浙教版数学八年级上册期末复习专题第01讲 认识三角形、定义与命题、证明（2份，原卷版+解析版）

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一．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
二．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
三．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
四．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
五．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
六．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
七．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
八．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
九．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
十．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
考点精讲
一．三角形（共3小题）
1．（2021秋•义乌市期末）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
2．（2020•浙江自主招生）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（ ）对．
A．8B．16C．24D．32
3．（2021春•新吴区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形共有 个．
二．三角形的角平分线、中线和高（共5小题）
4．（2021秋•西湖区期末）在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQB．AQ≤ARC．AP＞ARD．AP＞AQ
5．（2021秋•定海区期末）如图，△ABC中，AC边上的高是线段（ ）
A．AEB．CDC．BFD．AF
6．（2020秋•永嘉县校级期末）如图所示，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AEB．线段BAC．线段BDD．线段DA
7．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（ ）
A．DE是△ACE的高B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高D．DE是△BCD的高
8．（2021秋•拱墅区月考）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CFB．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC＝2S△ABF
三．三角形的面积（共3小题）
9．（2021秋•瓯海区月考）如图，△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，若△CDE的面积是2，则△ABC的面积是（ ）
A．4B．5C．6D．8
10．（2021秋•江津区期中）下列说法正确的个数有（ ）
①三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2021秋•十堰期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于 cm2．
四．三角形的稳定性（共3小题）
12．（2021秋•柯桥区期末）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
A．稳定性B．灵活性C．对称性D．全等性
13．（2021秋•临海市期末）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有 ．
14．（2021秋•台州期中）如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ．
五．三角形的重心（共3小题）
15．（2021春•曲周县期末）如图，AD和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE＝CE②O是△ABC的重心③△ABD与△ACD面积相等④过CO的直线平分线段AB⑤∠ABE＝∠CBE⑥AD＝BE，其中正确的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
16．（2020秋•温岭市期中）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于同一点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
17．（2021春•海淀区期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O．
（1）BO与OD的长度有什么关系？并证明你的结论．
（2）BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
六．三角形三边关系（共3小题）
18．（2021秋•新昌县期末）已知三角形的两边长分别为2和7，则该三角形的第三边长可以为（ ）
A．3B．5C．7D．9
19．（2021秋•嘉兴期末）如果一个三角形的两边长都是6cm，则第三边的长不能是（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．13cm
20．（2021秋•温岭市期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm、3cm、6cmB．3cm、5cm、7cm
C．2cm、4cm、6cmD．2cm、9cm、6cm
七．三角形内角和定理（共6小题）
21．（2021秋•鄞州区期末）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
22．（2022•启东市模拟）已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC（其中∠A是30°，∠C是60°）按如图所示方式放置，若∠1＝84°，则∠2等于（ ）
A．56°B．64°C．66°D．76°
23．（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB于点H，则∠DCH的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
24．（2021秋•兰陵县期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
25．（2021秋•十堰期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 ．
26．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝ ．
八．三角形的外角性质（共3小题）
27．（2021秋•台州期末）如图，下列关于∠A，∠B，∠C，∠1的关系中一定成立的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C+∠1B．∠A+∠1＝∠B+∠C
C．∠A+∠B+∠C＝∠1D．∠A+∠B+∠C+∠1＝360°
28．（2021秋•东阳市期末）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．一个外角等于和它相邻的内角
29．（2021秋•下城区校级期中）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．75°B．60°C．65°D．55°
九．命题与定理（共3小题）
30．（2021秋•海曙区期末）能说明命题“对于任何实数a，＝a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝2022B．a＝0C．a＝D．a＝﹣2022
31．（2021秋•衢江区期末）能使命题“a＞b，则a2＞b2”为假命题的是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣1B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝3，b＝﹣2D．a＝2，b＝﹣1
32．（2021秋•开化县期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
一十．推理与论证（共3小题）
33．（2022•诸暨市模拟）现有一个3×4方格的小型跳棋盘，将8枚棋子摆成如图的“中”字形状，并规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走，若最终棋盘上只剩下一枚棋子并停在标有“国”字的空格中，则最少需要移动的步数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
34．（2021秋•开福区校级期末）甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（ ）
A．甲在B校学习，丙在A校学习
B．甲在B校学习，丙在C校学习
C．甲在C校学习，丙在B校学习
D．甲在C校学习，丙在A校学习
35．（2021春•新罗区期末）小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．小明，小亮，小华，小英B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明D．小亮，小英，小华，小明
一、单选题
1．（2020·浙江）下列选项中属于命题的是（ ）
A．任意一个三角形的内角和一定是吗？B．画一条直线
C．异号两数之和一定是负数D．连结A、B两点
2．（2021·浙江杭州市·）可伸缩的遮阳篷是依据平行四边形的（ ）
A．不稳定性B．稳定性C．伸缩性D．可变性
3．（2020·浙江八年级月考）小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：
小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．”
小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．”
小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．”
已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（ ）
A．小王B．小陈C．小张D．不能确定
4．（2019·浙江八年级期末）沿折叠，折痕为，则图中之间的关系中，下列式子中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·浙江）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值不可能是（ ）
A．11B．9C．7D．5
6．（2019·浙江八年级期末）利用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、填空题
7．（2019·浙江杭州·八年级期末）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：_________________．
8．（2019·浙江八年级期中）“两个无理数的和为无理数”是_____命题，举反例：____________．
9．用来证明命题“如果a，b是有理数，那么”是假命题的反例可以是_________．
10．（2021·浙江八年级期末）如图，中，平分，分别交的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：①，②，③，④其中有两个式子是正确的，它们是_____和________．
11．（2021·浙江八年级期末）在中， 是的中线，则与的周长之差是____，面积之比是____．
12．（2018·浙江全国·八年级课时练习）完成下面的证明过程．
已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，
∴∠1＝∠C(__________________)，
∴AB∥CD(________________________)．
13．（2018·浙江全国·八年级课时练习）如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)
14．（2021·浙江八年级期末）如图，已知中，，如图：设的两条三等分角线分别对应交于则_____；请你猜想，当同时n等分时，条等分角线分别对应交于，则______（用含n和的代数式表示）．
三、解答题
15．（2020·浙江八年级期末）判断下列命题的真假，并给出证明
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
16．（2018·浙江全国·八年级课时练习）如图，CD⊥AB于点D，GF⊥AB于点F，∠B＝∠ADE.请你判断∠1与∠2的关系，并证明你的结论．
17．（2018·浙江全国·八年级课时练习）如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1＝∠2、∠C＝∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．
18．（2019·浙江）已知命题“若 a＞b，则 a2＞b2”．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个 反例．
（2）写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假 命题，请举出一个反例．
19．（2020·浙江）如图甲，射线与长方形的边交于点，与边交于点，①②③④分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域②③位于直线上方），是位于以上四个区域上的点．
（1）如图乙，当在区域①，猜想图中的关系并证明你的结论．
（2）猜想当分别在区域②③④，的关系，请直接写出答案，不要求证明．
20．（2021·浙江八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点，
研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由．
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由．