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    2024-2025学年黑龙江省大庆中学高二(上)期中数学试卷(含答案)

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    2024-2025学年黑龙江省大庆中学高二(上)期中数学试卷(含答案)

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    这是一份2024-2025学年黑龙江省大庆中学高二(上)期中数学试卷(含答案),共9页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.经过A(−3,−6),B(−3,5)两点的直线的倾斜角是( )
    A. −30°B. 60°C. 90°D. 120°
    2.若直线l1:(m+1)x+2y+1=0与直线l2:x−2y+1=0平行,则m的值为( )
    A. ±2B. 2C. −2D. −5
    3.若圆C的圆心为(1,2),且被x轴截得弦长为4,则圆C的方程为( )
    A. x2+y2−2x−4y−3=0B. x2+y2−2x−4y+1=0
    C. x2+y2−2x+4y−3=0D. x2+y2−2x+4y+1=0
    4.已知点A(2,1),点B在直线x−y+3=0上,则|AB|的最小值为( )
    A. 5B. 26C. 2 2D. 4
    5.若圆C:(x−1)2+(y−3)2=8上存在两个点到直线l:x+y+m=0的距离为 2,则实数m的取值范围是( )
    A. −60)的上顶点为B,若椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点,则椭圆离心率的取值范围为______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题15分)
    已知平面内两点A(6,−6),B(2,2).
    (1)求过点P(1,3)且与直线AB垂直的直线l的方程;
    (2)若C(3,2),求△ABC的边AB上的中线CD所在直线方程;
    (3)已知直线m过点P(1,3),且与AB平行,求直线m的方程.
    16.(本小题15分)
    已知圆G过三点A(1,3),B(4,2),C(1,−7).
    (1)求圆G的方程;
    (2)设直线l经过点M(6,1),且与圆G相切,求直线l的方程.
    17.(本小题15分)
    已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点P(−3 2,4),Q(6,4 3).
    (1)求双曲线C的标准方程;
    (2)过C的右焦点的直线l与C交于M,N两点,且以MN为直径的圆过坐标原点O,求直线l的方程.
    18.(本小题15分)
    如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=AA1= 3,AB⊥AC,D为A1C1的中点.
    (1)证明:AB1⊥平面A1BD;
    (2)若AC=6,求二面角A−BC−D的余弦值.
    19.(本小题17分)
    已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,长轴长为4 2,直线PF2的倾斜角为135°.
    (1)求椭圆C的方程.
    (2)若椭圆C上的两动点A,B均在x轴上方,且AF1//BF2,求证:1|AF1|+1|BF2|的值为定值.
    (3)在(2)的条件下求四边形的ABF2F1的面积S的取值范围.
    参考答案
    1.C
    2.C
    3.A
    4.C
    5.C
    6.D
    7.C
    8.D
    9.BC
    10.AC
    11.AD
    12.x29−y216=1
    13. 3
    14.(0, 22]
    15.解:(1)A(6,−6),B(2,2),
    则kAB=2+62−6=−2,
    因l⊥AB,故直线l的斜率为12,
    直线l过点P(1,3),
    则直线l的方程为y−3=12(x−1),即x−2y+5=0;
    (2)由A(6,−6),B(2,2)可得边AB的中点D(4,−2),
    C(3,2),
    故直线CD的斜率为kCD=4−1=−4,
    则CD所在直线方程为y+2=−4(x−4),即4x+y−14=0;
    (3)由(1)已得kAB=−2,
    直线m与AB平行,故其斜率为km=−2,
    则直线m的方程为y−3=−2(x−1),即2x+y−5=0.
    16.解:(1)设圆G的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
    因为圆G过三点A(1,3),B(4,2),C(1,−7),
    所以1+9+D+3E+F=016+4+4D+2E+F=01+49+D−7E+F=0,解得D=−2E=4F=−20,
    圆G的方程为x2+y2−2x+4y−20=0.
    (2)由(1)知圆G是以(1,−2)为圆心,以r=5为半径的圆,
    (i)若直线l的斜率不存在,
    则此时l的方程为x=6到圆心的距离为6−1=5,满足与圆G相切;
    (ii)若直线l的斜率存在,
    则设直线方程为y−1=k(x−6),即kx−y+1−6k=0,
    因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离为d=|3−5k| k2+1=5,
    解得k=−815,所以切线方程为8x+15y−63=0.
    综上,切线方程为x=6或8x+15y−63=0.
    17.解:(1)由题可得:18a2−16b2=136a2−48b2=1,
    解得:a2=9b2=16,
    所以双曲线C:x29−y216=1;
    (2)由题,c2=a2+b2=25,所以双曲线C的右焦点为(5,0),
    当直线l的斜率不存在时,l:x=5,
    此时M(5,163),N(5,−163),
    所以OM=(5,163),ON=(5,−163),
    又OM⋅ON=25−2569≠0,
    所以以MN为直径的圆不经过坐标原点,
    即直线l的敘率存在,
    设l:x=ty+5,M(x1,y1),N(x2,y2),
    联立方程组x=ty+5x29−y216=1,化简得(16t2−9)y2+160ty+256=0,
    由题有:16t2−9≠0Δ=(160t)2−4×(16t2−9)×256>0,即t≠±34,
    所以y1+y2=−160t16t2−9,y1y2=25616t2−9,
    因为以MN为直径的圆经过坐标原点,
    所以OM⊥ON,即OM⋅ON=0,
    又OM=(x1,y1),ON=(x2,y2),
    所以OM⋅ON=x1x2+y1y2=(ty1+5)(ty2+5)+y1y2
    =(t2+1)y1y2+5t(y1+y2)+25
    =(t2+1)×25616t2−9+5t×−160t16t2−9+25=0,
    解得:t=± 3112,
    所以l:x=± 3112y+5,
    即y=±12 3131(x−5).
    18.解:(1)证明:∵三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱,∴A1A⊥面ABC,
    ∴A1A⊥AB,A1A⊥AC,又AB⊥AC,且AB∩A1A=A,∴AC⊥面A1B1BA,
    又A1C1/​/AC,故A 1C1⊥面A1B1BA,
    ∵AB1⊂面A1B1BA,∴AB1⊥A1C1,即AB1⊥A1D,
    又AB=AA1,∴四边形A1B1BA为正方形,故AB 1⊥A1B,
    A1D∩A1B=A1,∴AB1⊥面A1BD;
    (2)由题意,可以以AB,AC,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

    则B( 3,0,0),C(0,6,0),D(0,3, 3),BC=(− 3,6,0),BD=(− 3,3, 3),
    设面BCD的一个法向量为n=(x,y,z),
    则n⋅BC=0n⋅BD=0,即− 3x+6y=0− 3x+3y+ 3z=0,
    令x=2 3,则y=1,z= 3,故n=(2 3,1, 3),
    ∵AA1⊥面ABC,∴可取面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),
    ∴|cs|=|m⋅n||m||n|= 34,
    ∴二面角A−BC−D的余弦值为 34.
    19.(1)解:由长轴长为4 2,
    可得2a=4 2,a=2 2.
    因为点P上顶点,直线PF2的倾斜角为135°,
    所以Rt△OPF2中,∠OF2P=45°,
    则|OP|=|OF2|=b=c,
    又b2+c2=a2=8,
    则b=c=2.
    则椭圆C的方程为x28+y24=1.
    (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),F1(−2,0),F2(2,0),
    则B关于原点的对称点B′(x3,y3),
    即x3=−x2y3=−y2,
    由AF1/​/BF2,y1x1+2=y2x2−2=−y2−x2+2,
    所以A,F1,B′三点共线,
    又△BOF2≌△B′OF1,|BF2|=|B′F1|.
    1|AF1|+1|BF2|=1|AF1|+1|B′F1|=|AB′||AF1||B′F1|,
    设AB′:x=my−2代入椭圆方程得(m2+2)y2−4my−4=0,
    则Δ=32(m2+1),y1+y3=4mm2+2,y1y3=−4m2+2.
    |AB′|= 1+m2|y1−y3|= 1+m24 2 m2+1m2+2=4 2(m2+1)m2+2,
    |AF1||B′F1|= m2+1|y1| m2+1|y3|=(m2+1)4m2+2,
    1|AF1|+1|BF2|=|AB′||AF1||B′F1|=4 2(m2+1)m2+24(m2+1)m2+2= 2.
    (3)解:四边形ABF2F1为梯形,ℎ=dF2−AB′=4 m2+1,
    |AF1|+|BF2|=|AF1|+|B′F1|=|AB′|=4 2(m2+1)m2+2,
    S=12(|AF1|+|BF2|)ℎ=8 2 m2+1m2+2,
    令t= m2+1,
    则t2+1=m2+2,(t≥1),
    则0

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