苏科版数学八上期末专题复习专题13 勾股定理16个重难考点（期末真题精选）（2份，原卷版+解析版）

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实战训练
一．路径最短之化曲为直
1．为了庆祝国庆，学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为lm，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B处，那么至少应购买彩带 米．
2．如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为 cm．
3．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
二．数形结合---勾股定理的逆运用
4．如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则此三角形的周长为 ．
5．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则这个三角形最长边上的高是多少？
6．已知，在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1），求证：∠C＝90°．
7．|x﹣12|+|x+y﹣25|与z2﹣10z+25互为相反数，那么以x、y、z为边的三角形是什么三角形？
三．勾股与将军饮马的融合
8．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
9．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm（假设蜂蜜不会下滑）．
四．勾股定理的证明--等面积法
10．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．
11．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，
则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝ ．（用含字母的代数式表示）
因为S四边形ABCD＝S△ACD+ ＝ ；
S四边形ABCD＝S△ADB+ ；
所以 ；
所以 ．
12．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x．
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x．
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝ ．
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得ad＝bc）
五．勾股定理的应用
13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．
（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形．
（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：
当a＝2，b＝3时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？
六．半角中的勾股定理
14．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；
（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
七．折叠中的勾股定理--小三角
15．在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片使点A落在边BC上的A'处，折痕为PQ．当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点B与点A'间的最小距离为 ．
16．如图，将长方形纸条ABCD沿EF，GH折叠，使点B，C两点恰好都落在AD边的P点处．若BC＝10cm，则△PFH的周长为 cm．
八．双直角模型
17．如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求△ADC的面积．
18．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要投资多少钱？
九．格点中的勾股定理
19．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）分别求出AB，BC，AC的长；
（2）求△ABC的面积．
20．如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识判断△ABC是什么形状？并说明理由．
十．风吹荷动
21．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米．
22．小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长．
十一．梯子下滑
23．有一梯子长25米，靠在垂直的墙面上，梯子的跟部离墙的底部是7米，若梯子顶部下滑4米，那么梯子跟部到墙的底部的距离是多少米？
24．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，求DE的长．
十二．勾股中的分类讨论
25．若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三条边的长的平方为 ．
26．已知m，n为一个直角三角形的两边的长度，且（m﹣2）2+|n﹣3|＝0，则该直角三角形第三条边的长度为 ．
十三．勾股数
27．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．
十四．动点与勾股
28．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
29．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
十五．方向中的勾股定理
30．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．90°
31．如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2小时后，两船相距（ ）
A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里