2024-2025学年江苏省常州市常州市实验中学、二十四中学等学校八年级（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市常州市实验中学、二十四中学等学校八年级（上）期中数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数据为勾股数的是( )
A. 1，2，3B. 1， 3，2C. 9，40，41D. 14，15，13
3.下列说法错误的是( )
A. ±3是9的平方根B. 16的平方根为±4
C. 25的平方根为±5D. 负数没有平方根
4.如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，不能证明▵AOB≅▵DOC的是( )
A. AB=DCB. OB=OCC. ∠A=∠DD. ∠B=∠C
5.如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
若∠BAC=110°，则∠PAQ的度数是( )
A. 40°B. 50°
C. 60°D. 70°
6.如图，在ΔABC中，已知CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则ΔBCE的面积等于( )
A. 5B. 6
C. 8D. 10
7.如图，▵ABD和▵BCD都是边长为2的等边三角形，点E，F分别在边AB，AD上，将▵AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则AF的长度是( )
A. 1B. 74C. 32D. 53
8.如图，点A是射线OM上一个定点，点B是射线ON上的一个动点，OM⊥ON，以线段OB为边在ON右侧作等边三角形，以线段AB为边在AB上方作等边三角形，连接CD，随点B的移动，下列说法中正确的是( )
①▵BOA≌▵BDC；②∠ODC=150∘；
③直线CD与射线OM所夹的锐角的度数不变；
④随点B的移动，线段CD的值逐渐增大．
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9. 9= ； 3−8= ．
10.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草
11.如图，点C、D、E都在∠AOB上，OC=CD=DE，若∠BDE=75∘，则∠AOB的度数是 ∘．
12.若13x2=2，则x= ．
13.若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为 ．
14.如图，在▵ABC中，AB=AC，AD是中线，若∠C=72∘，则∠BAD的度数为 ．
15.如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上．图中∠B+∠D= ∘．
16.如图，在▵ABC中，∠B=70∘，AD⊥BC，垂足为D，E为AB边上的动点，若∠B是等腰▵BDE的底角，则∠ADE的大小为 ．
17.如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线l1、l2的距离分别是pcm,qcm，则称有序实数对p,q是点M的“距离坐标”.特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0.下列说法：①“距离坐标”是0,0的点只有点O；②“距离坐标”是(0,1)的点只有1个；③“距离坐标”是2,2的点共有4个；正确的有 (填序号)．
18.如图，Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在▵ABC外作等边▵BDE.若F是DE的中点，当CF取最小值时，▵BDE的周长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知：如图，AB=AC，BD=CD，点E在AD上，EM⊥AB，垂足为M，EN⊥AC，垂足为N，求证：
(1)AD是∠BAC的平分线；
(2)EM=EN．
20.(本小题8分)
如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，并保留画图痕迹．
(1)画出与▵ABC关于直线m对称的▵A1B1C1；
(2)▵ABC的面积为 ；
(3)在直线m上标出点D，使DA+DB最小，最小值=________；
(4)在直线m上标出点E，使点E到BA、BC的距离相等．
21.(本小题8分)
如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，将▵ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，请用尺规作图画出图形，并直接写出CD的长．
22.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，∠ABC=90∘，点D在AC的右侧，BD的垂直平分线交AC于点E，交BD于点F，若点E是AC中点．求证：∠ADC=90∘．
23.(本小题8分)
如图，▵ABC是等边三角形，点D在▵ABC外部，且DA=DC，连接BD，交AC于点G．
(1)求证：BD垂直平分AC；
(2)在BC上取点E，连接DE，交AC于点F，若EB=ED，试判断△CEF的形状，并说明理由．
24.(本小题8分)
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理．
(1)把两个全等的直角▵ABC和▵DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠ABC=∠BDE=90∘，可得AC⊥BE.请用a，b，c分别写出梯形ABDE，四边形ABCE，▵CDE的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)若图1中a=3，b=4，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3(1)中空白部分的面积为________，图3(2)中空白部分的面积为________，从而得到a2+b2=c2．
(3)用(2)中4个全等的直角三角形(AH=a=3,BH=b=4)拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓(实线)的周长为 ．
25.(本小题8分)
【问题1】在▵ABC中，∠ACB=90∘，D为▵ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC．
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)依题意补全图2，连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH．若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
(3)【问题2】如图3，在▵ABC中，∠ACB=90∘，如果点F为线段BC上一动点，点G为线段AC上一动点，且AG=CF，连接AF、BG，且BC=1，AC=3，请直接写出BG+AF的最小值为 ．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.A
6.A
7.B
8.B
9.3
−2

10.4
11.25
12.± 6
13.6013/4813
14.18∘/18度
15.45
16.20∘或50∘
17.①③/③①
18.18
19.【小题1】
解：在▵ABD和▵ACD中，
AB=ACBD=CDAD=AD,
∴▵ABD≌▵ACDSSS，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线；
【小题2】
解：由(1)得AD是∠BAC的平分线，
∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN．

20.【小题1】
解：如图所示，▵A1B1C1即为所求；
【小题2】
132
【小题3】
解：如图，点D即为所求．
∵点A与点A1关于直线m对称，
∴DA=DA1，
∴DA+DB=DA1+DB≥A1B，根据两点之间线段最短，即可得到DA+DB的最小值为A1B．
此时A1B= 32+62=3 5.即DA+DB的最小值为3 5．
故答案为：3 5；
【小题4】
解∶如图，点E即为所求．
理由如下：连接MA，MC，
∵AB=BC=CM=MA= 22+32= 13，
∴MB是AC的垂直平分线，
∴BM平分∠ABC，
∴点E到AB、BC的距离相等．

21.解：分三种情况：
①如图1所示：
当AD=AB时，
由AC⊥BD，可得CD=BC=3；
②如图2所示：
当AD=BD时，
设CD=x，则AD=x+3，
在Rt▵ADC中，由勾股定理得：
(x+3)2=x2+42，
解得：x=76，
∴CD=76；
③如图3所示：
当BD=AB时，
在Rt▵ABC中，AB= BC2+AC2= 32+42=5，
∴BD=5，
∴CD=5−3=2；
综上所述：CD的长为3或76或2．

22.解：连接DE、BE，如图，
∵∠ABC=90∘，点E是AC中点．
∴BE=CE=AE=12AC,
∵EF垂直平分线BD，
∴BE=DE=CE=AE，
∴∠EAD=∠EDA，∠EDC=∠ECD，
∵∠EAD+∠EDA+∠EDC+∠ECD=180∘，
∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=90∘．

23.【小题1】
证明：∵▵ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∵DA=DC，
∴点B、D在线段AC的垂直平分线上，
∴BD垂直平分AC；
【小题2】
解：△CEF为等边三角形，理由如下：
∵▵ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∵BG⊥AC，
∴∠DBE=12∠ABC=30∘，
∵DE=BE，
∴∠BDE=∠DBE=30∘，
∴∠CEF=∠BDE+∠DBE=60∘，
∴∠CFE=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴∠CEF=∠CFE=∠ECF，
∴△CEF为等边三角形．

24.【小题1】
证明：由题意可知AB=BD=b，BC=DE=a，AC=BE=c，CD=b−a，
∴S梯形ABDE=S▵DCE+S▵四边形ABCE，
∴12AB+DE⋅BD=12CD⋅DE+12AC⋅BE，
∴12ba+b=12ab−a+12c2，
∴12b2+12ab=12ab−12a2+12c2，
∴a2+b2=c2；
【小题2】
解：如图所示，

∵a=3，b=4，
∴图3(1)中空白面积=c2=a2+b2=32+42=25；
图3(2)中空白面积=a2+b2=32+42=25．
∴a2+b2=c2；
【小题3】
20

25.【小题1】
证明：如图，延长BD交AF于点M，
在▵BDC和▵FEC中，
BC=CF∠BCD=∠FCECD=CE,
∴▵BDC≌▵FECSAS，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD//EF，
∴∠AMB=∠AFE
∵AF⊥EF，
∴∠AMB=∠AFE=90∘,
∴CD⊥BF；
【小题2】
解：补全图形如下，
CD=CH，理由如下：
如图：延长BC到F，使CF=BC，连接EF，AF，
∵∠ACB=90∘,
∴AC⊥BF，
∵BC=CF，
∴AC为BF的垂平分线，
∴AB=AF，
在▵BCD和▵FCE中，
BC=CF∠BCD=∠FCECD=CE,
∴▵BCD≌▵FCESAS，
∴∠BDC=∠FEC，BD=EF，
∴BD//EF，
∴∠BHE=∠AEF，
∵AB2=AE2+BD2，AF=AB，EF=BD，
∴AF2=AE2+EF2,
∴∠AEF=∠BHE=90∘,
∵CD=DE，
∴CH=CD=12DE；
【小题3】
5