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浙教版数学八年级上册期末复习专题第11讲 一次函数的图像与性质(19大考点)(2份,原卷版+解析版)
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变量与常量:
(1)变量和常量的定义:
在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.
(2)方法:
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中,判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化;
②常量和变量是相对于变化过程而言的.可以互相转化;
③不要认为字母就是变量,例如π是常量.
函数的有关概念:
(1)函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.
说明:对于函数概念的理解:①有两个变量;②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;③对于自变量的每一个确定的值,函数值有且只有一个值与之对应,即单对应.
(2)用来表示函数关系的等式叫做函数解析式,也称为函数关系式.
注意:①函数解析式是等式.
②函数解析式中,通常等式的右边的式子中的变量是自变量,等式左边的那个字母表示自变量的函数.
(3)自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.
①当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.
②当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零.
③当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.
④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.
(4)函数值是指自变量在取值范围内取某个值时,函数与之对应唯一确定的值.
注意:①当已知函数解析式时,求函数值就是求代数式的值;当已知函数解析式,给出函数值时,求相应的自变量的值就是解方程;
②当自变量确定时,函数值是唯一确定的.但当函数值唯一确定时,对应的自变量可以是多个.
(5)函数的图象定义
对于一个函数,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.
注意:①函数图形上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式;②满足解析式的任意一对x、y的值,所对应的点一定在函数图象上;③判断点P(x,y)是否在函数图象上的方法是:将点P(x,y)的x、y的值代入函数的解析式,若能满足函数的解析式,这个点就在函数的图象上;如果不满足函数的解析式,这个点就不在函数的图象上.
(6)函数的三种表示方法:列表法、解析式法、图象法.
其特点分别是:列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系,在实际生活中应用非常广泛;解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律,根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值,反之亦然;图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律.
注意:①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质;②它们之间可以互相转化.
一次函数与正比例函数
(1)一次函数的定义:
一般地,形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数,叫做一次函数.
一次函数的定义可知:函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的形式.
一次函数解析式的结构特征:k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.
(2)正比例函数的定义:
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注意:正比例函数的定义是从解析式的角度出发的,注意定义中对比例系数的要求:k是常数,k≠0,k是正数也可以是负数.
4.一次函数的图象与性质:
(1)正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),我们通常称之为直线y=kx.
当k>0时,直线y=kx依次经过第三、一象限,从左向右上升,y随x的增大而增大;当k<0时,直线y=kx依次经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小.
(2)一次函数的性质:
k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降.
由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.
(3)一次函数的图象:
由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.
①k>0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限;
②k>0,b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限;
③k<0,b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限;
④k<0,b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限.
考点精讲
一.常量与变量(共1小题)
1.(2021秋•青田县期末)如图,把两根木条的一端用螺栓固定在一起,木条可自由转动.在转动过程中,下面的量是常量的为( )
A.∠BAC的度数B.AB的长度C.BC的长度D.△ABC的面积
二.函数的概念(共2小题)
2.(2021秋•绿园区校级期中)下列各图能表示y是x的函数是( )
A.B.
C.D.
3.(2021秋•诸暨市校级月考)“早穿皮袄,午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中, 随 变化而变化.
三.函数关系式(共4小题)
4.(2021秋•余杭区月考)一辆汽车从甲地以50km/h的速度驶往乙地,已知甲地与乙地相距150km,则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是( )
A.s=150+50t(t≥0)B.s=150﹣50t(t≤3)
C.s=150﹣50t(0<t<3)D.s=150﹣50t(0≤t≤3)
5.(2021秋•鄞州区校级月考)某商场为了增加销售额,推出“七月销售大酬宾”活动,其活动内容为:“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者,超过100元的部分按9折优惠.”在大酬宾活动中,小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件(x>2),则应付货款y(元)与商品件数x的函数关系式是( )
A.y=54x(x>2)B.y=54x+10(x>2)
C.y=54x+90(x>2)D.y=54x+100(x>2)
6.(2021秋•长兴县月考)已知直角三角形两锐角的度数分别是x,y,则y与x的函数关系式是 .
7.(2021秋•鄞州区校级月考)将一些长为30cm,宽为10cm的长方形白纸,按如图所示的方法黏合起来,黏合部分的宽为2cm.
(1)求5张白纸黏合后的长度;
(2)设x张白纸黏合后的纸条总长度ycm,写出y关于x的函数关系式.
(3)当x﹣20张时,y的值是多少?
四.函数自变量的取值范围(共4小题)
8.(2021秋•缙云县期末)函数y=中,自变量x的取值范围是 .
9.(2021秋•诸暨市期末)函数y=的自变量x的取值范围是 .
10.(2022秋•鄞州区校级期中)函数y=中自变量x的取值范围是 .
11.(2021秋•莲都区期末)函数自变量x的取值范围是 .
五.函数值(共1小题)
12.(2021春•福田区校级期中)根据图中的程序计算y的值,若输入的x值为3,则输出的y值为( )
A.﹣5B.5C.D.4
六.函数的图象(共2小题)
13.(2022秋•鄞州区校级期中)2022年2月5日,电影《长津湖》在青海剧场首映,小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶,中途停车加油耽误了十几分钟,为了按时到达剧场,小李在不违反交通规则的前提下加快了速度,仍保持匀速行驶.在此行驶过程中,汽车离剧场的距离y(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系的大致图象是( )
A.B.
C.D.
14.(2021秋•上虞区期末)早上8点,妈妈把小明送到游泳馆训练,之后马上回家准备午饭,烧好饭后去游泳馆等小明训练结束接其回家,妈妈两次从游泳馆回家的驾车速度相同,在家做饭和在游泳馆等小明的时间也相同.8点开始,妈妈离家的距离y关于时间x的函数图象如图所示,则妈妈从家出发去游泳馆等小明的路途中间的时刻(即图象中CD中点G所在的时刻)为( )
A.9点B.9点10分C.9点20分D.9点30分
七.动点问题的函数图象(共5小题)
15.(2021秋•东阳市期末)如图①,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,点D是AB边的中点,点P从点A出发,沿着AC﹣CB运动,到达点B停止.设点P的运动路径长为x,连DP,记△APD的面积为y,若表示y与x函数关系的图象如图②所示,则△ABC的周长为( )
A.6+2B.4+2C.12+4D.6+4
16.(2021秋•西湖区校级期末)如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是( )
A.10B.16C.18D.20
17.(2021秋•嵊州市期末)如图1,在平面直角坐标系中,长方形ABCD在第一象限,且BC∥x轴,直线y=x﹣3沿x轴负方向平移,在平移过程中,直线被长方形ABCD截得的线段长为l,直线在x轴上平移的距离为m.图2是l与m之间的函数图象,则长方形ABCD的面积为( )
A.2B.6C.8D.12
18.(2021秋•开化县期末)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P从点C出发,沿三角形的边以1cm/秒的速度顺时针运动一周,点P运动时线段CP的长度y(cm)随运动时间x(秒)变化的关系如图2所示,若点M的坐标为(11,5),则点P运动一周所需要的时间为 秒.
19.(2021秋•湖州期末)如图①,在四边形ABCD中,AD∥BC,直线l⊥AB.当直线l沿射线BC方向,从点B开始向右平移时,直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E,F.设直线l向右平移的距离为x,线段EF的长y,且y与x的函数关系如图②所示,则四边形ABCD的周长是 .
八.函数的表示方法(共1小题)
20.(2021秋•定海区期末)在某一阶段,某商品的销售量与销售价之间存在如表关系:
设该商品的销售价为x元,销售量为y件,估计:当x=127时,y的值为( )
A.63B.59C.53D.43
九.一次函数的定义(共1小题)
21.(2021秋•青田县期末)一次函数y=10﹣2x的比例系数是 .
一十.正比例函数的定义(共3小题)
22.(2021秋•杭州期末)正比例函数y=3x的比例系数是 .
23.(2022秋•南湖区校级期中)若y=(k﹣1)x+k2﹣1是正比例函数,侧k= .
24.(2021秋•柯桥区期末)新定义:[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”为[3,m﹣2]的一次函数是正比例函数,则点(1﹣m,1+m)在第 象限.
一十一.一次函数的图象(共2小题)
25.(2021秋•上城区期末)一次函数y=kx﹣2k的大致图象是( )
A. B. C. D.
26.(2021秋•西湖区期末)当b>0时,一次函数y=x+b的大致图象是( )
A.B.
C.D.
一十二.正比例函数的图象(共1小题)
27.(2021秋•海曙区期末)一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n为常数,且mn≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.B.
C.D.
一十三.一次函数的性质(共5小题)
28.(2021秋•湖州期末)若一次函数y=3x+2的图象经过点(﹣1,y1),(1,y2),则y1 y2(填“>”,“<”或“=”).
29.(2021秋•钱塘区期末)已知点A(﹣1,y1)和点B(2,y2)都在一次函数y=﹣2x+b的图象上,则y1与y2的大小是( )
A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.不确定
30.(2021秋•武义县期末)关于一次函数y=x+2,下列说法正确的是( )
A.y随x的增大而减小B.经过第一、三、四象限
C.与y轴交于(0,2)D.与x轴交于(2,0)
31.(2022秋•镇海区校级期中)若一次函数y=kx+b(k,b都是常数)的图象经过第一、二、四象限,则一次函数y=bx+k的图象大致是( )
A.B.
C.D.
32.(2021秋•诸暨市期末)如图,在平面直角坐标系中,直线MN的函数解析式为y=﹣x+3,点A在线段MN上且满足AN=2AM,B点是x轴上一点,当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时,则B点的坐标为 .
一十四.正比例函数的性质(共3小题)
33.(2021秋•钱塘区期末)一次函数y=kx+b与正比例函数y=kbx,k,b是常数,且kb≠0的图象可能是( )
A.B.
C.D.
34.(2021秋•义乌市期末)在正比例函数y=kx中,y的值随着x值的增大而减小,则一次函数y=kx+k在平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.B.
C.D.
35.(2022秋•鄞州区校级期中)已知直线y1=x,y2=x+1,y3=﹣x+6,若无论x取何值,y总取y1、y2、y3中的最小值,则y的最大值为 .
一十五.一次函数图象与系数的关系(共3小题)
36.(2021秋•莲都区期末)若一次函数y=(m﹣1)x+m﹣2的图象不经过第二象限,则m的取值范围是( )
A.m>1B.m<2C.1<m<2D.1<m≤2
37.(2021秋•鄞州区期末)一次函数y=(m﹣3)x+m+2的图象经过第一、二、四象限,则m的取值范围在数轴上表示为( )
A.B.
C.D.
38.(2021秋•北仑区期末)若一次函数y=(k﹣1)x+(2k﹣6)的图象经过第一,三,四象限,则k的取值范围是 .
一十六.一次函数图象上点的坐标特征(共2小题)
39.(2022秋•鄞州区校级期中)已知(﹣3,y1)、(﹣1,y2)、(,y3)是直线y=﹣x+2上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3B.y3>y2>y1C.y1>y3>y2D.y3>y1>y2
40.(2021秋•莲都区期末)已知正比例函数y=2x,下列各点在该函数图象上的是( )
A.(1,2)B.(2,1)C.(1,)D.(﹣,1)
一十七.一次函数图象与几何变换(共3小题)
41.(2021秋•普陀区期末)对于一次函数y=﹣2x+4,下列结论错误的是( )
A.函数值随自变量的增大而减小
B.函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4)
C.函数的图象不经过第三象限
D.图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
42.(2021秋•湖州期末)在平面直角坐标系中,一次函数的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点A(1,2).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)若这个一次函数的图象与x轴交于点B,求△AOB的面积.
43.(2021秋•吴兴区期末)图象对于探究函数性质有非常重要的作用,下面我们就一类特殊的函数展开探究.
画函数y1=3|x|的图象,经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示:
在同一平面直角坐标系中,经历同样的过程画出函数y2=3|x﹣2|的图象如图所示.
(1)观察发现:两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形,且图象的开口方向和形状完全相同,只有最低点和对称轴发生了变化.所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象,则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为 .
(2)探索思考:将函数y2=3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3=3|x﹣2|+2,请在网格图中画出函数y3的图象,并求出当x≥4时,函数y3的最小值.
(3)拓展应用:将函数y3的图象继续平移得到函数y4=3|x﹣m|+2的图象,其最低点为点P.
①用m表示最低点P的坐标为 ;
②当﹣1≤x≤2时,函数y4有最小值为5,求此时m的值.
一十八.待定系数法求一次函数解析式(共7小题)
44.(2021秋•海曙区期末)已知y是关于x的一次函数,下表列出了部分对应值,则a的值为 .
45.(2021秋•青田县期末)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6,则该直线的函数表达式是( )
A.y=x+3B.y=x+6C.y=﹣x+3D.y=﹣x+6
46.(2021秋•龙泉市期末)已知一次函数的图象经过点A(0,3),B(2,﹣3).
(1)求函数的表达式.
(2)若P(1,y1),Q(3,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小关系.
47.(2021秋•青田县期末)已知y是x的一次函数,当x=﹣3时,y=1;当x=2时,y=﹣14.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)当x>﹣2时,求函数y的取值范围.
48.(2021秋•新昌县期末)如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过A(﹣2,﹣2),B(1,4)两点.
(1)求一次函数的解析式,并在直角坐标系中画出其图象.
(2)当y≤0时,求x的取值范围.
49.(2021秋•海曙区期末)已知y是x的一次函数,且当x=﹣4时,y=9;当x=6时,y=﹣1.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x=时,求函数y的值;
(3)当﹣3<y≤2时,求自变量x的取值范围.
50.(2021秋•海曙区期末)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(﹣2,﹣4)和B(2,0).
(1)求该函数的表达式.
(2)若点P是x轴上一点,且△ABP的面积为10,求点P的坐标.
一十九.待定系数法求正比例函数解析式(共2小题)
51.(2021秋•金华期末)若正比例函数y=kx的图象经过点(2,6),则k= .
52.(2021秋•余姚市期末)已知y与x成正比例,当x=3时,y=6,则当时,y= .
一、单选题
1.(2020·浙江绍兴·八年级期中)在圆周长计算公式中,对半径不同的圆,变量有( )
A.B.C.D.
2.(2020·浙江浙江·八年级期末)在①;②;③;④;⑤,一次函数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.(2021·浙江莲都·八年级期末)若一次函数y=(4﹣3m)x﹣2的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1<x2时,y1>y2则m的取值范围是( )
A.m<B.m>C.m<D.m>
4.(2021·浙江新昌·八年级期末)下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况,在该变化过程中,常量是( ).
A.票价B.售票量C.日期D.售票收入
5.(2020·浙江浙江·八年级期末)已知一辆汽车行驶的速度为,它行驶的路程(单位:千米)与行驶的时间(单位:小时)之间的关系是,其中常量是( )
A.B.C.D.和
6.(2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级月考)在下列各备选答案中,不是函数关系的是( )
A.y=2x2-3x+5
B.下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的关系.
C.下图中的图象表示骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的关系.
D.
7.(2020·浙江浙江·八年级期末)若点在同一个正比例函数图象上,则的值是( )
A.B.C.3D.
8.(2021·浙江平阳·八年级期中)直线y=x+2与y轴的交点坐标是( )
A.(0,2)B.(2,0)C.(-2,0)D.(0,-2)
9.(2020·浙江浙江·八年级期中)定义:为平面直角坐标系内的点,若满足,则把点A叫做“平衡点”,例如:,都是平衡点.当时,直线上有“平衡点”,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10.(2021·浙江温岭·八年级期末)将直线向下平移2个单位长度,得到直线的解析式为______.
11.(2020·浙江浙江·八年级期末)已知点在直线上,则_______.
12.(2021·浙江温岭·八年级期末)一次函数,当时,有最大值为5,则______.
13.(2021·浙江衢江·八年级期末)甲、乙两人相约周末登全旺饭甄山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)b=___米;
(2)若乙提速后,乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,则甲、乙两人相遇后,再经过 ___分钟,他们俩距离地面的高度差为70米.
三、解答题
14.(2021·浙江莲都·八年级期末)在国内投寄平信应付邮资如表:
(1)根据函数的定义,y是关于x的函数吗?
(2)结合表格解答:
①求出当x=48时的函数值,并说明实际意义.
②当寄一封信件的邮资是2.40元时,信件的质量大约是多少克?
15.(2021·浙江温岭·八年级期末)滑车以1.5米/分钟的速度匀速地从轨道的一端滑向另一端,已知轨道的长为6米,滑车滑行分钟时离终点的路程为米.
(1)求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)滑行多长时间时,滑车离终点1米?
16.(2021·浙江衢江·八年级期末)已知y是关于x的一次函数,且当x=1时,y=4;当x=﹣1时,y=8.
(1)求该函数表达式;
(2)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设该一次函数与x轴、y轴交点分别是A、B两点,求△ABO的面积.
17.(2021·浙江温岭·八年级期末)公交公司员工小明住在站点的员工宿舍,每天早上去站点上班,站到站唯一一条公交线路示意图如图1,、、、是四个公交站点,其中、两站相距的路程是1200米,为了健身,小明往往沿公交线路步行到站或站后再乘公交车上班.
(1)星期一,小明步行到站上车,记他距站的路程为米,离开站的时间为分,关于的函数图象如图2,求的解析式及公交车的速度;
(2)星期二,小明以与星期一相同出发时间和步行速度步行到站上车,已知公交车无论上行(→)还是下行(→)都每隔10分钟一班,每天始发时间和行车速度保持不变,乘客上下车时间忽略不计;
①通过计算判断小明步行到达站时是否恰好有上行公交车到达站;
②小明到达站所用时间是星期一的1.5倍,求、两站相距的路程;
③若小明步行至站时刚好遇见一辆下行班车,这一趟上班途中,直接写出他遇到下行班车的最短间隔时间.
18.(2021·浙江衢江·八年级期末)我国传统的计重工具——秤的应用,方便了人们的生活,如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时,秤钩所挂物重为y(斤).如表中为若干次称重时所记录的一些数据.
(1)在图2中将表x,y的数据通过描点的方法表示,观察判断x,y的函数关系,并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是多少斤?
(2)已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米,这杆秤的可称物重范围是多少斤?
19.(2021·浙江瑞安·八年级期末)如图,直线y=kx+b分别交x轴于点A(4,0)交y轴于点B(0,8).
(1)求直线AB的函数表达式:
(2)若点P(2,m),点Q(n,2)是直线AB上两点,求线段PQ的长.
销售价/元
90
100
110
120
130
140
销售量/件
90
80
70
60
50
40
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y1=3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
x
1
2
3
y
3
a
5
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
售票量x(张)
31542
22452
3850
48746
56426
27615
12714
售票收入y(元)
3154200
2245200
3854000
4874600
5642600
2761500
1271400
月份m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均气温T(℃)
3.8
5.1
9.3
15.4
20.2
24.3
28.6
28.0
23.3
17.1
12.2
6.3
信件质量x(克)
0<x≤20
20<x≤40
40<x≤60
邮资y(元/封)
1.20
2.40
3.60
x(厘米)
1
2
4
7
y(斤)
0.75
1.00
1.50
2.25
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