浙教版数学八年级上学期期末【易错60题考点专练】（2份，原卷版+解析版）

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A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（2021秋•西湖区校级期末）如图图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：左起第一、三两个图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
第二、四两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
3．（2020秋•婺城区校级期末）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．7或9D．9或12
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝5+5+2＝12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是12．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．（2021秋•柯桥区期末）若x＞y，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．x+2＜y+2C．﹣2x＞﹣2yD．x＜y
【分析】利用不等式的性质判断即可．
【解答】解：A．因为x＞y，
所以x﹣2＞y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；
B．因为x＞y，
所以x+2＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．因为x＞y，
所以﹣2x＜﹣2y，原变形错误，故此选项不符合题意；
D．因为x＞y，
所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
5．（2021秋•青田县期末）若﹣2x＜5，两边都除以﹣2，得（ ）
A．x＜﹣B．x＞﹣C．x＜﹣D．x＞﹣
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：若﹣2x＜5，两边都除以﹣2，得．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（2021秋•新昌县期末）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a+3＜b+3B．＜C．a+3＞b+4D．a﹣3＞b﹣3
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
C．不妨设a＝3，b＝2，则a+3＝b+2，
故本选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，但是a2＜b2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．（2021秋•金华期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．2022a＞2021aB．a+2021＜a+2022
C．﹣2021a＞﹣2022aD．＞
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．当a＜0时，2022a＜2021a，故本选项不合题意；
B．a+2021＜a+2022一定成立，故本选项符合题意；
C．当a＜0时，﹣2022a＜﹣2021a，故本选项不合题意；
D．当a＜0时，，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（2021秋•东阳市期末）在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
【解答】解：x﹣1＜0，
∴x＜1，
在数轴上表示不等式的解集为：，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
9．（2021秋•西湖区校级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣2022，2022）位于哪个象限？（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点A（﹣2022，2022），横坐标小于零，纵坐标大于零，它位于第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
10．（2021秋•缙云县期末）在直角坐标系中，下列点中在第四象限的是（ ）
A．（﹣1，2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．（﹣1，2）在第二象限，故本选项不合题意；
B．（3，2）在第一象限，故本选项不合题意；
C．（2，﹣3）在第四象限，故本选项符合题意；
D．（﹣2，﹣3）在第三象限，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
11．（2021秋•义乌市期末）点A（﹣5，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标符号可得其所在象限．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣5，3），
∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P在第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内点的坐标符号特点．
12．（2021秋•海曙区期末）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可．
【解答】解：设第三边长x．
根据三角形的三边关系，得1＜x＜5，
第三边不可能为1，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．
13．（2021秋•宁波期末）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0B．﹣a+1＞﹣b+1C．a﹣2＞b﹣2D．ac＞bc
【分析】依据不等式的基本性质解答即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+1＜﹣b+1，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，
∴选项C符合题意；
∵a＞b，当c＜0时，ac＜bc，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
14．（2021秋•杭州期末）一次函数y＝﹣3x+2的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
【分析】根据一次函数的性质，可以得到一次函数y＝﹣3x+2的图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+2中，k＝﹣3＜0，b＝2＞0，
∴一次函数y＝3x+2的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
15．（2021秋•柯桥区期末）如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度h与注水时间t之间关系的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．
【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢，
故选：C．
【点评】本题主要考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件是解题的关键．
16．（2021秋•龙泉市期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形
B．三个内角之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】根据全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、点的坐标、角平分线的性质定理判断即可．
【解答】解：A、对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、设三角形三个内角分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得：x＝15°，
则三角形三个内角分别为45°、60°、75°，
∴三个内角之比为3：4：5的三角形不是直角三角形，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项说法是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
17．（2021秋•钱塘区期末）已知x＞y，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2yC．xz2＞yz2D．﹣2x＜﹣2y
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴2x＞2y，
故B不符合题意；
C、∵x＞y，
∴xz2＞yz2（z≠0），
故C符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
18．（2021秋•钱塘区期末）若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3B．k＞2C．k≤3D．k≥2
【分析】根据不等式的解集，即可解答．
【解答】解：∵不等式组有解，
∴k＜3，
故选：A．
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
19．（2021秋•义乌市期末）不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【解答】解：∵﹣1处是空心圆点，且折线向右，
∴x＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
20．（2021秋•吴兴区期末）将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组的解集为x≥2，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】本题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示出不等式组的解集是解此题的关键．
21．（2021秋•余姚市期末）若a＞b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．﹣2a＞﹣2bB．a2＞b2C．1﹣a＜1﹣bD．
【分析】依据不等式的基本性质解答即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，
∴选项A不符合题意；
a＞b，不妨设a＝1，b＝﹣2，此时a2＜b2，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴1﹣a＜1﹣b，
∴选项C符合题意；
a＞b，不妨设a＝1，b＝0.5，此时，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
22．（2021秋•缙云县期末）若不等式组的解为x＞a，则下列各式正确的是（ ）
A．a＜3B．a≤3C．a＞﹣3D．a≥﹣3
【分析】根据不等式组的解集同大取较大，可得答案．
【解答】解：∵不等式组的解为x＞a，
∴a≥﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
23．（2021秋•青田县期末）把线段“（x，﹣1）（1≤x≤5）”向左平移2个单位，所得的线段是（ ）
A．（x，﹣1）（﹣1≤x≤3）B．（x+2，﹣1）（1≤x≤5）
C．（x，﹣3）（1≤x≤5）D．（x﹣2，﹣1）（﹣1≤x≤3）
【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度，据此可得结论．
【解答】解：由题可得，向左平移2个单位，横坐标减小2，纵坐标不变，
∴线段“（x，﹣1）（1≤x≤5）”向左平移2个单位，所得的线段是（x﹣2，﹣1）（﹣1≤x≤3），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变换，关键是掌握平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
24．（2021秋•宁波期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，3）到x轴的距离是（ ）
A．﹣4B．4C．5D．3
【分析】根据各象限内点的坐标特征与点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点M（﹣4，3）在第二象限，到x轴的距离是3．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解决的关键．
25．（2021秋•宁波期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A（ ）
A．向左平移6个单位B．向右平移6个单位
C．向下平移8个单位D．向上平移8个单位
【分析】关于y轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，那么向右平移两个横坐标差的绝对值即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴轴对称，
∴平移后的坐标为（3，﹣4），
∵横坐标增大，
∴点是向右平移得到，平移距离为|3﹣（﹣3）|＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了平移中点的变化规律及点关于坐标轴对称的知识点，用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数；点的左右移动只改变点的横坐标．
26．（2021秋•东阳市期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+2C．12+4D．6+4
【分析】由图象可知：面积最大时，S等于，再根据三角形的面积计算公式可得关于BC的方程，解得BC的长，最后根据三角形三边关系可得AB和AC的长．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝BC，AB＝2BC，
由图象可知：面积最大时，S＝S△ACD＝S△ABC＝AC×BC＝，
∴•BC•BC＝，
解得BC＝2（负值舍去），
∴AC＝2，AB＝4，
∴△ABC的周长为2+4+2＝6+2，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角形的面积计算公式与勾股定理是解题的关键．
27．（2021秋•定海区期末）关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1）
C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x
D．图象经过点（1，2）
【分析】A：根据k＞0，b＜0，判断一次函数经过的象限；
B：令y＝0，x＝，判断与x轴的交点；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2．
【解答】解：A：∵一次函数y＝3x﹣1，
k＝3＞0，
∴一次函数经过一、三象限，
∵b＝﹣1，
∴一次函数交y轴的负半轴，
∴一次函数y＝3x﹣1经过一、三、四象限，
故A错误；
B：令y＝0，x＝，
∴函数的图象与x轴的交点坐标是（，0），
故B错误；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x，
故C错误；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2，
∴图象经过（1，2），
故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平移变换与坐标变化，掌握这三个知识点的熟练应用是解题关键．
28．（2021秋•莲都区期末）若x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x+2＞y+2B．﹣2x＜﹣2yC．3x＞3yD．1﹣x＞1﹣y
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A．由x＜y，可得x+2＜y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．由x＜y，可得﹣2x＞﹣2y，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由x＜y，可得3x＜3y，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由x＜y，可得1﹣x＞1﹣y，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．要注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
29．（2021秋•海曙区期末）若m＜n，则下列各式正确的是（ ）
A．﹣2m＜﹣2nB．C．1﹣m＞1﹣nD．m2＜n2
【分析】A：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变；
B：不等式的两边同时除以同一个正数，不等号的方向不变；
C：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变；
D：结论不能确定．
【解答】解：A：∵m＜n，
∴﹣2m＞﹣2n，
∴不符合题意；
B：∵m＜n，
∴，
∴不符合题意；
C：∵m＜n，
∴﹣m＞﹣n，
∴1﹣m＞1﹣n，
∴符合题意；
D：∵m＜n，
∴m2≥n2或m2≤n2
∴不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3条基本性质，注意m＜n时，m2＜n2不一定成立．
30．（2021秋•镇海区校级期末）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都加c不等号的方向不变，原变形成立，故此选项不符合题意；
B、两边都减c不等号的方向不变，原变形成立，故此选项不符合题意；
C、若ac2＞bc2，则c≠0，a＞b，原变形成立，故此选项不符合题意；
D、当c＝0时，ac2＝bc2，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．
31．（2021秋•嵊州市期末）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标是（ ）
A．（2，2）B．（1，2）C．（1，1）D．（2，1）
【分析】直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
点C的坐标为（2，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．
32．（2021秋•余姚市期末）已知不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，下列有可能是函数y＝ax+b的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2可得直线y＝ax+b与x轴交点为（﹣2，0）且y随x增大而减小，进而求解．
【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解是x＞﹣2，
∴直线y＝ax+b与x轴交点为（﹣2，0）且y随x增大而减小，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．解题关键是将不等式问题转化为图象求解．
33．（2021秋•海曙区校级期末）如图，一次函数y＝2x+3与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，在直线AB上取一点P（点P不与A，B重合），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，连接PO，若△PQO的面积恰好为，则满足条件的P点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由点P在直线AB上，可设P（m，2m+3），再根据△PQO的面积，分三种情况分别讨论，求出m值，进一步求出P点坐标．
【解答】解：∵点P在直线AB上，
∴设P（m，2m+3），
①当P点在第一象限时，
，
∴2m2+3m＝，
2m2+3m﹣0，
Δ＝18＞0，
x＝，
m1＝，m2＝，
∵P点在第一象限，
∴P（，）
②当P点在第二象限时，
∴S△POQ＝，
∴＝，
2m2+3m+＝0，
Δ＝0，
m＝﹣＜0，
∴P（﹣，）；
③当P点在第三象限时，
＝，
解得m1＝，m2＝，
∵P点在第三象限，
∴P（，），
综上所述：P（，）或P（，）或P（﹣，）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点、一次函数性质、三角形面积，掌握三个知识点的综合应用，分情况讨论是解题关键．
二．填空题（共19小题）
34．（2020秋•奉化区期末）正五角星形共有 5 条对称轴．
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：正五角星形共有5条对称轴．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．
35．（2021秋•衢江区期末）点P（﹣2，3）到x轴的距离是 3 ．
【分析】求得P的纵坐标的绝对值即可求得P点到x轴的距离．
【解答】解：∵点P的纵坐标为3，
∴P点到x轴的距离是|3|＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟练掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
36．（2021秋•拱墅区期末）如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 2 种．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2处涂黑，都是符合题意的图形．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
37．（2021秋•衢江区期末）写出一个不等式，使它的解为x＞﹣1，则这个不等式可以是 3x+3＞0 ．
【分析】根据要求构造不等式即可．
【解答】解：∵3x+3＞0的解集为：x＞﹣1，
∴符合条件的一个不等式为：3x+3＞0．
故答案为：3x+3＞0．（答案不唯一）．
【点评】本题考查不等式的解集，理解不等式解集的含义是求解本题的关键．
38．（2021秋•拱墅区期末）根据不等式的基本性质，由﹣x＞2，两边同乘﹣1，得 x＜﹣2 ．
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【解答】解：根据不等式的基本性质，由﹣x＞2，两边同乘﹣1，得x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
39．（2021秋•龙泉市期末）若点P（﹣1，3）与点P'（a+1，3）关于y轴对称，则a为 0 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：∵点P（﹣1，3）与点P'（a+1，3）关于y轴对称，
∴a+1＝1，
解得a＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
40．（2021秋•阳新县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝ 45° ．
【分析】延长CH交AB于点F，锐角三角形三条高交于一点，所以CF⊥AB，再根据三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：延长CH交AB于点F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，
∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
故答案为∠CHD＝45°．
【点评】考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．
41．（2021秋•上虞区期末）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式的解是 x≥﹣2 ．
【分析】数轴上定界点是实心的，所以解集含定界点，方向向右，所以是大于．
【解答】解：数轴表示的不等式的解集为：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式解集的知识，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
42．（2021秋•钱塘区期末）不等式5x﹣2≤3x+1的非负整数解为 0，1 ．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：5x﹣2≤3x+1，
5x﹣3x≤1+2，
2x≤3，
x≤，
∴该不等式的非负整数解为：0，1，
故答案为：0，1．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
43．（2021秋•上虞区期末）已知点A（2，5），B（，3），C（﹣5，2），D（﹣0.5，）．则在这些点中，在如图所示的直角坐标系阴影区域内的点有 B、D ．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点A（2，5）不在阴影区域内，
B（，3）在阴影区域内，
C（﹣5，2）不在阴影区域内，
D（﹣0.5，）在阴影区域内．
在如图所示的直角坐标系阴影区域内的点有B、D．
故答案为：B、D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
44．（2021秋•上城区期末）若点M（m，n）在x轴上，写出一组符合题意的m，n的值 6，0（答案不唯一） ．
【分析】根据坐标轴上的点的坐标特征与在x轴的点的纵坐标的为0解答即可．
【解答】解：点M（m，n）在x轴上，则m＝6，n＝0（答案不唯一）．
故答案为：6，0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
45．（2021秋•海曙区期末）已知点A（a﹣3，1﹣2a）在y轴上，那么a＝ 3 ．
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解．
【解答】解：∵点A（a﹣3，1﹣2a）在y轴上，
∴a﹣3＝0，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
46．（2021秋•青田县期末）一次函数y＝10﹣2x的比例系数是 ﹣2 ．
【分析】先化为标准形式，再根据一次函数的定义解答．
【解答】解：一次函数变形为：y＝10﹣2x＝﹣2x+10，
故其比例系数k是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
47．（2021秋•宁波期末）若一次函数y＝kx+5在﹣1≤x≤4范围内有最大值17，则k＝ 3或﹣12 ．
【分析】分两种情况：①当x＝﹣1时，y有最大值17，代入解析式，解得即可；②当x＝4时，y有最大值17，代入解析式，解得即可．
【解答】解：①当x＝﹣1时，y有最大值17，则﹣k+5＝17，
解得k＝﹣12；
②当x＝4时，y有最大值17，则4k+5＝17，
解得k＝3；
∴若﹣1≤x≤4时，y有最大值17，k的值为﹣12或3，
故答案为：﹣12或3．
【点评】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，能够分类讨论是解决问题的关键．
48．（2021秋•杭州期末）已知A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，则甲与乙的速度之差为 km/h ，甲出发后经过 0.8 小时追上乙．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出甲乙的速度，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图象可得，乙到达B地时甲距A地120km，
甲的速度是：120÷（3﹣1）＝60km/h，
乙的速度是：80÷3＝km/h，
∴甲与乙的速度之差为60﹣＝km/h，
设甲出发后追上乙的时间为xh，
∴60x＝（x+1），解得x＝0.8，
故答案为：km/h，0.8．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
49．（2021秋•开化县期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P从点C出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度顺时针运动一周，点P运动时线段CP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系如图2所示，若点M的坐标为（11，5），则点P运动一周所需要的时间为 24 秒．
【分析】图2中的图象有三段，正好对应图1中的线段CA，AB，BC，所以CA＝6，由点M的坐标为（11，5）可得，AC+AP＝11，CP＝5，过点P作PE⊥AC于点E，则△AEP∽△ACB，由比例可得AB＝10，BC＝8，进而可得三角形ABC的周长，即可得出运动时间．
【解答】解：图2中的图象有三段，正好对应图1中的线段CA，AB，BC，
由图象可得，CA＝6，
假设点P运动到如图所示位置，对应图2中的点M（11，5），
∴CA+AP＝11，CP＝5，
∴AP＝5，
过点P作PE⊥AC于点E，
∴∠AEP＝∠ACB＝90°，
∵AP＝CP，
∴点E是AC的中点，
∴AE＝CE＝3，
∴EP＝4，
又∵∠AEP＝∠ACB＝90°，
∴EP∥CB，
∴AE：AC＝AP：AB＝EP：BC，即3：6＝5：AB＝4：BC，
∴AB＝10，BC＝8，
∴△ABC的周长为：6+8+10＝24，
∴运动时间为24÷1＝24（s），
故答案为：24．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题关键是理解图2中的点M（11，5），在图1中找到对应的位置求出△ABC的周长．
50．（2020秋•鄞州区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．若AB+AC＝8，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，则AD的长为 4 ．
【分析】先证明△ADE≌△ADF，再利用面积法求出DE的值，最后根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF，
∴S△ABC＝•AB•DE+•AC•DF＝•DE（AB+AC）＝24，
∵AB+AC＝8，
∴DE＝2，
∵∠EDF＝120°，
∴∠ADE＝∠ADF＝∠EDF＝×120°＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°，
∴AD＝2DE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
51．（2021秋•鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 （0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3） ．
【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE＝OE；②OP＝PE；③OP＝OE，依据OF的长即可得到点F的坐标．
【解答】解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中有两段相等，分情况讨论：
①当PE＝OE时，PE⊥x轴，则PF⊥y轴，则OF＝PE＝3，故F的坐标是（0，3）；
②当OP＝PE时，∠OPE＝90°＝∠FPE，则F与O重合，即点F坐标为（0，0）；
③当OP＝OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF，
∴BF＝AE＝OE﹣AO＝3﹣3，
此时，OF＝3﹣（3﹣3）＝6﹣3，
当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF＝AE＝OE+AO＝3+3，
此时，OF＝3+（3+3）＝6+3，
∴点F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）．
故答案为：（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．
【点评】本题考查坐标与图形变化、等腰三角形的判定等知识的综合运用，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论．
52．（2020秋•上城区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，CA＝3，CB＝1，D为直线BC上一点，且与△ABC的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 2或4或或3 ．
【分析】根据D为直线BC上一点，且与△ABC的两个顶点构成等腰三角形，分四种情况分别讨论，①当AC＝AD时，②当BA＝BD时，③当DA＝CD时，④当CA＝CD时，分别画出这四种情况的图形，即可求此等腰三角形的面积．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，CA＝3，CB＝1，
根据勾股定理得AB＝2，
①当AC＝AD时，如图①，
∵AC＝AD，∠ABC＝90°，
∴BD＝BC＝1，
∴S△ADC＝＝2；
②当BA＝BD时，如图②，
∵BA＝BD＝2，
∴S△ABD＝＝4；
③当DA＝CD时，如图③，
过点D作DE⊥AC于点E，
设BD＝x，
∴DA＝CD＝x+1，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2，
即（x+1）2＝+x2，
解得x＝，即BD＝，
∴S△ACD＝＝；
④当CA＝CD时，如图④，
∵CA＝CD＝3，BC＝1，
∴BD＝2，AB＝2，
∵S△ADC＝S△ABD+S△ABC
＝+
＝
＝＝3．
故答案为：2或4或或3．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质，掌握在等腰三角形中分4种情况分别讨论是解题关键．
三．解答题（共8小题）
53．（2021秋•上虞区期末）解答下列各题：
（1）解不等式；
（2）把点A（a，﹣3）向左平移3个单位，所得的点与点A关于y轴对称，求a的值．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（2）由平移得：点A（a，﹣3）向左平移3个单位后得到A'（a﹣3，﹣3），然后根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得a+a﹣3＝0，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
3（x+1）≤2﹣x﹣6，
3x+3≤2﹣x﹣6，
3x+x≤2﹣6﹣3，
4x≤﹣7，
；
（2）由平移得：
点A（a，﹣3）向左平移3个单位后得到A'（a﹣3，﹣3），
∵点A′与点A关于y轴对称，
∴a+a﹣3＝0，
解得：，
∴a的值为．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式，坐标与图形变化﹣平移，准确熟练地进行计算是解题的关键．
54．（2021秋•上城区期末）设两个不同的一次函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b是常数，且ab≠0）．
（1）若函数y1的图象经过点（2，1），且函数y2的图象经过点（1，2），求a，b的值；
（2）写出一组a，b的值，使函数y1、y2图象的交点在第四象限，并说明理由；
（3）已知a＝1，b＝﹣1，点A（p，m）在函数y1的图象上，点B（q，n）在函数y2的图象上，若p+q＝2，判断m和n的大小关系．
【分析】（1）结合点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）令ax+b＝bx+a，解得x＝1，可得点P的坐标为（1，a+b），由象限内点坐标的特征可得a+b＜0，由此可取a和b的值；
（3）当a＝1，b＝﹣1时，可求出y1和y2的解析式，把点A和点B的坐标代入解析式，化简二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）由题意得：，解得：，
故a＝﹣1，b＝3．
（2）a＝﹣4，b＝1（答案不唯一），理由如下：
令ax+b＝bx+a，解得x＝1，
∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1，
∴点P（1，a+b）．
若交点P在第四象限，则需要a+b＜0，
取a＝﹣4，b＝1．
（3）若a＝1，b＝﹣1，则y1＝x﹣1，y2＝﹣x+1，
∵点A（p，m）在函数y1的图象上，点B（q，n）在函数y2的图象上，
∴p﹣1＝m①，﹣q+1＝n②，
∵p+q＝2，
∴p＝2﹣q，
∴①可变形为：2﹣q﹣1＝m，整理得﹣q+1＝m③，
③﹣②得，m＝n．
【点评】本题考查一次函数及应用，涉及一次函数图象上点坐标特征，二元一次方程组等知识，解题的关键将点坐标正确代入函数表达式．
55．（2021秋•德清县期末）甲、乙两人分别从同一公路上的A，B两地同时出发骑车前往C地，两人离A地的距离y（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）A，B两地相距 20 km；乙骑车的速度是 5 km/h；
（2）请分别求出甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式；
（3）求甲追上乙时用了多长时间．
【分析】（1）根据图象得出A，B两地之间的距离；根据速度＝路程÷时间可得到乙的速度；
（2）由图象可知，当乙走50km的时间和甲走60km的时间相同；设函数关系式为y乙＝kx+b，把（0，20）、（2，30）两点代入解答即可；设函数关系式为y甲＝mx，把（6，60）代入解答即可；
（3）让y甲＝y乙，求出x即可．
【解答】解：（1）A，B两地相距20千米；
乙的速度为：＝5（km/h），
故答案为：20，5．
（2）设函数关系式为y乙＝kx+b，
把（0，20）、（2，30）两点代入，
则，解得，
∴y乙＝5x+20．
设函数关系式为y甲＝mx，则函数图象过点（6，60），
则有60＝6m，即m＝10．
∴函数关系式为：y甲＝10x；
∴当0≤x≤6时，y乙＝5x+20，y甲＝10x；
（3）令y乙＝y甲，则5x+20＝10x，解得x＝4．
∴甲追上乙时用了4h．
【点评】本题考查了函数的图象及待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是数学解题中经常用到的，也是中考的热点问题，同学们注意熟练掌握．
56．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用等角的余角相等证明∠D＝∠AFD即可解答；
（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，所以过点A作AG⊥DE，垂足为G，先在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，然后证明△AGF≌△BEF即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB＝5，
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝＝＝4，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
57．（2021秋•余姚市期末）已知甲、乙两物体沿同一条直线同时、同向匀速运动，它们所经过的路程s与所需时间t之间的函数表达式分别为s＝v1t+a1和s＝v2t+a2，图象如图所示．
（1）哪个物体运动得快一些？从物体运动开始，2秒以前谁先谁后？
（2）根据图象确定何时两物体处于同一位置？
（3）求v1，v2的值，并写出两个函数表达式．
【分析】根据函数图象s的大小和所对应的时间对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：（1）乙的运动速度是3÷2＝1.5m/s，甲的运动速度是（3﹣2）÷2＝0.5m/s，乙比甲大；2秒以前甲在前面；
（2）根据图象可知，当运动时间为2秒时，甲乙两人在同一位置；
（3）由图可知，s＝v1t+a1经过点（0，2），（2，3），s＝v2t+a2经过点（0，0），（2，3），
∴和，
解得：和，
∴甲：s＝0.5t+2；乙：s＝1.5t．
∴v1＝0.5，v2＝1.5；甲：s＝0.5t+2；乙：s＝1.5t．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要是对读图能力的考查，还利用了路程、速度、时间三者之间的关系．
58．（2021秋•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56．点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，m）；
①用m表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围．
【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可；
（3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可；
②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝8，
∴B（0，8），
令y＝0，则x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点D为线段AB的中点，
∴D（﹣3，4），
∵△ABC的面积为56，
∴×8×AC＝56，
∴AC＝14，
∴C（8，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+8；
（2）设E（0，y），
∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴DE＝EF，∠DEF＝90°，
∵△DEF的面积为5，
∴DE2＝5，
∴DE＝，
∴＝，
∴y＝3或y＝5，
∴E（0，3）或E（0，5）；
（3）①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，
∵∠GED+∠HEF＝90°，∠GED+∠GDE＝90°，
∴∠GDE＝∠HEF，
∵DE＝EF，
∴△GDE≌△HEF（AAS），
∴GE＝HF，GD＝EH，
∴HF＝3，DG＝m﹣4＝EH，
∴F点纵坐标m﹣3，横坐标m﹣4，
∴F（m﹣4，m﹣3）；
②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴，
此时m﹣3＝0，
∴m＝3；
当F在直线BC上时，
此时m﹣3＝﹣（m﹣4）+8，
∴m＝；
∴3≤m≤时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）．
【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键．
59．（2021秋•慈溪市期末）甲、乙两同学住在同一小区，是某学校的同班同学，小区和学校在一笔直的大街上，距离为2560米，在该大街上，小区和学校附近各有一个公共自行车取（还）车点．甲从小区步行去学校，乙比甲迟出发，步行到取车点后骑公共自行车去学校，到学校旁还车点后立即步行到学校（步行速度不变，不计取还车的时间）．设甲步行的时间为x（分），图1中的线段OM和折线P一Q一R一T分别表示甲、乙同学离小区的距离y（米）与x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人的距离s（米）与x（分）的函数关系的图象（一部分）．根据图1、图2的信息，解答下列问题：
（1）分别求甲、乙两同学的步行速度与乙骑自行车的速度；
（2）求乙同学骑自行车时，y与x的函数关系式和a的值；
（3）补画完整图2，并用字母标注所画折线的终点及转折点，写出它们的坐标．
【分析】（1）根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5﹣9分走了240m，由路程除以时间可得乙同学的步行速度；由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，用时为240÷60＝4min，则m＝29﹣4＝25，乙同学骑车的时间为25﹣9＝16min，共骑了2800﹣240＝2560m，由路程除以时间可得乙骑车的速度为：2560÷16＝160m/min，由图2可知，在9min时，两人相距480m，乙在9min时走了240m，所以甲在9min时走了240+480＝720m，由路程除以时间可得，甲的步行速度为：720÷9＝80m/min．
（2）由（1）得出m＝25，Q（9，240），R（25，2800），设y与x的关系式为y＝kx+b，所以关系式为：y＝160x﹣1200，由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min．，乙同学的步行速度为60m/min；两人在amin时第一次相遇，所以160（a﹣9）﹣80（a﹣9）＝480，解之即可．
（3）在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25＝2000m，两人相距2800﹣2000＝800m，甲走完全程用时2560÷80＝32min，在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29＝2320m，两人相距2560﹣2320＝240m，由此可判断其他各点的坐标．
【解答】解：（1）根据题意可得，在PQ段时，乙同学在5﹣9分走了240m，∴乙同学的步行速度为：240÷4＝60m/min，
由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，
∴用时为240÷60＝4min，
∴m＝29﹣4＝25，
∴乙同学骑车的时间为25﹣9＝16min，共骑了2800﹣240＝2560m，
∴乙骑车的速度为：2560÷16＝160m/min，
由图2可知，在9min时，两人相距480m，
∵乙在9min时走了240m，
∴甲在9min时走了240+480＝720m，
∴甲的步行速度为：720÷9＝80m/min．
（2）由（1）得出m＝25，
∴Q（9，240），R（25，2800），
设y与x的关系式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴关系式为：y＝160x﹣1200，
由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min．，乙同学的步行速度为60m/min，
两人在amin时第一次相遇，
∴160（a﹣9）﹣80（a﹣9）＝480，解得a＝15，
（3）图形如下所示：
在25min时，乙到了2800m处，甲走了80×25＝2000m，两人相距2800﹣2000＝800m，
甲走完全程用时2560÷80＝32min，
在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29＝2320m，
两人相距2560﹣2320＝240m，
∴E（15，0），A（25，80），B（29，240），C（32，0），D（9，480），F（5，400）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
60．（2021秋•柯桥区期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），动点B（a，2）在第一象限，连结AB．
（1）如图，当a＝7时，以AB为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求点C的坐标和直线BC的函数表达式．
（2）以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠BAD＝90°，连结OD，若△AOD的面积为，求点B的坐标．
（3）以AB为边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线y＝x+2上时，请直接写出a的值．
【分析】（1）作CN⊥x轴于N，BM⊥x轴于M，易证Rt△NCA≌Rt△MAB，可求得点C的坐标为（ 1，4 ），再利用待定系数法即可求解；
（2）利用三角形面积公式可求得点D的纵坐标，分别过点B，D1，D2作直线x的垂线，垂足分别为E，F，M，Rt△EAB≌Rt△FD1A≌Rt△MD2A，可求得点D的坐标为（5，3﹣a）或（1，a﹣3）；
（3）题中给定AB为边，需要分三种情况，当点A为直角顶点即∠BAP＝90°，点B为直角顶点，点P为直角顶点，三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）如图，作CN⊥x轴于N，BM⊥x轴于M，
∵∠BAC＝90°，
∴∠NAC+∠NCA＝∠NAC+∠MAB＝90°，
∴∠NCA＝∠MAB，
∵CA＝AB，
∵∠ANC＝∠BMA＝90°，
∴△NCA≌△MAB（AAS），
∴NC＝MA，NA＝MB，
∵a＝7，
∴点B的坐标为（7，2），
∴NC＝MA＝MO﹣OA＝7﹣3＝4，NA＝MB＝2，ON＝OA﹣NA＝1，
∴点C的坐标为（1，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将（7，2），（1，4）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+；
（2）∵△AOD的面积为，
∴S＝•OA•|yD|＝，即×3•|yD|＝，
∴yD＝±，
需要分两种情况，当点B的横坐标小于3时，
分别过点B，D1，D2作直线x的垂线，垂足分别为E，F，M，
同理可证Rt△EAB≌Rt△FD1A≌Rt△MD2A，
∴AE＝D1F＝D2M，BE＝AF＝AM，
∵点B的横坐标为a，
∴AE＝D1F＝D2M＝3﹣a，BE＝AF＝AM＝2，
∴OF＝OA+AF＝5，
∴点D1的坐标为（5，3﹣a），
∴3﹣a＝，解得a＝0.5，
∴B（0.5，2）；
当点B的坐标大于3时，如图，
同理可得，点D1的坐标为（1，a﹣3），
∴a﹣3＝，解得a＝5.5，
∴点B的坐标为：（0.5，2），（5.5，2）．
（3）①当∠BAP＝90°时，
由（2）可知D1与P重合，
∴点P的坐标为（1，a﹣3）或（5，3﹣a），
当点P落在直线y＝x+2上时，a﹣3＝1+2或5+2＝3﹣a，解得：a＝6或a＝﹣4（舍去）；
②当∠ABP＝90°时，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点P作PF⊥EF于点F，
同理可证明△PBF≌△BAE，
∵点B的坐标为（a，2），
∴PF＝BE＝2，BF＝AE＝3﹣a，
∴点P的坐标为（a+2，5﹣a），
当点P落在直线y＝x+2上时，a+2+2＝5﹣a，
解得：a＝0.5；
③当∠APB＝90°时，如图，
设点P的坐标为（m，m+2），
则PF＝BE＝m﹣3，PE＝AF＝m+2，
∵AF＝BE+2＝m﹣1，
显然m﹣1≠m+2，故此时不成立；
综上可知，A为直角顶点时，a＝6；B为直角顶点时，a＝0.5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及待定系数法求一次函数解析式，掌握相关性质定理，利用分类讨论思想解题是关键．