2023-2024学年广东省佛山市桂城中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市桂城中学高三（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|x2−40)的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB=π3，则实数m=( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
8.已知tanα+tanβ=3，sin(α+β)=2sinαsinβ，则tan(α+β)=( )
A. 4B. 6C. −32D. −6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组从小到大排列的样本数据x1，x2，…，xn−1，xn(n≥4)，若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x1−1，x2，…，xn−1，xn+2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有( )
A. 极差B. 中位数C. 平均数D. 方差
10.某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y(元)的关系式为y=eax+b+k，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则( )
A. a=−ln5B. k=15
C. 1等奖的面值为3130元D. 3等奖的面值为130元
11.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数f′(x)满足(x+1)[f′(x)−f(x)]>0，对于函数g(x)=f(x)ex，下列结论正确的是( )
A. 函数g(x) 在(−∞,−1)上为增函数B. x=−1是函数g(x)的极小值点
C. 函数 g(x)必有2 个零点D. e2f(e)>ee f(2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为______．
13.函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若x3−x2=π2，则xn的值可以是______.(写出符合条件的一个值即可)
14.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为2 15km，B是山坡SA上一点，且AB=2km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
在条件：①asinC= 3ccsA；② 3cs(B+C)+sinA=0；
③sin2B+sin2C−sinBsinC=sin2A，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是________，并解答下面问题：
(1)求角A的大小；
(2)若b+c=2 3,a= 3，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC= 2，AB=1，E，F分别为A1C，BB1的中点，且EF⊥平面AA1C1C.
(1)求棱BC的长度；
(2)若BB1⊥A1B1，且△A1FC的面积SΔA1FC= 22，求二面角B1−A1F−C的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=1x+2lnx．
(1)求函数g(x)=f(x)−x的零点；
(2)证明：对于任意的正实数k，存在x0>0，当x∈(x0,+∞)时，恒有k x>f(x)．
18.(本小题16分)
已知动圆P经过点A(− 3,0)，并且与圆B：(x− 3)2+y2=16相切，记圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动圆Q的圆心在曲线C上，定直线l：x=t与圆Q相切，切点记为M，探究：是否存在常数m使得|QB|=m|QM|？若存在，求m及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
19.(本小题16分)
已知函数f(x)=ex−1ax+lnx−x．
(1)若a=1，求f(x)的极值；
(2)若f(x)有三个极值点x1，x2，x3，x10时，k2 x>1x等价于x>(2k)23，k2 x>44x等价于x>(8k)4，
设(2k)23,(8k)4,1三个数中最大的数为x0，
所以当x∈(x0,+∞)时，有k x>1x+44x>1x+2lnx=f(x)．
18.解：(1)如图所示，

由题意知，圆B圆心为B( 3,0)，半径为4，设动圆P的半径为R，
因为(− 3− 3)2|AB|=2 3，
所以圆心P的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆．
所以2a=4，2c=2 3，故a=2，c= 3，则b= a2−c2=1．
所以曲线C的方程为x24+y2=1．
(2)如图所示，

存在常数m使得|QB|=m|QM|，理由如下：
设Q(x0,y0)，则x024+y02=1，x0∈[−2,2]，M(t,y0)，
所以|QB|= (x0− 3)2+y02= (x0− 3)2+(1−x024)= 3x024−2 3x0+4，|QM|=|x0−t|，
假设存在常数m使得|QB|=m|QM|，
则(3x024−2 3x0+4)2=m2(x0−t)2对于任意的x0∈[−2,2]恒成立，
即：34(x0−4 33)2=m2(x0−t)2对于任意的x0∈[−2,2]恒成立，
所以m2=34，t=4 33．
即：存在常数m=± 32使得|QB|=m|QM|，此时直线l方程为x=4 33．
19.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−1x+lnx−x(x>0)，
所以f′(x)=(x−1)ex−1x2+1x−1=(x−1)(ex−1−x)x2，
设q(x)=ex−1−x，则q′(x)=ex−1−1，
当00时，ex−1−ax≥ex−1−x≥0，
所以当01时，设r(x)=ex−1−ax，r′(x)=ex−1−a，
所以当0x2，
所以ex>(e2)2x2>x2，
取m=max{2,ae}，则r(m)=em−1−am>1em2−am=m(me−a)≥0，
由零点的存在性定理知存在唯一x3∈(lna+1,m)，使得r(x3)=0，ex3−1=ax3，
由以上推理可得0