2024-2025学年广西南宁二中高二（上）段考数学试卷（11月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年广西南宁二中高二（上）段考数学试卷（11月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}满足点(n,an)在直线y=2x−1上，则a2=( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2.平行线x−2y+3=0与x−2y−2=0之间的距离为( )
A. 5B. 55C. 52D. 5
3.在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100，则a1+a13的值为( )
A. 20B. 30C. 40D. 50
4.已知A(−1,0)，B(1,0)，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为( )
A. x2−y22=1(x>0)B. x2−y22=1(y>0)
C. x22−y2=1(x>0)D. x22−y2=1(y>0)
5.如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/ℎ.这艘轮船能被海监船监测到的时长为( )
A. 1小时B. 0.75小时C. 0.5小时D. 0.25小时
6.如图，椭圆x2a2+y2=1(a>1)与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为( )
A. 3 B. 2 3
C. 1 D. 2
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y= 2x，过其左焦点F(− 3,0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|=( )
A. 2 5B. 4 5C. 10D. 10 2
8.已知离心率为12的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，线段MF2的中点为N，射线F1N与C交于点A，若|AF1|=2 3，则|AF2|=( )
A. 10 3−63B. 8 3−63C. 10 3−123D. 8 3−123
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 过点(−1,2)且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程为2x+y=0
B. 过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为2x+y=0
C. 曲线x2+12y=0过点(0,−18)的最短弦长为12
D. 直线y=k(x−2)+4与曲线y=1+ 4−x2有两个不同的交点，则实数k的取值范围(712,34]
10.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，M为C上一动点，E(3,1)为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线l的方程是x=−2B. |ME|+|MF|的最小值为4
C. |ME|−|MF|的最大值为5D. 以线段MF为直径的圆与y轴相切
11.已知f(x,y,n)=x2n+y2n−1(n≥1,n∈Z)，定义方程f(x,y,n)=0表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记Sn表示“方圆系”曲线f(x,y,n)=0所围成的面积，则( )
A. “方圆系”曲线f(x,y,1)=0所围成的面积为1
B. S20,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上一点P满足sin∠PF1F2sin∠PF2F1=3，以F2为圆心的圆与F1P的延长线相切于点M，且F1M=2F1P，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2+a4=10，S6=36．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(−1)nan，求b1+b2+b3+⋯+b20．
16.(本小题15分)
已知点C是平面直角坐标系中异于原点O的一个动点，过点C且与y轴垂直的直线与直线x=−2交于点M，且向量OC与向量OM垂直．
(1)求点C的轨迹方程E；
(2)设C位于第一象限，以OC为直径的圆与y轴相交于点N，且∠NCO=30°，求|OC|的值．
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccsC=a+bcsA+csB．
(1)求角C的大小；
(2)若ab=1，求△ABC外接圆的面积的最小值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，PA=BC=3AB⊥AD，AD//BC，PA=BC=3，AB=AD=2,PB= 13,E为PD中点，点F在PC上，且PF=3FC．
(1)求证：AB⊥平面PAD；
(2)求平面FAE与平面AED夹角的余弦值；
(3)线段AC上是否存在点Q，使得DQ//平面FAE，说明理由？
19.(本小题17分)
已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，设点A(0,b)，在△AF1F2中，∠F1AF2=π2，周长为2+2 2．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为−1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
(3)记第(2)问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.B
5.C
6.D
7.C
8.C
9.AC
10.BD
11.BCD
12.x=0
13.an=2n
14. 3
15.解：(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差设为d，
由a2+a4=10，S6=36，可得a2+a4=2a3=10S6=6(a1+a6)2=36⇒a3=5a1+a6=12，而a1+a6=a3+a4=12⇒a4=7，
所以{an}的公差d=a4−a3=2，
故其通项公式为an=a3+(n−3)d=5+2(n−3)=2n−1．
(2)由bn=(−1)nan，
则b1+b2+b3+⋯+b20=−a1+a2−a3+a4−⋯−a19+a20
=(a2−a1)+(a4−a3)+⋯+(a20−a19)=2×10=20．
16.解：(1)根据题意可设设C(x,y)，M(−2,y)，
则OC=(x,y),OM=(−2,y)，
∵OC⋅OM=−2x+y2=0，∴y2=2x且x≠0，
∴点C的轨迹方程E为y2=2x且x≠0；
(2)由题意易知∠CNO=90°，∴CN⊥y轴，
又∠NCO=30°，∴∠NOC=60°，
∴tan∠NOC=|CN||ON|= 3，又C位于第一象限，
∴yC=|ON|,xC=|CN|=yC22，
∴xCyC=yC2= 3⇒yC=2 3，∴xC=yC22=6，
∴|OC|= 36+12=4 3．

17.解：(1)由ccsC=a+bcsA+csB及正弦定理，
可得sinCcsC=sinA+sinBcsA+csB，
即sinCcsA+sinCcsB=sinAcsC+sinBcsC，
即sinCcsA−sinAcsC=sinBcsC−sinCcsB，
则sin(C−A)=sin(B−C)，
由A+B+C=π且A，B，C∈(0,π)，
可得C−A=B−C或C−A+B−C=π(舍)，
所以2C=A+B，即3C=π，
所以C=π3；
(2)由正弦定理，可得外接圆半径r=c2sinC=c 3，
故要使外接圆的面积最小，只需c最小，
而c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab=1，
当且仅当a=b=1时取等号，
此时c=1，则rmin=1 3，
所以△ABC外接圆的面积的最小值为πr2=π3．
18.解：(1)证明：在△PAB中，PA2+AB2=32+22=( 13)2=PB2，
所以∠PAB=90°，即AB⊥PA，
又因为AB⊥AD，在平面PAD中，PA⊂面PAD，AD⊂面PAD，PA∩AD=A，
所以AB⊥平面PAD；
(2)因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PA，
由(1)已证AB⊥PA，且已知AB⊥AD，
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系A−xyz，

则D(2,0,0)，P(0,0,3)，C(3,2,0)，
所以AP=(0,0,3)，AD=(2,0,0)，AC=(3,2,0)，CP=(−3,−2,3)，
因为E为PD中点，
所以AE=12(AP+AD)=(1,0,32)，
由PC=3FC知，AF=AC+CF=AC+13CP=(3,2,0)+(−1,−23,1)=(2,43,1)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=0n⋅AF=0，即x+32z=02x+43y+z=0，
令z=2，则x=−3，y=3，
于是n=(−3,3,2)，
又因为AB⊥平面PAD，
所以平面PAD的法向量为AB=(0,2,0)，
所以cs=n⋅AB|n||AB|=3×22× 9+9+4=3 2222，
平面FAE与平面AED夹角的余弦值3 2222；
(3)设Q是线段AC上一点，则存在λ∈[0,1]，使得AQ=λAC，
因为AC=(3,2,0)，DA=(−2,0,0)，
所以DQ=DA+AQ=DA+λAC=(3λ−2,2λ,0)，
因为DQ⊄平面AEF，所以DQ/​/平面AEF，
当且仅当DQ⋅n=0，
即(3λ−2,2λ,0)(−3,3,2)=0，
即(3λ−2)×(−3)+2λ×3+0×2=0，
解得λ=2，
因为λ=2∉[0,1]，所以线段AC上不存在Q使得DQ/​/平面AEF．
19.解：(1)由∠F1AF2=π2，则∠F1AO=π4，∴b=c= 22a，
由△AF1F2周长为2+2 2，∴2(a+c)=2+2 2，
综上，可得a= 2,b=c=1，即椭圆Γ的方程为x22+y2=1．
(2)证明：设l：y=kx+m，B(x1,y1)，C(x2,y2)，
联立x2+2y2=2y=kx+m，消去y整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
显然Δ>0，则x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2(m2−1)1+2k2，
又kAB+kAC=y1−1x1+y2−1x2=kx1+m−1x1+kx2+m−1x2=−1，
∴(2k+1)x1x2+(m−1)(x1+x2)=0，
则(2k+1)⋅2(m2−1)1+2k2=(m−1)⋅4km1+2k2，
又m≠1，整理得2k+m+1=0，则l：y=kx−2k−1=k(x−2)−1，
∴直线l过定点(2,−1)，得证；
(3)由(2)知，lAE：x+y−1=0，且A(0,1)，E(2,−1)，则|AE|=2 2，
设直线l：y=−x+t，与椭圆相切，联立有x2+2(t−x)2=2，
整理得3x2−4tx+2t2−2=0，则Δ=16t2−24(t2−1)=0，可得t=± 3，
∴两切线到lAE的距离分别为d1= 3+1 2,d2= 3−1 2，

当d1= 3+1 2，则S△AEP=12×2 2× 3+1 2= 3+1，
当d2= 3−1 2，则S△AEP=12×2 2× 3−1 2= 3−1，
∴S△AEP> 3+1时，△AEP为0个；S△AEP= 3+1时，△AEP为1个；
3−1