，3）且垂直于x轴的直线可以表示为 直线x＝2 ．
【分析】根据垂直于坐标轴的直线解析式的形式解答．
【解答】解：∵直线经过点P（2，3）且垂直于x轴，
∴直线可以表示为直线x＝2．
故答案为：直线x＝2．
【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的形式．解题的关键是掌握垂直于x轴的直线的形式，垂直于x轴的直线的形式是x＝a（a是常数）．
22．（2018春•长宁区期末）点P（2，0）绕着原点O逆时针旋转90°后得到的点Q的坐标是 （0，2） ．
【分析】利用所画的图形和旋转的性质可写出Q点的坐标即可．
【解答】解：∵点P（2，0）在x轴的正半轴，且点P到原点的距离是2，
∴点P（2，0）绕着原点O逆时针旋转90°后得到的点Q在y轴的正半轴，且点Q到原点的距离也是2，∴
∴点Q的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
23．（2018•昆山市二模）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（3，4），底边OB在x轴正半轴上．将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得△A'OB'，点A的对应点A'在x轴负半轴上，则点B的对应点B'的坐标为 （﹣，） ．
【分析】作AG⊥OB于G，作B'H⊥A'O于H，利用面积法即可得到B'H＝，根据勾股定理可得Rt△B'HO中，HO＝＝，进而得出点B'的坐标为（﹣，）．
【解答】解：如图，作AG⊥OB于G，作B'H⊥A'O于H，
∵△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（3，4），
∴AG＝4，OG＝3，AO＝5，OB＝6，
∴由旋转可得A'O＝5，OB'＝6，
∵OB×AG＝A'O×B'H，
∴B'H＝，
∴Rt△B'HO中，HO＝＝，
∴点B'的坐标为（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
24．（2020秋•罗湖区校级期末）在平面直角坐标系中，将点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（﹣2，﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 二、四 象限．
【分析】依据点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”，一个点和它的“关联点”在同一象限内，可得这两点的坐标中，横坐标与纵坐标异号．
【解答】解：若a，b同号，则﹣b，﹣a也同号且符号改变，此时点（﹣b，﹣a），点（a，b）分别在一三象限，不合题意；
若a，b异号，则﹣b，﹣a也异号，此时点（﹣b，﹣a），点（a，b）都在第二或第四象限，符合题意；
故答案为：二、四．
【点评】本题主要考查了点的坐标，解题时注意：第一三象限内点的横坐标纵坐标同号，而第二四象限内点的横坐标纵坐标异号．
25．（2011•嘉定区二模）已知A是平面直角坐标系内一点，先把点A向上平移3个单位得到点B，再把点A绕点B顺时针方向旋转90°得到点C，若点C关于y轴的对称点为（1，2），那么点A的坐标是 （2，﹣1） ．
【分析】易得点C的坐标，由旋转90°可得B的纵坐标为2，B在C的右边3个单位处，进而让B的纵坐标减3，横坐标不变即可求得点A的坐标．
【解答】解：∵点C关于y轴的对称点为（1，2），
∴C（﹣1，2），
∵把点A绕点B顺时针方向旋转90°得到点C，AB平行于y轴，
∴点B的横坐标为﹣1+3＝2，纵坐标为2，
∵把点A向上平移3个单位得到点B，
∴点A的纵坐标为2﹣3＝﹣1，横坐标为2．
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题综合考查了点的几何变换问题；难点是判断出AB与y轴的位置关系及C到AB的距离．
三．解答题（共5小题）
26．（2022•义乌市校级开学）已知点P（4﹣m，m﹣1）．
（1）若点P在x轴上，求m的值；
（2）若点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求P点的坐标．
【分析】（1）直接利用x轴上点的坐标特点得出m﹣1＝0，进而得出答案；
（2）直接利用点P到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案．
【解答】解：（1）∵点P（4﹣m，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1＝0，
解得：m＝1；
（2）∵点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，
∴|m﹣1|＝2|4﹣m|，
∴m﹣1＝2（4﹣m）或m﹣1＝﹣2（4﹣m），
解得：m＝3或m＝7，
∴P（1，2）或（﹣3，6）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点，能够正确分类讨论是解题的关键．
27．（2021秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；
（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；
（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．
【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；
（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），
解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），
∴k＝1或k＝2．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
28．（2021秋•滨城区期末）如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△AOC是边长为2的等边三角形．
（1）写出△AOC的顶点C的坐标： （﹣1，） ．
（2）将△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 2
（3）将△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是 120 度
（4）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
【分析】（1）过C作CH⊥AO于H，利用勾股定理即可得到点C的坐标为（﹣1，）；
（2）依据对应点的位置，即可得到平移的距离；
（3）依据旋转的方向以及对应点的位置，即可得到旋转角的度数；
（4）判定△ACE≌△DOE，即可得到CE＝OE，依据三线合一可得AD⊥CO．
【解答】解：（1）如图，过C作CH⊥AO于H，则HO＝AO＝1，
∴Rt△COH中，CH＝＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）；
（2）由平移可得，平移的距离＝AO＝2，
故答案为：2；
（3）由旋转可得，旋转角＝∠AOD＝120°，
故答案为：120；
（4）如图，∵AC∥OD，
∴∠CAE＝∠ODE，∠ACE＝∠DOE，
又∵AC＝DO，
∴△ACE≌△DOE，
∴CE＝OE，
∴AD⊥CO，即∠AEO＝90°．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化以及等边三角形的性质，解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
29．（2021秋•靖西市期中）已知点P（a﹣1，3a+9），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P到x轴、y轴的距离相等且在第二象限．
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣1，3a+9）在x轴上，
∴3a+9＝0，
解得：a＝﹣3，
故a﹣1＝﹣3﹣1＝﹣4，
则P（﹣4，0）；
（2）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣1＝3a+9或a﹣1+3a+9＝0，
解得：a＝﹣5，或a＝﹣2，
故当a＝﹣5时，a﹣1＝﹣6，3a+9＝﹣6，
则P（﹣6，﹣6）在第三象限，不合题意，舍去；
故当a＝﹣2时，a﹣1＝﹣3，3a+9＝3，
则P（﹣3，3）在第二象限，符合题意．
综上所述：P（﹣3，3）．
【点评】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质．
30．（2021秋•铁西区期中）在平面直角坐标系中，任两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
规定运算：①A⊙B＝（x1+x2，y1+y2）；
②当x1＝x2，y1＝y2时，有A＝B成立．
设点C（x3，y3），若A⊙B＝B⊙C，试说明A＝C．
【分析】根据新的运算定义解答即可．
【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
∴A⊙B＝（x1+x2，y1+y2），B⊙C＝（x2+x3，y2+y3），
∵A⊙B＝B⊙C，
∴x1+x2＝x2+x3，y1+y2＝y2+y3，
∴x1＝x3，y1＝y3，
∴A＝C．
【点评】本题考查了点的坐标，解题的关键是能够正确理解新的运算定义．